精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

重庆南开中学2024－2025学年度上学期期中考试初2026届 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是无理数， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，已知点，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求点所在的象限，根据点所在象限的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵点， ∴点的符号特征为：； 故点在第三象限； 故选：C． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．掌握这个概念是解答本题的关键． 化简各选项之后，根据二次根式的定义判断与是同类二次根式的选项． 【详解】解：A．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； B．与被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意； C．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； D．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照，即可得到哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5. 在一次函数的图象上有两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．一次函数中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 6. “黑神话悟空”的出现，极大地拉动了山西的旅游事业．欢欢在如图的方格纸中绘制了“跟着悟空游山西”的自驾路线局部示意图，若图中的“云冈石窟”与“龙门寺”分别用、表示，则“小西天”表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，确定原点的位置是解题关键．先根据已知点的坐标即可确定原点位置，进而建立直角坐标系，即可得出答案． 【详解】解：如图， “小西天”表示为， 故选：B． 7. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 8. 甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据人数共15人可得方程，根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”， 由题意得，， 故选：A． 9. 将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意； B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意； C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意； D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意； 故选：D． 10. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，先根据旋转的性质得出，，然后根据等边三角形的判定与性质得出，，则，，最后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 12. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是： ①取特殊值判断即可； ②把代入，得出，然后按照“换系数操作”列出所有的结果判断即可； ③当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：①当时，a与化为相反数，此时“换系数操作”后的结果与原多项式相同，故①正确； ②若，则原多项式为，“换系数操作”后的多项式有，，，共三个，故②正确； ③当时，，则展开得到多项式的各项系数和为，常数项为， ∴， 选择第一项与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，，即9个1和， 选择第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，，即8个1和， …… 选择倒数第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为， 故③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 将点向上平移1个单位得点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查直角坐标系中点的坐标平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，熟记规律是解题的关键．根据点平移的规律：纵坐标上加下减，即可求解． 【详解】点向上平移1个单位， 点的坐标是，即， 故答案为：． 15. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的代入求值，掌握正比例函数的性质是解题的关键．把点代入正比例函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 16. 如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数与的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．用表示出方程组的解是解题的关键．先求方程组的解，用表示出，的值，再根据可得到关于的等式，从而求得的值． 【详解】解：解方程组，可得， ， ， 解得． 故答案为：． 18. 已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 19. 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，整式的加减等知识，相距数轴得出，进而得出，，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义以及整式的加减法则计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 20. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 21. 如图，等腰中，，，过点C作于点D，点E为线段上一点，连接，点F为线段上一点，连接交于点G，连接，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】过D作于M，于N，证明，得出，然后证明，进而可证明，证明，得出，，根据角平分线的判定即可得出平分，从而得出、都是等腰直角三角形，则，，根据勾股定理可求出，，即可求解． 【详解】解：过D作于M，于N， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，判断平分是解题的关键． 22. 若一个四位数满足千位上的数字等于十位上的数字，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称其为“空空数”．请直接写出最大的“空空数”为______．已知一个四位数（其中a，b，c均为整数，且，，）为“空空数”，将N去掉其个位数字剩下的三位数记为A，将N去掉其千位与百位数字剩下的两位数记为B，若为整数，且A除以11的余数为2，则满足条件的N为______． 【答案】 ①. 9999 ②. 1017 【解析】 【分析】本题考查了新定义，三元一次方程的解等知识，根据新定义，各数位上数字取最大即可解答第一空；先表示出，，，根据为整数，得出是8的倍数， 结合已知可求出的值可能为8，16，24，32，40，48；根据A除以11的余数为2，得出是11的倍数，则是11的倍数，求出的值为0或11，然后分，讨论，求出a、b的值，在一一代入，，，，，，求出C的值，然后根据“空空数”的定义判断即可求解． 【详解】解：要使“空空数”最大，则各位上的数字取最大，即为9，而， ∴最大的“空空数”为9999； 根据题意，得，， ∴， ∵为整数， ∴是8的倍数， ∵，，， ∴， ∴的值可能为8，16，24，32，40，48， ∵A除以11的余数为2， ∴是11的倍数， 又， ∴是11的倍数， ∵，， ∴， ∴的值为0或11， 当时，，，， 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴1017是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴2222不是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）， 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得， ∴， ∴各数位上的数字和为， ∴3434不是“空空数”； 把代入，得，解得（舍去）； 把代入，得，解得（舍去）； 当时，（舍去），或（舍去），或（舍去）， 综上，符合题意的N为1017， 故答案为：9999；1017． 三、解答题：（本大题共9个小题，23题8分，24题10分，25题8分，26题8分，27题至31题每题10分，共84分）解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义化简计算即可； （2）根据平方差公式，二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解∶原式 ． 24. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可， （2）先去分母，去括号整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 【小问2详解】 解： 方程①去括号，整理得：③， 方程②去分母，整理得：④， ④×2③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 25. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，非负数的性质等知识，先根据多项式乘以多项式法则，完全平方公式，多项式除以多项式法则等化简，然后根据非负数的性质求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】解∶ ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 26. 如图，在中，点为线段上一点． （1）用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点，在延长线上取一点，使，连接； （2）在（）所作的图形中，若， ， ，求的周长． 解：∵，，， ∴， ∴_____________， 在和中， ， ∴， ∴，_____________， ∵，， ∴的周长_______． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）；；；． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的方法作图即可； （）根据三角形外角的性质可得出，证明，得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形统计图如下： ． （3）510名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用类所对应的学生人数除以其所占的百分比即可得本次被抽查的学生总人数；再利用乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得类所对应的圆心角度数； （2）先求出类所对应的学生人数，再据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校初中学生总人数乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次被抽查的学生总人数为（名）， 类所对应的圆心角度数为， 故答案为：100，． 【小问2详解】 解：类所对应的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数为510名． 28. “立冬时节寒风起，万木凋零百草枯，某家电力公司为了提高电力输送效率，在十月份对输电线路A和B进行了两次升级，来应对冬天的用电高峰．公司记录了两次升级工程的公里数和费用，如下表所示：（注：十月两次升级中每条线路每公里升级费用均不变） 升级情况 线路A（公里） 线路B（公里） 总费用（万元） 第一次升级 50 20 380 第二次升级 60 40 520 （1）十月份，线路A和线路B每公里的升级费用各是多少万元？ （2）电力公司计划在十一月对这两条线路进行第三次升级．由于采用了新的材料，预计线路A每公里的升级费用比之前减少，线路B每公里的升级费用不变．线路A升级的公里数与第二次升级的公里数相同，线路B升级的公里数比第二次升级的公里数长公里，若第三次升级总费用比第二次升级总费用多48万元，求a的值． 【答案】（1）线路A每公里的升级费用是6万元，线路B每公里的升级费用是4万元 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设线路A每公里的升级费用是x万元，线路B每公里的升级费用是y万元，根据“第一次升级总费用为380万元，第二次升级总费用为520万元”，列方程组求解即可； （2）根据“第三次升级总费用比第二次升级总费用多48万元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设线路A每公里的升级费用是x万元，线路B每公里的升级费用是y万元， 根据题意，得， 解得， 答：线路A每公里的升级费用是6万元，线路B每公里的升级费用是4万元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得． 29. 如图1，在等边中，，过点A作于点D，两动点P，Q分别以每秒1个单位的速度同时从D出发，点P沿折线运动，点Q沿折线运动，当P，Q两点相遇时停止运动．设运动时间为x秒（），线段的长度记为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当线段的长度为4时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） 如图， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质等知识． （1）当P在上、Q在上运动时，根据路程等于速度×时间即可求解；当P在上、Q在上运动时，证明是等边三角形即可求解； （2）当时，；当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图， 由图可知：当时，或． 30. 如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； （3）如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，由求得，得到，得到，得，设解析式为，求得，得到； （2）求出，得到，求出，得到，设，根据，得到，求得，或，得到 （3）将向下平移6个长度单位为，得到，得到，设，当时，，得到 ，当时，根据，得到，得到轴，得到． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，或， ∴； 【小问3详解】 解：存在．理由： 将向下平移6个长度单位为， 当时，， ∴， ∴， 设， 当时，， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 故． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，三角形面积公式，函数的平移，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 31. 在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作交于点E． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点F，若，求证：； （3）如图3，若，，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离的平方． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，延长到，使，作交的延长线于， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 如图1，连接，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，，由，可得，由旋转的性质可知，，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图1，延长到，使，作交的延长线于，证明，则，由旋转的性质可知，，，如图1，连接，，证明是等边三角形，则，，，由，可求，则，，如图，连接，证明，则，进而结论得证； （3）如图2，作，使，连接，证明，则，，当三点共线时，最小，为，如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置，则，如图2，作绕顺时针旋转到，延长交于，则，，，，可得，此时即为最小时的点，由，可得，，，如图2，作于，设，则，，，，由，可求，则，，如图2，连接，作，则，即，可求，根据点E到的距离的平方为，求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴的长度为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如下图2，作，并截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置， ∴， ∴， 如图3，作绕顺时针旋转到，延长交于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时即为最小时的点， ∵， ∴，， ∴， 如图3，作于， 设，则，，，， ∴， 解得，， ∴，， 如图2，连接，作于点， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点E到的距离的平方为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，分母有理化等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，分母有理化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2024－2025学年度上学期期中考试初2026届 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次函数的图象上有两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. “黑神话悟空”的出现，极大地拉动了山西的旅游事业．欢欢在如图的方格纸中绘制了“跟着悟空游山西”的自驾路线局部示意图，若图中的“云冈石窟”与“龙门寺”分别用、表示，则“小西天”表示为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 8. 甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 将点向上平移1个单位得点，则点的坐标为______． 15. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 16. 如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是______． 18. 已知，则代数式的值是______． 19. 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是______． 20. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 21. 如图，等腰中，，，过点C作于点D，点E为线段上一点，连接，点F为线段上一点，连接交于点G，连接，若，，则______． 22. 若一个四位数满足千位上的数字等于十位上的数字，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称其为“空空数”．请直接写出最大的“空空数”为______．已知一个四位数（其中a，b，c均为整数，且，，）为“空空数”，将N去掉其个位数字剩下的三位数记为A，将N去掉其千位与百位数字剩下的两位数记为B，若为整数，且A除以11的余数为2，则满足条件的N为______． 三、解答题：（本大题共9个小题，23题8分，24题10分，25题8分，26题8分，27题至31题每题10分，共84分）解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 23. 计算： （1）； （2）． 24. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 25. 先化简，再求值：，其中． 26. 如图，在中，点为线段上一点． （1）用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点，在延长线上取一点，使，连接； （2）在（）所作的图形中，若， ， ，求的周长． 解：∵，，， ∴， ∴_____________， 在和中， ， ∴， ∴，_____________， ∵，， ∴的周长_______． 27. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 28. “立冬时节寒风起，万木凋零百草枯，某家电力公司为了提高电力输送效率，在十月份对输电线路A和B进行了两次升级，来应对冬天的用电高峰．公司记录了两次升级工程的公里数和费用，如下表所示：（注：十月两次升级中每条线路每公里升级费用均不变） 升级情况 线路A（公里） 线路B（公里） 总费用（万元） 第一次升级 50 20 380 第二次升级 60 40 520 （1）十月份，线路A和线路B每公里的升级费用各是多少万元？ （2）电力公司计划在十一月对这两条线路进行第三次升级．由于采用了新的材料，预计线路A每公里的升级费用比之前减少，线路B每公里的升级费用不变．线路A升级的公里数与第二次升级的公里数相同，线路B升级的公里数比第二次升级的公里数长公里，若第三次升级总费用比第二次升级总费用多48万元，求a的值． 29. 如图1，在等边中，，过点A作于点D，两动点P，Q分别以每秒1个单位的速度同时从D出发，点P沿折线运动，点Q沿折线运动，当P，Q两点相遇时停止运动．设运动时间为x秒（），线段的长度记为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当线段的长度为4时，直接写出x的值． 30. 如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； （3）如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31. 在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作交于点E． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点F，若，求证：； （3）如图3，若，，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $