精品解析：浙江省丽水市丽水五校高中发展共同体2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考 高一年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解方程的根，根据子集关系即可求解. 【详解】由可得或， 由于或， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 3. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域和对应关系判断即可. 【详解】函数的定义域为， 对于A，的定义域为，所以与的定义域相同，对应关系相同， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为，所以与对应关系相同，定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故B不正确； 对于C，的定义域为，所以与的定义域相同，对应关系不相同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C不正确； 对于D，的定义域为， 所以与对应关系相同，定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D不正确； 故选：A. 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数定义得到等量关系，解出的值，代入的验证函数为奇函数. 【详解】因为函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，是奇函数，满足题意； 当时，是奇函数，满足题意; ∴或. 故选：D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除CD，根据时，，排除B，即可求解. 【详解】由于，故为奇函数，排除CD， 又当时，，此时排除B， 故选：A 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式得，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7. 设，则的最小值为（ ） A. 81 B. 27 C. 9 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法，即可求解. 【详解】由于，故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为， 故选：B 8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析，函数的值域是值域的子集，利用单调性再分别求出两个函数的值域后可求解， 【详解】由题意得，对任意的，存在，使得， 等价于函数的值域是值域的子集. 因为，设，且， 则， 因为，所以， 当时，，此时，为减函数； 当时，，此时，为增函数， 所以根据的单调性可得，， 又，所以， 故的值域为； 又， 当时为增函数，故值域为, 则有 当时为减函数，故值域为， 则有 当时，，满足题意， 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于理解题意，“任意对存在”这种描述，说明两个函数的值域具有包含关系，据此结合函数单调性表示出值域即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断ABC，作差可判断D. 【详解】对于A：当时，，故错误； 对于B：由可得：，所以，正确； 对于C：因为，故，所以，正确； 对于D：， 因为，所以， 所以，正确， 故选：BCD 10. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在定义域上为增函数 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及时，，可判断ABC,由可判断D. 【详解】定义在上的偶函数，当时，， 对于，则正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，函数在上单调递减，C错误； 对于D，当时，， 故不是不等式的解，D错误. 故选：AB 11. 定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别令内的两个表达式为函数，先求出这两个函数的所有零点，再分别讨论每个零点.当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值小于0，则这个值一定为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值可能小于0也可能大于0 ，则这个值可能为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值大于0，则这个值一定不为函数的零点.由此判断的这四个零点中哪些一定是函数的零点，哪些可能是零点，哪些一定不是零点. 【详解】令， 当时，或， 当时，或， ①当时，，， 令，则， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ②当时，，， ∵，∴，即是的零点； ③当时，，， ∵，∴， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ④当时，，， ∵，∴， 是的零点. 综上所述：和一定是的零点，和可能是的零点. 故选：BCD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出命题的否定： ___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义求解． 【详解】命题的否定是：． 故答案为：． 13. 已知方程，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】因为，所以，显然，所以，即. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 函数的最小值为_______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的定义域，结合根式的性质可得，即可求解最值. 【详解】的定义域需满足，解得或， 故定义域为， 由于，当取等号， 当且仅当取等号，故， 因此，当且仅当取等号， 故最小值为1， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合，集合，集合． （1）求集合； （2）在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答． ①；②；③．若__________，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选①或③，；选②， 【解析】 【分析】（1）分别求得，进而可得； （2）若选①，可得，分，两种情况求解即可；若选②，，分，两种情况求解即可；若选③，由已知可得，分分，两种情况求解即可. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 解不等式，得，即有，则， ， - 【小问2详解】 若选①，由，得， 若，即时，，符合题意； 当时，，解得， ∴实数的取值范围是． 若选②，由，得，若，即时，，符合题意； 当时，，解得， ∴实数的取值范围是 若选③，由（1）知，则，若，即时，，符合题意； 当时，，解得， ∴实数的取值范围是． 16. 已知不等式的解集为． （1）解不等式； （2）若，当时，解关于的不等式． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得，即可由因式分解求解不等式的解， （2）利用因式分解即可求解. 【小问1详解】 ∵不等式的解集为， ∴，且，是方程的两根， 则，解得， 则有，所以，解得或 故不等式的解集为或 【小问2详解】 由（1）可知：， 故不等式， 即，又，∴不等式， 方程的两根为，， 又，得， ∴不等式解集为． 17. 某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示， （1）分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）该企业已筹集到万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【答案】（1）；； （2）投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）设投资为，分别用和表示产品的利润，由函数图像设出解析式，然后代入图中的点坐标，求得解析式； （2）设产品投资为万元以及企业的利润为万元，列出函数的解析式，用换元法，配方法得到最大值点和最大值. 【小问1详解】 设投资为万元，产品利润为万元，产品利润为万元， 由题意设，， 由图可知，所以，即； ，所以，即； 【小问2详解】 设产品投资为万元，则产品投入万元，企业的利润为万元， 则，， 令，， 则， 当即时，， 此时投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大， 最大利润为万元. 18. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=, 因为所以，则，因为，所以, 所以在R上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，分类讨论解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，所以在[2，3]上单调递减， 所以，所以. 【小问3详解】 若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数，且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质余维数，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，请完成下列问题. （1）当，时，求函数图象的对称中心点坐标； （2）在（1）的条件下，若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1） （2）或 （3） ， 不妨设， ，， . 【解析】 【分析】（1）设的对称中心点坐标为，则为奇函数，利用奇函数的定义求解即可； （2）令，，把问题转化为方程有两个异根，且，利用二次函数的性质列不等式求解； （3）由题意，不妨设，展开可得的关系，进而可证得结论. 【小问1详解】 设的对称中心点坐标为，则为奇函数， ，即， ， ， ， 即， ，，对称中心点坐标为. 【小问2详解】 由题意得，则，令，， 则原方程可化为，即， 因为关于的方程有三个不同的实数解， 所以方程有两个异根，且， 令， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上所述：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考 高一年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的最小值为（ ） A. 81 B. 27 C. 9 D. 3 8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在定义域上为增函数 D. 不等式的解集为 11. 定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出命题的否定： ___________ 13. 已知方程，则=______. 14. 函数的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合，集合，集合． （1）求集合； （2）在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答． ①；②；③．若__________，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16. 已知不等式的解集为． （1）解不等式； （2）若，当时，解关于的不等式． 17. 某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示， （1）分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）该企业已筹集到万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 18. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，请完成下列问题. （1）当，时，求函数图象的对称中心点坐标； （2）在（1）的条件下，若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $