江苏省马坝高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学（美术班）试题

答案第 1页，共 4页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C C B D ACD AD 题号 11 答案 ABC 12．y − 2 =− 2(x − 1) 13．�2 + (� − 1)2 = 9 14． 2 15．(1)3 3 0x y   (2)x − 2y + 8 = 0 16.(1) x = 2 或 3x + 4y − 22 = 0 (2) �2 + �2 − 194� − 1 = 0 17．(1) ( ,5) (2) 4 (3) 4 【分析】（1）根据题意，得到方程 2 2( 1) ( 2) 5x y m     ，结合圆的标准方程，得出不等 式，即可求解； （2）根据题意，求得圆C与圆D的圆心坐标和半径，结合圆C与圆D相外切，列出方程， 即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心C到直线 l的距离为 5 5 d  ，结合圆的弦长公式， 列出方程，即可求解. 【详解】（1）由方程 2 2: 2 4 0C x y x y m     ，整理得 2 2( 1) ( 2) 5x y m     ， 因为方程C表示圆，可得5 0m  ，解得 5m  ， 所以实数m的取值范围为 ( ,5) . （2）由圆 2 2: 8 12 36 0D x y x y     ，可得 2 2( 4) ( 6) 16x y    ， 可得圆心为 (4,6)D ，半径为 1 4r  ， 又由圆C的圆心为 (1,2)C ，半径为 5r m  ， 因为圆C与圆D相外切，可得 1CD r r  ，即 2 2(4 1) (6 2) 4 5 m      ， 解得 4m  . （3）由（2）知，圆C圆心为 (1,2)C ，半径为 5r m  ， 则圆心C到直线 : 2 4 0l x y   的距离为 2 2 1 4 4 5 51 2 d      ， 答案第 2页，共 4页 因为圆 C与直线 : 2 4 0l x y   相交于 ,M N两点，且 4 5 5 MN  ， 根据圆的弦长公式，可得 2 2 4 52 5 MN r d   ， 可得 2 2 2 5 2 5( 5 ) ( ) ( ) 5 5 m   ，即 1 45 5 5 m   ，解得 4m  . 18．(1) 1 2 4y y   ； (2)证明见解析； (3) 2 2( 1)y x  . 【分析】（1）设直线为 1x ty  ，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有 1 1OFA AA F   ， 1 1OFB BB F   且 1 1| | | |,| | | |AA AF BB BF  ，进而得到 1 11 1 AFA BFB BA F   ，即可证结论； （3）根据题设有 2 2 1 2 1 2( , ) 8 2 y y y yM   ，结合（1）有 2(2 1,2 )M t t ，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点 (1,0)F ，直线可设为 1x ty  ，联立抛物线有 2 4 4y ty  ， 所以 2 4 4 0y ty   ，由直线与抛物线有两个交点，即 0  ，则 1 2 4y y   . （2）如下图示，由题意易知 1 1 1 1 1 1,AA A B BB A B  ，则 1 1OFA AA F   ， 1 1OFB BB F   ， 又 1 1| | | |,| | | |AA AF BB BF  ，则 1 1AFA AA F   ， 1 1BFB BB F   ， 综上， 1 1OFA AFA   ， 1 1OFB BFB   ，即 1 11 1 AFA BFB BA F   ， 而 1 1 1 1 180OFA AFA OFB BFB      ，即 11 1 1 180A FB AFA BFB    ， 所以 1 1 90A FB  ，得证. （3）由题意 2 2 1 2 1 2( , ) 8 2 y y y yM   ，由（1）知： 1 2 4y y t  ， 1 2 4y y   ， 答案第 3页，共 4页 所以 2 2 2 2 21 2 1 1 2 8( ) 2 16y y y y y y t    ，故 2(2 1,2 )M t t ， 所以M 轨迹为 2 21 2( 1) 2 yx y x     . 19．(1) 2 2 1 4 x y  (2) 70 (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线 l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线 l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算 即得. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为 2 5， 则 2 2 5c  ，即 5c  ， 由 2 1 5a   ，得 2a  ， 所以双曲线的方程为 2 2 1 4 x y  . （2）依题意，直线MN的方程为  3 4 2 y x  ， 联立   2 2 3 4 2 1 4 y x x y        ，即 2 12 26 0x x   ， 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则 1 2 12x x  ， 1 2 26x x  ， 所以弦长   2 2 2 1 2 1 2 3 71 4 12 4 26 70 2 2 MN x x x x                 . （3）证明：依题意，设直线的方程为 4x my  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 联立 2 2 4 1 4 x my x y       ，即  2 24 8 12 0m y my    ， 则  2 264 4 4 12 0m m      ， 且 1 2 2 8 4 my y m     ， 1 2 2 12 4 y y m   ，即  1 2 1 23 2y y my y   ， 答案第 4页，共 4页 而 ( )1 2,0A - ，  2 2,0A ， 所以         1 1 2 1 21 1 1 2 1 22 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 2 6 6 2 y y x y myk x my y y yk y x y my my y y x                1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 32 12 2 2 3 3 9 36 2 2 2 y y y y y y y y y y              为定值. 第 1 页 共 4 页 江苏省马坝高级中学 2024—2025 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（美术） 2024.11 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．直线 2y x  的倾斜角是（ ） A．0 B． 45 C．30 D．90 2．若方程 2 2 1 7 1 x y m m     表示焦点在 y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A． ( ,1) B． (1,4) C． (4,7) D． (7, ) 3．如图，若直线 1 2 3 4, , ,ll l l 的斜率分别为 1 2 3 4, , ,k k k k ，则（ ） A． k k k k  ₄ ₃ ₂ ₁ B． k k k k  ₄ ₃ ₁ ₂ C． k k k k  ₄ ₂ ₃ ₁ D． k k k k  ₃ ₄ ₂ ₁ 4．已知点 (1, 2)在抛物线 2:C y ax 上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． 1 2 x   B． 1 2 y   C． 1 8 x   D． 1 8 y   5．已知数列 2, 5, 2 2, 11,，则 2 5是它的（ ） A．第 5项 B．第 6项 C．第 7项 D．第 8项 6．已知圆M 经过  1,1P ，  7, 5Q   两点，且圆心M 在直线 : 2 1 0l x y   ，则圆M 的标 准方程是（ ） A．    2 22 3 5x y    B．    2 23 4 13x y    C．    2 23 2 25x y    D．    2 23 2 25x y    7．“ 3a  ”是“直线  1 : 1 2 1 0l a x y    与直线 2 : 3 1 0l x ay   平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列 na 满足 1 2 2 21, 2, n n a a a a     ，则�2024 =( ) A．1 B．2 C．−1 D．−2 第 2 页 共 4 页 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9．已知直线 : 2 3 1 0l x y   ，则（ ） A． l不过原点 B． l在 x轴上的截距为 1 2 C． l的斜率为 2 3 D． l与坐标轴围成的三角形的面积为 1 12 10．已知椭圆 2 2 : 1 9 27 x yC   ，则（ ） A．椭圆C的长轴长为6 3 B．椭圆C的一个焦点为 (3 2,0) C．椭圆C的短半轴长为 6 D．椭圆C的离心率为 6 3 11．已知直线 : 2 0l kx y   和圆 2 2: ( 3) ( 4) 16M x y    ，则下列选项正确的是（ ） A．直线 l恒过点 (0,2) B．直线 l与圆M 相交 C．圆M 与圆 2 2: 1C x y  有三条公切线 D．直线 l被圆M 截得的最短弦长为 2 2 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．过点（1，2），斜率为−2所在直线的点斜式方程为 . 13．圆心为  0,1 且与直线 2y   相切的圆的方程为 . 14．抛物线C： 2 4y x 的焦点为 F ，P为C上一点且 3PF  ，O为坐标原点，则�∆��� . 四、本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说 明，证明过程或演算步骤. 15．直线 l经过两直线 1 : 3 4 6 0l x y   和 2 : 2 1 0l x y   的交点. (1)若直线 l与直线3 1 0x y   平行，求直线 l的方程； (2)若直线 l与直线 2l 垂直，求直线 l的方程. 第 3 页 共 4 页 16．已知圆 2 2: 6 4 12 0M x y x y     和 ( 1,0)A  ，B(1,0)， (2, 4)C ． (1)求过点 (2, 4)C 且与圆 M相切的直线方程； (2)求过 A、B、C三点的圆的方程. 17．已知关于 ,x y的方程 2 2: 2 4 0C x y x y m     . (1)若方程C表示圆，求 m的取值范围； (2)若圆C与圆 2 2: 8 12 36 0D x y x y     外切，求m的值； (3)若圆C与直线 : 2 4 0l x y   相交于 ,M N两点，且 4 5 5 MN  ，求m的值. 第 4 页 共 4 页 18．设过抛物线 2 4y x 的焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，且这两交点纵坐标分别为 1y ， 2y ，A，B在抛物线准线上的射影分别为 1A， 1B ． (1)求 1 2y y 值； (2)求证： 1 1A FB 是直角； (3)M是线段 AB中点，求点 M的轨迹方程． 19．已知双曲线 2 2 2: 1( 0) xC y a a    的焦距为 2 5 且左右顶点分别为 1A， 2A ，过点 (4,0)T 的 直线 l与双曲线 C的右支交于 M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线MN的斜率为 3 2 ，求弦长 �� ； (3)记直线 1AM ， 2A N的斜率分别为 1k ， 2k ，证明： 1 2 k k 是定值.