专题15 分式【十二大题型】-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题15 分式【十二大题型】（原卷版） 【人教版】 【题型 1 分式的判断】 【题型 2 分式有意义的条件】 【题型 3 分式值为零的条件】 【题型 4 分式的求值】 【题型 5 分式的规律性问题】 【题型 6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 【题型 7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】 【题型 8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【题型 9 最简公分母】 【题型 10 最简分式】 【题型 11 约分、通分】 【题型 12 运用分式的基本性质求值】 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 【知识点 1 分式的定义】 【题型 1 分式的判断】 【例1】（2024秋•栾城区期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（2024秋•潍坊期中）下列代数式是分式的是（　　） A． B． C．2xy D． 【变式1-2】（2024春•江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　 　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 　 形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）若分式的值为m，m的取值范围是 　 　（直接写出结果）． 【变式1-3】4．思考：是分式还是整式？小明是这样想的：因为a2÷a＝a，而a是一个整式，所以是一个整式，你认为小明的想法正确吗？ 【题型 2 分式有意义的条件】 【例2】（2023春•衡山县期中）下列各式中，无论x取什么数时，总是有意义的分式个数是（　　） ①；②③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2024秋•潍坊期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【变式2-2】（2023•吴川市三模）若x＝﹣1使某个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春•邛崃市月考）若x＝﹣3能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2017秋•宁江区期末）写出一个分式使它满足：①含有字母x、y；②无论x、y为何值时，分式的值一定是有意义，符合这两个条件的分式是　 ． 【题型 3 分式值为零的条件】 【例3】（2023秋•定西期末）已知某个分式，当x＝﹣1时，分式无意义，当x＝2时，分式的值为0，则该分式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋•岳麓区月考）请写出一个只含有字母x的分式，且当x＝1时，此分式的值为0，这个分式可以是 　 　． 【变式3-2】（2023春•雁塔区月考）当x＝﹣1时，下列各式中其值为零的分式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024春•萧山区期末）当x＝3时，下列各式中值为零的分式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024春•和县期中）下列判断中，正确的有（　　） A．分式的分子一定含有字母 B．只要分式的分子为零，则分式的值为零 C．只要分式的分母为零，则分式必无意义 D．不是分式而是整式 【题型 4 分式的求值】 【例4】已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m的值． 【变式4-1】（2022秋•望都县期末）如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•海淀区期中）若a与b互为相反数，则（　　） A．﹣2020 B．﹣2 C．1 D．2 【变式4-4】（2020•黄州区自主招生）设非零实数a，b，c满足，则的值为　 ． 【题型 5 分式的规律性问题】 【例5】（2023秋•资中县期中）给定下面一列分式：，，，，（其中x≠0）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　　，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【变式5-2】（2023秋•莱芜区月考）已知，请计算y2024＝　 　．（用含x的代数式表示） 【变式5-3】（2023秋•樊城区期末）观察分析下列方程：①x3；②x5；③x7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　 　． 【题型 6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 【例6】（2024春•城关区期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得x＜1； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是x＜1． ∴当x＜1时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【变式6-1】（2021春•沛县月考）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是 　 　． 【变式6-2】若分式的值为负数，则x的取值范围为　 ，分式的值为负数，则x的取值范围是　 　． 【变式6-3】（2022秋•凉山州期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 　 　． 【题型 7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】 【例7】（2023秋•冷水滩区期中）先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 【变式7-1】（2023春•天元区期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（　　） A．8 B．4 C．0 D．﹣2 【变式7-2】（2022秋•宣州区期中）当x为何整数时， （1）分式的值为正整数； （2）分式的值是整数． 【题型 8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例8】（2023春•夏县期末）下列分式的变形正确的是（　　） A． B．x+y C． D．a﹣1 【变式8-1】（2022秋•镇原县期末）小明、小华、小颖三名同学解这样一个问题： 求a为何值时成立？ 小明：因为a2﹣1＝（a﹣1）（a+1），从分式的右边知，分式的分子和分母同时除以a﹣1，只需a﹣1≠0即可，故a的取值范围是a≠1； 小华：因为a+1也不能为零，故还应加上a≠﹣1这个条件，即a的取值范围就是a≠1且a≠﹣1； 小颖：因为|a﹣1|＝±（a﹣1），要使分子、分母约去a﹣1，则必须满足a﹣1≥0，结合a≠1和a≠﹣1，解出a＞1，即a的取值范围为a＞1； 三名同学中，谁说的有道理呢？请你给出完整的解题过程． 【变式8-2】（2024秋•柘城县期末）系数化成整数且结果化为最简分式：　 ． 【变式8-3】（2021秋•西岗区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【题型 9 最简公分母】 【例9】（2024春•万州区期末）分式，的最简公分母是（　　） A．（x+1）（x﹣1） B．x（x+1）（x﹣1） C．x2（x+1）（x﹣1） D．x（x﹣1）2 【变式9-1】（2024•百色）下列三个分式、、的最简公分母是（　　） A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2 【变式9-2】（1）已知分式与（a，b是常数且b＞0）的最简公分母为10xy3，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知分式与的最简公分母是2（x2﹣1），则分母A等于 　 　． 【题型 10 最简分式】 【例10】（2022春•汝州市期末）下列分式：①；②；③；④，其中的最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】（2018秋•浦东新区期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（2023秋•潮南区期末）若是一个最简分式，则“△”可以是（　　） A．3x B．x C． D．0.1x 【变式10-3】（2023•武安市三模）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 【题型 11 约分、通分】 【例11】（2022秋•澧县期末）分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【变式11-1】（2019秋•佳木斯期末）下列约分正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】（2022春•泗阳县期中）（1）约分： （2）通分：与 【题型 12 运用分式的基本性质求值】 【例12】已知a、b、c为有理数，且，，，那么的值是多少？ 【变式12-1】（2019秋•黄浦区期末）如果，那么a+b的值是　 　． 【变式12-2】（2024春•东坡区期末）若2，则　 ． 【变式12-3】（2023•内江模拟）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 分式【十二大题型】（解析版） 【人教版】 【题型 1 分式的判断】 【题型 2 分式有意义的条件】 【题型 3 分式值为零的条件】 【题型 4 分式的求值】 【题型 5 分式的规律性问题】 【题型 6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 【题型 7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】 【题型 8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【题型 9 最简公分母】 【题型 10 最简分式】 【题型 11 约分、通分】 【题型 12 运用分式的基本性质求值】 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 【知识点 1 分式的定义】 【题型 1 分式的判断】 【例1】（2024秋•栾城区期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：，，中，分母不含有字母，不是分式； ，，分母中含有字母，是分式，共3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 【变式1-1】（2024秋•潍坊期中）下列代数式是分式的是（　　） A． B． C．2xy D． 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、2xy不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2024春•江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　真分式　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 　1　形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）若分式的值为m，m的取值范围是 　﹣6≤m＜1　（直接写出结果）． 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案． （2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且x为整数，即可求得． （3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案． 【解答】解：（1）根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式， ， 故答案为：真分式；1−． （2），且 为正数，且x为正数 ∴x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝4或x＝2或x＝5或x＝1， 故满足条件的整数x的值为1，2，4，5． （3）∵m ＝1−， 而∴x2+1≥1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴﹣6≤m＜1． 故答案为：﹣6≤m＜1． 【点评】分式新定义题目，实际上是考查分式化简的知识，分式中分子分母同时满足某种关系时求得分式整体值的情况，对学生基础分析能力和知识迁移能力的考查非常明显． 【变式1-3】4．思考：是分式还是整式？小明是这样想的：因为a2÷a＝a，而a是一个整式，所以是一个整式，你认为小明的想法正确吗？ 【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式． 【解答】解：小明的想法不正确．因为的分母中含有未知数，所以是分式． 【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 【题型 2 分式有意义的条件】 【例2】（2023春•衡山县期中）下列各式中，无论x取什么数时，总是有意义的分式个数是（　　） ①； ② ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解． 【解答】解：①，无论x取什么数时，总有x2+1≥1≠0，故分式总有意义，符合题意； ②，当2x+1≠0，即时，分式有意义，故不符合题意； ③，当x3+1≠0，即x≠﹣1时，分式有意义，故不符合题意； ④，当x2≠0，即x≠0时，分式有意义，故不符合题意； ⑤，无论x取什么数时，总有（x﹣1）2+1≥1≠0，故分式总有意义，符合题意； 综上所述，无论x取什么数时，总是有意义的分式个数是2个． 故选：B． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【变式2-1】（2024秋•潍坊期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件、分式为0的条件解答． 【解答】解：∵当x＝1时，分式无意义， ∴分式的分母可能是x﹣1， ∵当x＝﹣2时，分式为0， ∴分式的分母可能是x+2， ∴分式可能是， 故选：C． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 【变式2-2】（2023•吴川市三模）若x＝﹣1使某个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式无意义的条件进行分析即可． 【解答】解：A、当x时，分式无意义，故此选项不合题意； B、x＝﹣1时，分式无意义，故此选项符合题意； C、当x＝1时，分式无意义，故此选项不合题意； D、当x时，分式无意义，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 【变式2-3】（2022春•邛崃市月考）若x＝﹣3能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式无意义的条件解答即可． 【解答】解：∵x＝﹣3能使一个分式无意义， ∴当x＝﹣3时，分式的分母等于0， ∵当x＝﹣3时，x+3＝0， ∴B选项符合． 故选：B． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 【变式2-4】（2017秋•宁江区期末）写出一个分式使它满足：①含有字母x、y；②无论x、y为何值时，分式的值一定是有意义，符合这两个条件的分式是　　． 【分析】依据分式的分母不为零以及分式的定义解答即可． 【解答】解：符合条件一个分式可以为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件、分式的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型 3 分式值为零的条件】 【例3】（2023秋•定西期末）已知某个分式，当x＝﹣1时，分式无意义，当x＝2时，分式的值为0，则该分式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 某个分式，当x＝﹣1时，分式无意义，说明其分母x≠﹣1才有意义， 则只有A、B符合题意， 当x＝2时，分式的值为0， 则只有A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查分数的值为零的条件、分式有意义的条件和分式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式3-1】（2023秋•岳麓区月考）请写出一个只含有字母x的分式，且当x＝1时，此分式的值为0，这个分式可以是 　（答案不唯一）　． 【分析】根据只含有字母x的分式，且当x＝1时，此分式的值为0，求解即可． 【解答】解：根据题意得， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了分式的值，分式的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式3-2】（2023春•雁塔区月考）当x＝﹣1时，下列各式中其值为零的分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：A、当x＝﹣1时，分母x+1＝0，故本选项错误； B、当x＝﹣1时，分母＝1﹣1＝0，故本选项错误； C、当x＝﹣1时，分母＝1﹣3+2＝0，故本选项错误； D、当x＝﹣1时，分子＝1﹣1＝0，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式为0的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 【变式3-3】（2024春•萧山区期末）当x＝3时，下列各式中值为零的分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可此题可以将3代入，但要注意分母不为0． 【解答】解：将各式化简可得： A、，因为x＝3，分式无意义，∴x≠3．故A错误； B、中当x＝3时分式没有意义，故B错误； C、中当x＝3时，3x﹣9＝0，而x2+9≠0，故C正确； D、中当x＝3时，分式没有意义，故D错误． 故选：C． 【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件． 【变式3-4】（2024春•和县期中）下列判断中，正确的有（　　） A．分式的分子一定含有字母 B．只要分式的分子为零，则分式的值为零 C．只要分式的分母为零，则分式必无意义 D．不是分式而是整式 【分析】根据分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，及分式为0的条件，分母不为0，分子等于0，结合选项即可得出判断出答案． 【解答】解：A、分式的分母一定含有字母，而不是分子一定含有字母，故本选项错误； B、只要分式的分子为零，分母不为0，分式的值才为零，此说法没有限制分母不为0，故本选项错误； C、只要分式的分母为零，则分式必无意义，故本选项正确； D、符合分式的定义，是分式，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查分式的定义及分式值为0的条件，属于基础题，注意一定要掌握分式为0的条件，分母不为0，分子等于0，一定不能漏掉分母不为0这个条件，这是学生经常犯的错误． 【题型 4 分式的求值】 【例4】已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m的值． 【分析】把已知等式变形后，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵m2﹣6m﹣1＝0，即6m＝m2﹣1，m6， ∴原式＝m21＝（m）2+3＝36+3＝39． 【点评】此题考查了分式的加减法，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4-1】（2022秋•望都县期末）如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用合比性质求解． 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【变式4-2】（2023秋•海淀区期中）若a与b互为相反数，则（　　） A．﹣2020 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据a与b互为相反数，可以得到a＝﹣b，然后代入整理后的式子计算即可． 【解答】解：∵a与b互为相反数， ∴a+b＝0． ∴a＝﹣b， ∴ ＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了相反数，根据相反数的定义得到a＝﹣b是解题的突破口． 【变式4-4】（2020•黄州区自主招生）设非零实数a，b，c满足，则的值为　　． 【分析】根据已知条件求得a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），然后代入即可求得； 【解答】解：∵， ∴a+b+c＝0， ∴（a+b+c）2＝0， ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0， ∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac）， ∴原式； 【点评】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是把已知条件的两个式子相减得到a+b+c＝0 【题型 5 分式的规律性问题】 【例5】（2023秋•资中县期中）给定下面一列分式：，，，，（其中x≠0）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号． 【解答】解：第奇数个式子的是正数，偶数个是负数， 分母是第几个式子就是y的几次方； 分子是第几个式子就是x的第几加1个奇数次方． 所以第七个分式是． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出的规律． 【变式5-1】（2023春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　　，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【解答】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为：． 【点评】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 【变式5-2】（2023秋•莱芜区月考）已知，请计算y2024＝　　．（用含x的代数式表示） 【分析】首先把y1代入y2，利用x表示出y2，进而表示出y3、y4，即可得到循环关系，进而即可解答． 【解答】解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵2024÷3＝674⋯⋯2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【变式5-3】（2023秋•樊城区期末）观察分析下列方程：①x3；②x5；③x7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　xn+（n+1）　． 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）． 【解答】解：∵第1个方程为x1+2， 第2个方程为x2+3， 第3个方程为x3+4， … ∴第n个方程为xn+（n+1）． 故答案为：xn+（n+1）． 【点评】本题考查了分式的定义．该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么． 【题型 6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 【例6】（2024春•城关区期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得x＜1； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是x＜1． ∴当x＜1时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【分析】根据分式的值为负，得到（1）或（2），解这个一元一次不等式组，即可解答本题． 【解答】解：依题意，得0， 则有（1）或（2）， 解不等式组（1），得x＜2， 解不等式组（2），无解， ∴不等式的解集是x＜2， ∴当x＜2时，分式的值为负． 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解法，掌握分式值为负的条件和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【变式6-1】（2021春•沛县月考）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是 　x＞﹣4且x≠0　． 【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除即可得出答案． 【解答】解：∵x≠0， ∴x2＞0， ∵分式的值是正数， ∴x+4＞0， ∴x＞﹣4且x≠0． 故答案为：x＞﹣4且x≠0． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除是解题的关键． 【变式6-2】若分式的值为负数，则x的取值范围为　﹣1＜x　，分式的值为负数，则x的取值范围是　x且x≠0　． 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围． 【解答】解：∵分式的值为负数， ∴（x+1）（3x﹣2）＜0， 解得：﹣1＜x， ∵分式的值为负数， ∴2x﹣1＜0且x2≠0， 解得：x且x≠0， 故答案为：﹣1＜x，x且x≠0． 【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-3】（2022秋•凉山州期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 　x＞﹣2且x≠1　． 【分析】由分式的分母不等于0，得到x+2＞0且x≠1，即可得到答案． 【解答】解：原式， ∴x+2＞0且x≠1， ∴x＞﹣2且x≠1． 故答案为：x＞﹣2且x≠1． 【点评】本题考查分式，关键是注意分式的分母不等于0． 【题型 7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】 【例7】（2023秋•冷水滩区期中）先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 【分析】根据分式的约分法则把原分式化简，根据数的整除计算即可． 【解答】解：， 当x＝2时，原式3， 当x＝4时，原式1， ∴当x＝2或4时，分式的值是正整数． 【点评】本题考查的是分式的约分、有理数的整除，掌握分式的约分法则是解题的关键． 【变式7-1】（2023春•天元区期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（　　） A．8 B．4 C．0 D．﹣2 【分析】结合已知条件确定x的值，然后将它们相加计算即可． 【解答】解：∵分式的值为整数， ∴x﹣1＝±1或±7， 则x＝0或2或﹣6或8， 则0+2﹣6+8＝4， 故选：B． 【点评】本题考查分式的值，结合已知条件确定x﹣1＝±1或±7是解题的关键． 【变式7-2】（2022秋•宣州区期中）当x为何整数时， （1）分式的值为正整数； （2）分式的值是整数． 【分析】（1）若使该式的值为正整数，则（2x+1）能够被4整除，所以2x+1可以为1，2，4；即x＝0，0.5，1.5；由x为整数得，x＝0即可； （2）分式进行变形，化为，若要使值为整数，则的值一定是整数，则x﹣1一定是3的约数，从而求得x的值． 【解答】解：（1）若使该式的值为正整数，则（2x+1）能够被4整除， ∴2x+1可以为1，2，4， ∴x＝0，0.5，1.5， ∵x为整数，∴x＝0； （2）， ∵的值为整数，且x为整数； ∴x﹣1为3的约数， ∴x﹣1的值为1或﹣1或3或﹣3； ∴x的值为2或0或4或﹣2． 【点评】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则． 【题型 8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例8】（2023春•夏县期末）下列分式的变形正确的是（　　） A． B．x+y C． D．a﹣1 【分析】根据分式的基本性质作答． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题； C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0． 【变式8-1】（2022秋•镇原县期末）小明、小华、小颖三名同学解这样一个问题： 求a为何值时成立？ 小明：因为a2﹣1＝（a﹣1）（a+1），从分式的右边知，分式的分子和分母同时除以a﹣1，只需a﹣1≠0即可，故a的取值范围是a≠1； 小华：因为a+1也不能为零，故还应加上a≠﹣1这个条件，即a的取值范围就是a≠1且a≠﹣1； 小颖：因为|a﹣1|＝±（a﹣1），要使分子、分母约去a﹣1，则必须满足a﹣1≥0，结合a≠1和a≠﹣1，解出a＞1，即a的取值范围为a＞1； 三名同学中，谁说的有道理呢？请你给出完整的解题过程． 【分析】利用绝对值的代数意义，根据a的范围化简即可验证． 【解答】解：小颖有道理， 当a﹣1≥0，且a≠1和a≠﹣1， 即a＞1时，|a﹣1|＝a﹣1， ∴原式． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【变式8-2】（2024秋•柘城县期末）系数化成整数且结果化为最简分式：　　． 【分析】根据分式的基本性质解答． 【解答】解：系数化成整数：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式8-3】（2021秋•西岗区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：A、2，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意； B、，分式的值保持不变，故此选项符合题意； C、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意； D、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型． 【题型 9 最简公分母】 【例9】（2024春•万州区期末）分式，的最简公分母是（　　） A．（x+1）（x﹣1） B．x（x+1）（x﹣1） C．x2（x+1）（x﹣1） D．x（x﹣1）2 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式，的分母分别是x2﹣x＝x（x﹣1）、x2+x＝x（x+1），故最简公分母是x（x﹣1）（x+1）． 故选：B． 【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【变式9-1】（2024•百色）下列三个分式、、的最简公分母是（　　） A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2． 故选：D． 【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【变式9-2】（1）已知分式与（a，b是常数且b＞0）的最简公分母为10xy3，则a＝　3　，b＝　5或10　； （2）已知分式与的最简公分母是2（x2﹣1），则分母A等于 　±2（x+1）或±2（x2﹣1）．　． 【分析】（1）通过最简公分母的最高次幂，可以求出a，再根据最简公分母的数字10，可以求出b的值． （2）利用最简公分母的方法去求解即可． 【解答】解：（1）由题可知分式的最简公分母为10xy3， 即2ya与bxy的最简公分母是10xy3， 可得a＝3， 又知2与b的最简公分母是10， 又知b＞0， 故b＝5或10才能满足题意． （2）可知分式与的最简公分母是2（x2﹣1）， 所以分母A＝±2（x+1）或±2（x2﹣1）． 故答案为：（1）3，5或10；（2）±2（x+1）或±2（x2﹣1）． 【点评】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的求法是解题的关键． 【题型 10 最简分式】 【例10】（2022春•汝州市期末）下列分式：①；②；③；④，其中的最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案． 【解答】解：①，故此选项不合题意； ②是最简分式，符合题意； ③，故此选项不合题意； ④是最简分式，符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 【变式10-1】（2018秋•浦东新区期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．是最简分式，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．分式化简时，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 【变式10-2】（2023秋•潮南区期末）若是一个最简分式，则“△”可以是（　　） A．3x B．x C． D．0.1x 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，由此即可判断． 【解答】解：A、Δ＝3x，原式，原式不是最简分式，故A不符合题意． B、Δ＝x，原式是最简分式，故B符合题意； C、Δx，，原式不是最简分式，故C不符合题意； D、Δ＝0.1x，，原式不是最简分式，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查最简分式，关键是掌握最简分式的定义． 【变式10-3】（2023•武安市三模）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【解答】解：∵， ∴， 故*部分的式子应该是x2﹣2x+1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 【题型 11 约分、通分】 【例11】（2022秋•澧县期末）分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【分析】分式的分母a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 【变式11-1】（2019秋•佳木斯期末）下列约分正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】各式约分得到结果，即可作出判断． 【解答】解：（1）原式，符合题意； （2）原式，不符合题意； （3）原式1，不符合题意； （4）原式为最简分式，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式11-2】（2022春•泗阳县期中）（1）约分： （2）通分：与 【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案； （2）首先得出最简公分母，进而得出答案． 【解答】解：（1）原式； （2）与，最简公分母为：3a2bc， 则， ． 【点评】此题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 【题型 12 运用分式的基本性质求值】 【例12】已知a、b、c为有理数，且，，，那么的值是多少？ 【分析】将，，分别写为3，4，5，得到3，4，5，从而求出，，，将它们代入并计算即可． 【解答】解：∵，，， ∴3，4，5， ∴3，4，5， ∴2，1，3， ∴． 【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式的性质及其运算法则是解题的关键． 【变式12-1】（2019秋•黄浦区期末）如果，那么a+b的值是　0　． 【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，当分母相同时，使方程两边的分子部分相同即可解决． 【解答】解：， ， ， 4x＝（a﹣b）x﹣2（a+b）， 所以a﹣b＝4，a+b＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键． 【变式12-2】（2024春•东坡区期末）若2，则　　． 【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 【点评】解题关键是用到了整体代入的思想． 【变式12-3】（2023•内江模拟）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 　　． 【分析】根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把y和z都用含x的式子表示即可解答． 【解答】解：由题意得： ， ②×2得：8x+6y﹣4z＝0③， ①+③得：10x+5y＝0， ∴y＝﹣2x， 把y＝﹣2x代入①中得： 2x+2x+4z＝0， z＝﹣x， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的值，解三元一次方程组，根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把y和z都用含x的式子表示是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$