精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学初中部2024-2025学年上学期期中八年级数学问卷

乌鲁木齐八一中学初中部2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学问卷 （卷面分值：100分；考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共9小题，共27分，每题3分） 1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，10 D. 2，6，9 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（ ） A. B. C. D. 7. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 9. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，共18分，每题3分） 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 11. 若，，则___________． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 13. 如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝54°，则∠E＝________°． 14. 若关于x代数式是完全平方式，则常数______． 15. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. （1）计算：． （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，，，，求证：． 19. 已知，求与的值． 20. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）的度数为______． （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 22. 阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点画射线交线段于点（点不与点、点重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． 23. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐八一中学初中部2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学问卷 （卷面分值：100分；考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共9小题，共27分，每题3分） 1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，10 D. 2，6，9 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握构成三角形的三边关系是解题的关键，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项分析即可. 【详解】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、，能构成三角形，故本选项符合题意； 、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何运用．运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 4. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，进而求出，由此即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 6. 如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解； 【详解】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°； 正五边形的内角为：，内角的补角为：72°； ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关键． 7. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴， 故选：C． 8. 如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可． 【详解】解：∵a+b=ab=9， ∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27． 故选B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 9. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分，每题3分） 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 11. 若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 13. 如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝54°，则∠E＝________°． 【答案】27 【解析】 【详解】∵BE⊥AC，AD=CD， ∴AB=CB，即△ABC为等腰三角形， ∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE=∠ABC=27°， 在△ABD和△CED中， , ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴∠E=∠ABE=27°． 故答案是：27． 14. 若关于x代数式是完全平方式，则常数______． 【答案】±1 【解析】 【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值． 【详解】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，x2+4mx+4是完全平方式， ∴±4x＝4mx， ∴m＝±1． 故答案为：±1． 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟练应用，两种情况是求m值得关键． 15. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，单项式除以单项式运算，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算括号内的平方差公式，然后合并，然后计算括号外的单项式除以单项式即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】略 19. 已知，求与的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形进而求解即可 【详解】， , ， , ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 20. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）的度数为______． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）先求出，再由角平分线的定义得到，求出，则． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； （2） ， 理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点画射线交线段于点（点不与点、点重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用． （1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先证明，是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为；②当另两个角中有优雅角这两个情况，分别得出的度数为，的度数为，即可作答． 【小问1详解】 解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵，是“优雅三角形”， ∴①当“优雅角”为时，另一个角为，则，的度数为， ②当另两个角中有“优雅角”时， 即另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义， 设另两个角的小的角为，则另两个角的大的角为 则 ∴ 另两个角分别为：，， 若，则的度数为， 若，此时点与点重合， ∵点不与点、点重合，故应舍去 综上所述，的度数为或． 23. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） ，，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $