专题02 解一元二次方程-配方法的应用重难点培优专题训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题02 配方法的应用重难点培优专题训练 题型导引 题型一：用配方法解一元二次方程 题型二：利用配方法求字母及代数式的值 题型三：利用配方法比较大小 题型四：利用配方法进行证明 题型五：利用配方法求最值 题型六：利用配方法在实数范围内分解因式 题型七：利用配方法确定三角形形状 题型八：利用配方法求几何图形面积最值 知识要点精讲 配方法： ①配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． ②用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： 第一步，化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； 第二步，移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步，配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 第四步，化原方程为(x+m）2=n的形式； 第五步，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 【注意】 ①实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 ②代数式的配方步骤可参考上面的步骤，但要注意区别。 重难点题型训练 题型一：用配方法解一元二次方程 1．（天津市河北区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）将一元二次方程配方成的形式，则b的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．16 3．（24-25九年级上·北京·期中）用配方法将一元二次方程变形为的形式是________． 4．（24-25八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方后可得，那么________． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： (1)小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． (2)请利用小其的方法正确地解方程． 6．（24-25九年级上·广东清远·期中）解一元二次方程： ； 题型二：利用配方法求字母及代数式的值 1．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数m，n满足，则的值为_________． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，则的值为_________． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为________． (2)已知，求的值； 题型三：利用配方法比较大小 1．（15-16九年级上·江苏盐城·开学考试）已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．（19-20九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣）． （1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值； （2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 4．（20-21九年级上·湖南常德·阶段练习）若代数式，请比较的大小． 5．（2023·江苏无锡·一模）已知，，请比较M和N的大小． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，其中． (1)求证：； (2)比较M和Q的大小． 题型四：利用配方法进行证明 1．（2021九年级上·全国·专题练习）用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 2．（2020八年级下·陕西·专题练习）证明不论为任何实数， 的值总是正数 3．（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）证明：无论x为何实数，代数式x²-4x+4.5的值恒大于零． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用配方法证明：无论取何值，代数式的值总小于0． 6．（18-19八年级·全国·课后作业）试证：不论当为何值时，多项式的值总大于的值. 题型五：利用配方法求最值 1．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． (2)代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式最小值 (2)填空：代数式当______时，有最______值，是______． (3)若代数式的最小值为，求k的值． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最值（填“大 ”或“小 ”），且值为． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用． 【探究方法】 已知a，b为任意实数， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系（写出过程）． 【类比应用】 运用上面的结论，完成填空： （1）___________，此时代数式：有最___________值为___________． （2）当时，___________，此时代数式有最___________值为___________． （3）当时，代数式有最___________值为___________． 【问题解决】 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽，若没有，请说明理由．由此你能得到怎样的结论？ 6．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 题型六：利用配方法在实数范围内分解因式 1.（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：． 2.（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解：． 3．（22-23八年级上·山东烟台·期中）阅读材料：将多项式因式分解． 原式＝ ＝ ＝ ＝． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中， ∵≥0 ∴≥-1 即的最小值是-1 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； 4．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 5.（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式： 6.（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解： 题型七：利用配方法确定三角形形状 1．（17-18七年级下·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 2．（18-19八年级下·全国·课后作业）已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是________三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是_________三角形． 3．（18-19八年级上·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 4.（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 题型八：利用配方法求几何图形面积最值 1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 2．（22-23八年级上·山东德州·期末）阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方： 再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 3．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）配方 (1)若，则_____，_____ (2)如图，在△ABC中，∠B=90°，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大?求该最大值． (3)式子的最大值为_____ 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 配方法的应用重难点培优专题训练 题型导引 题型一：用配方法解一元二次方程 题型二：利用配方法求字母及代数式的值 题型三：利用配方法比较大小 题型四：利用配方法进行证明 题型五：利用配方法求最值 题型六：利用配方法在实数范围内分解因式 题型七：利用配方法确定三角形形状 题型八：利用配方法求几何图形面积最值 知识要点精讲 配方法： ①配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． ②用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： 第一步，化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； 第二步，移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步，配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 第四步，化原方程为(x+m）2=n的形式； 第五步，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 【注意】 ①实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 ②代数式的配方步骤可参考上面的步骤，但要注意区别。 重难点题型训练 题型一：用配方法解一元二次方程 1．（天津市河北区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可 【详解】解：， ， ， ，故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）将一元二次方程配方成的形式，则b的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【详解】解： ，故选：A． 3．（24-25九年级上·北京·期中）用配方法将一元二次方程变形为的形式是________． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解： ，故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方后可得，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，关键是配方后求出m与n的值；方程两边加5，配方得，即可得m与n的值，再代入代数式中即可求解． 【详解】解：方程两边加5，得：， 配方得， ∴， ∴；故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： (1)小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． (2)请利用小其的方法正确地解方程． 【答案】(1)配方法，二；(2)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程， （1）观察解题步骤可知是运用配方法解一元二次方程，逐步判断即可发现错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题步骤可知小其运用的解法是：配方法， 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，方程右边的未除以2， 故答案为：配方法，二； （2）解：． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：， 解得：，． 6．（24-25九年级上·广东清远·期中）解一元二次方程： ； 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方，然后直接开平方解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴，． 题型二：利用配方法求字母及代数式的值 1．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，，两等式左右两边分别相减，可得到，将，利用完全平方公式，变为，再将上面的式子的值代入，问题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 即： ，故答案为：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，将变为是难点． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【详解】∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴．故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数m，n满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．先把原式转化为，可得当，时，等式成立，即可求得，，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴，故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，则的值为_________． 【答案】16 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由得，将其代入后，将不等式整理并配方得，根据非负数的性质可得，，进而可得，再将m、n、p的值代入即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得：， 整理后配方可得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故答案为：16． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为________． (2)已知，求的值； 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解； （）先配方，再根据非负数的性质求值即可； 【详解】（1） ，得：， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，完全平方公式的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是解题的关键． 题型三：利用配方法比较大小 1．（15-16九年级上·江苏盐城·开学考试）已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可知P-Q===＞0，故P＞Q（也可以结合P、Q的图像来进行比较，当取相同的自变量x的值时，二次函数P=的图像始终在一次函数Q=的图像的上方，因此可判断）.故选A 2．（19-20九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣）． （1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值； （2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小． 【答案】（1）8；（2）M<N． 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【详解】（1）M﹣N＝（x2﹣3）﹣（4x﹣6） ＝x2﹣3﹣4x+6 ＝x2﹣4x+3， 当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8； （2）M﹣N＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∵1＜x＜2 ∴﹣1＜x﹣2＜0， ∴0＜（x﹣2）2＜1， ∴（x﹣2）2﹣1＜0， ∴M＜N． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，；(2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 4．（20-21九年级上·湖南常德·阶段练习）若代数式，请比较的大小． 【答案】 【分析】两数比较利用作差法M-N作差后的结果与0比较大小即可． 【详解】解：由题意可知： ＞0， ∵≥0， ∴＞0， ∴， 故答案为：． 【点睛】比较两数的大小一个常用的方法是作差法，通过作差后的结果与0比较大小即可求解 5．（2023·江苏无锡·一模）已知，，请比较M和N的大小． 【答案】 【分析】先作差，将结果利用配方法分解，再比较大小． 【详解】解： ∴ 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，其中． (1)求证：； (2)比较M和Q的大小． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用、整式的大小比较等知识点，利用非负数的性质比较整式的大小是解题的关键． （1）利用两式相减，再运用配方法求出的正负即可解答； （2）可以利用两式相减，再结合配方法得出的式子，利用配方法后，再进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （2）解：∵． 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 题型四：利用配方法进行证明 1．（2021九年级上·全国·专题练习）用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 【答案】证明见解析 【分析】将配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据这一性质即可证得． 【详解】解：， ， ， ， 即的值一定小于0． 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 2．（2020八年级下·陕西·专题练习）证明不论为任何实数， 的值总是正数 【答案】见解析 【分析】先利用完全平方公式配方得到x2+y2-4x-2y+8=x2-4x+4+y2-2y+1+3=（x-2）2+（y-1）2+3，然后根据非负数的性质进行判断． 【详解】解：x2+y2-4x-2y+8 =x2-4x+4+y2-2y+1+3 =（x-2）2+（y-1）2+3， ∵（x-2）2≥0，（y-1）2≥0， ∴（x-2）2+（y-1）2+3＞0， ∴不论x，y为任何实数，x2+y2-4x-2y+8的值总正数． 【点睛】本题考查了配方法的应用：对于一些恒成立问题，常常运用完全平方公式进行配方，使原式成为几个非负数的和（或非正数的和）的形式，从而得证． 3．（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）证明：无论x为何实数，代数式x²-4x+4.5的值恒大于零． 【答案】证明见解析 【分析】将代数式x²-4x+4.5配方成，然后根据平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵x²-4x+4.5， ∵， ∴， ∴代数式x²-4x+4.5的值恒大于零． 【点睛】此题考查了完全平方公式和配方法的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式和配方法的运用． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 【答案】见解析 【分析】把含的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可． 【详解】解：， ， ， 为非负数， 为正数， 的值恒大于零． 【点睛】本题考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完全平方式与一个正数的和的形式． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用配方法证明：无论取何值，代数式的值总小于0． 【答案】证明见解析 【分析】利用配方法把转化成，再证明即可． 【详解】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值总小于0． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 6．（18-19八年级·全国·课后作业）试证：不论当为何值时，多项式的值总大于的值. 【答案】证明见解析 【分析】比较大小常用的方式：利用完全平方公式证明两个多项式的差恒大于零即可解答. 【详解】因为， 所以原题得证. 【点睛】本题考查利用完全平方公式比较多项式的大小，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 题型五：利用配方法求最值 1．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． (2)代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 【答案】(1)1，大，3；(2)有最大值，最大值为5 【分析】（1）利用完全平方式大于等于0得到代数式有最大值，求出最大值以及此时的值即可； （2）根据已知将代数式变形得出，判断出有最大值并解答． 【详解】（1）， ∴当时，代数式有最大值为3， 故答案为：1，大，3； （2）代数式有最大值，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值为5． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式最小值 (2)填空：代数式当______时，有最______值，是______． (3)若代数式的最小值为，求k的值． 【答案】(1)有最小值；(2)1，大，5；(3)． 【分析】（1）利用配方法得到，再根据偶次方的非负性求出代数式的最小值即可； （2）先提出代数式的负号，再进行配方，再根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为求出k的值即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴当时，有最小值； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值，最大值为5； 故答案为：1，大，5； （3）解： ， ∵， ∴代数式有最小值为． ∵代数式的最小值为， ∴． 解得：． 【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最值（填“大 ”或“小 ”），且值为． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 【答案】(1)小，；(2)大，13；(3)当时，此代数式有最小值 【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （2）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （3）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ∵， ∴当时，此代数式有最小值， 故答案为：小，； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最大值13， 故答案为：大，13； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最小值． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3；(2)；大；1；(3)1；(4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用． 【探究方法】 已知a，b为任意实数， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系（写出过程）． 【类比应用】 运用上面的结论，完成填空： （1）___________，此时代数式：有最___________值为___________． （2）当时，___________，此时代数式有最___________值为___________． （3）当时，代数式有最___________值为___________． 【问题解决】 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽，若没有，请说明理由．由此你能得到怎样的结论？ 【答案】类比应用：（1）2；小；2；（2）6；小；6；（3）小；3；问题解决：若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为． 【分析】本题考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式以及完全平方式的展开式，解题的关键：（类比应用）结合前面得出的结论套入数据；（问题解决）利用前面结论找出周长的最值． 类比例题可得：； 类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论； （2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论； （3）将代数式化简为，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论； 问题解决：设该矩形的长为a，宽为，根据，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论． 【详解】解：已知a，b为任意实数， ∵， ∴， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为； 类比应用: （1），代数式有最小值为2； 故答案为： 2；小；2； （2）结合探究方法中得出的结论可知： 当时，，代数式有最小值为； 故答案为： ；小；； （3）结合探究方法中得出的结论可知： 当时，，代数式有最小值为3； 故答案为：小；3； 问题解决： 设该矩形的长为a，宽为， 根据题意知，周长，且当时，代数式取得最小值为， 此时， 故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为． 6．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【答案】(1)1，大，2；(2)1，大，5，1，5，5；(3)当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查配方法的应用： （1）根据完全平方的非负性，进行作答即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性，进行求解即可； （3）设花园与墙垂直的边长为，利用矩形的面积公式，求出面积，利用配方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即：时，有最大值为2； 故答案为：1，大，2； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为5； 故答案为：1，大，5，1，5，5； （3）设花园与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为：， ∴花园的面积， ∵， ∴当时，有最大值为：50； 答：当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 题型六：利用配方法在实数范围内分解因式 1.（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 2.（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 3．（22-23八年级上·山东烟台·期中）阅读材料：将多项式因式分解． 原式＝ ＝ ＝ ＝． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中， ∵≥0 ∴≥-1 即的最小值是-1 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； 【答案】(1)25；(2)，最小值为 【分析】（1）加一次项系数10的一半的平方25即可； （2）仿照例题进行配方，分解因式并求最小值； 【详解】（1）∵ ∴常数项为25， 故答案为：25； （2） = = = =， ∵， ∴的最小值为； 4．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 【答案】(1)；(2)1或-3 【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 5.（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式： 【答案】 【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等． 6.（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】先配方，再采用平方差公式进行分解. 【详解】解：原式= = = = = = 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键. 题型七：利用配方法确定三角形形状 1．（17-18七年级下·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 2．（18-19八年级下·全国·课后作业）已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是________三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是_________三角形． 【答案】直角； 等边. 【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的的关系. 【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2+=0， ∴a=3，b=4，c=5， ∵32+42=52， ∴△ABC是直角三角形； ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0， ∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, ∴a=b，b=c，a=c， ∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形. 故答案为直角；等边. 【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值. 3．（18-19八年级上·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 【答案】(1)；(2)△ABC是等边三角形；(3)答案见解析． 【分析】（1）将原式配方得，求出，的值，进而求解． （2）将原式配方得，求出，，的值进而求解． （3）利用配方法可以对式子化简，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：， ，， ， ． （2）解： ， ， 是等边三角形； （3）解： ， 故的值一定是一个正数． 【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状． 4.（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析． 【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方； （2）根据求出x、y的值，代入求解即可； （3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断． 【详解】（1）或． （2）， ． ，．． （3）不能，理由如下：原式变形：． ． 即． ，，． ．a、b、c三条线段不能围成三角形． 【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键． 题型八：利用配方法求几何图形面积最值 1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 2．（22-23八年级上·山东德州·期末）阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方： 再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；(2)16；(3)当时，花园的面积最大，最大面积是100 【分析】（1）仿照例题配方解答即可； （2）仿照例题配方解答即可； （3）用x表示出，根据长方形面积公式列式，配方后即可解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是； （2）， ∵， ∴， ∴的最大值是16； （3）设，则， 花园的面积 ∵， ∴， ∴当时，花园的面积最大，最大面积是100． 【点睛】此题考查了完全平方公式配方的应用，正确理解已知例题，仿照例题的解题方法完成配方是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 【答案】(1)当时，代数式存在最小值为；(2)当时，存在最大值，最大值为 【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可； （2）设长方形的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴当时，代数式存在最小值为； （2）设长方形的面积为S， 根据题意得：， 而， ∴当时，S存在最大值9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）配方 (1)若，则_____，_____ (2)如图，在△ABC中，∠B=90°，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大?求该最大值． (3)式子的最大值为_____ 【答案】(1)，；(2)当时，的面积最大，最大为；(3) 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方； （1）利用配方法即可求解； （2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论； （3）根据配方可得，再根据二次根式的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：依题意可知：， ， 当时，的面积最大，最大为； （3）解：， 当时，的最小值为3， 即的最大值为，故答案为：． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)山羊活动范围面积的最大值是平方米． 【分析】（）根据得到，整理即可得到答案； （）根据列出代数式即可； （）先得到，再根据题中的方法即可得到答案； 此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：， ∴， ∴； （3）解： ， 又因为，， ∴， ∴， ∴山羊活动范围面积的最大值是平方米． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3；(2)；(3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$