专题01 集合和常用逻辑用语（6大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01 模拟基础练 2 题型一：集合的基本概念 2 题型二：集合间的基本关系 2 题型三：集合的运算 3 题型四：充分条件与必要条件 4 题型五：全称量词与存在量词 4 题型六：以集合为载体的创新题 5 02 重难创新练 5 题型一：集合的基本概念 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 2．设集合，，且，则集合（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 5．已知，其中集合，，则实数m的值为（    ） A．－1 B．－2或0 C．－2 D．2 题型二：集合间的基本关系 6．已知集合，若，则实数的值不可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 9．设集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：集合的运算 11．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（多选题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．设全集，集合，，则 ． 14．某班开展一次智力竞赛活动，共，，三个问题，其中题满分是分，题，满分都是分．每道题或者得满分，或者得分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有名同学答对全部三道题，有名同学答对其中两道题．答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为．则该班同学中只答对一道题的人数是 ；该班的平均成绩是 ． 15．已知，，，则 ． 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ，若，则实数的取值范围是 . 17．已知集合，，且，则 . 题型四：充分条件与必要条件 18． “”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19． “”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 21．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 22．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 23．设，，，是四个命题，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分必要条件，那么是的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一） 题型五：全称量词与存在量词 24．已知命题，，则的否定是（   ） A． B． C． D． 25．命题“”为假命题，则实数a的范围为 ． 26．已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 27．命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 28．已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 题型六：以集合为载体的创新题 29． ，若定义，则中的元素有 个． 30．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 31．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为 . 32．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为 ． 33．考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 34．对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有 个． 1．（2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2． “对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，则：“中元素个数为或”是“且”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 7．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·河南周口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 10．（多选题）（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 13．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 14．（2024·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 7 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01 模拟基础练 2 题型一：集合的基本概念 2 题型二：集合间的基本关系 3 题型三：集合的运算 5 题型四：充分条件与必要条件 8 题型五：全称量词与存在量词 10 题型六：以集合为载体的创新题 11 02 重难创新练 13 题型一：集合的基本概念 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【解析】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 2．设集合，，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，， 因为且，所以. 故选：D． 3．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 4．已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3. 故选：C 5．已知，其中集合，，则实数m的值为（    ） A．－1 B．－2或0 C．－2 D．2 【答案】C 【解析】根据集合中元素的互异性可得，，，所以且， 根据可得，结合集合中元素的无序性得或， 于是可得或，所以. 故选：C． 题型二：集合间的基本关系 6．已知集合，若，则实数的值不可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】对于方程，分解因式可得，解得或者， 所以.对于方程，其解为或者. 因为，这意味着. 当时，方程变为，此时，满足. 当时，，此时，满足. 当且时，. 因为，所以，解得，此时，满足. 综上，实数的值可以为、、，所以实数的值不可以为除、、之外的值. 故选：D. 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， 故. 故选：C 8．设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以或. 若 ，此时，，不成立，故不合题意； 若 ，此时，，成立. 故. 故选：C 9．设集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 由，可得， 所以． 故选：A. 10．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，等价于，等价于， 且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误； 且，故B正确； 据此作出韦恩图， 可知，，故CD错误； 故选：B. 题型三：集合的运算 11．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】. 当时，； 当时，； 当时，. 对于选项A，若，则，，故正确. 对于选项B，若，则，故，故正确. 对于选项C，若，则，故，故错误. 对于选项D，若，则，故错误. 故选：AB. 12．（多选题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对集合，由，得，解得，即； 对集合，由，得，解得，，即． 所以或，A错误，B正确， 或 ，C，D正确． 故选：BCD 13．设全集，集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 故答案为： 14．某班开展一次智力竞赛活动，共，，三个问题，其中题满分是分，题，满分都是分．每道题或者得满分，或者得分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有名同学答对全部三道题，有名同学答对其中两道题．答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为．则该班同学中只答对一道题的人数是 ；该班的平均成绩是 ． 【答案】 【解析】设、、分别表示答对题，题，题的人数， 则有， 解得，，； 答对一题的人数为， 全班人数为； 平均成绩为． 故答案为：；． 15．已知，，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得或， ，所以，所以． 故答案为：. 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，， 若则， 若，则,所以. 故答案为：，. 17．已知集合，，且，则 . 【答案】 【解析】因为，，，所以， 得，解得，故， 所以，. 所以 故答案为：. 题型四：充分条件与必要条件 18． “”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，解得或， 所以由可以得到，反之则不然， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 19． “”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 20．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由 .所以； 由 .所以. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以且. 所以 . 故答案为： 21．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 22．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【解析】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 23．设，，，是四个命题，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分必要条件，那么是的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一） 【答案】充分不必要 【解析】因为是的必要不充分条件，所以，但 ， 是的充分不必要条件，所以，但A， 是的充分必要条件，所以，但D， 所以，但D， 故是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 题型五：全称量词与存在量词 24．已知命题，，则的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题，，是存在量词命题， 所以的否定是：. 故选：A 25．命题“”为假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【解析】命题“”为假命题，可命题“”为真命题， 即不等式在上有解， 设函数，可得函数在为单调递增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 26．已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 27．命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 得， 故答案为： 28．已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由命题p：，为假命题， 则恒成立， 得，解得， 所以整数m的值可为，0，1（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）. 题型六：以集合为载体的创新题 29． ，若定义，则中的元素有 个． 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 共14个元素. 故答案为： 30．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4） 【解析】对于（1），显然，且对任意，取，此时， 且，故（1）符合题意； 对于（2），若，，则， 所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意； 对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取， 此时有，即，且满足，故（4）符合题意. 故答案为：（1）（4）. 31．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为 . 【答案】4 【解析】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 32．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为 ． 【答案】51 【解析】由题意得，，共有5个元素， 则2划分有个，3划分有个，4划分有个， 5划分有1个，所以共有划分的个数为51个． 故答案为；51 33．考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 【答案】 【解析】由题意，，且集合中的最小元素不能大于， 当集合中的最小元素时，这个的集合只有这个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 所以满足题意的子集共有个. 故答案为：. 34．对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有 个． 【答案】 【解析】因为集合，则， 所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、 ，，共个. 故答案为：. 1．（2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为函数的值域， 令或，， 为函数的定义域， 即，因为，所以函数定义域为， 故， 故选：D. 2． “对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，当时，恒成立， 设，， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 故命题“对任意实数都有”. 又，且， 故“对任意实数都有”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】令等比数列的公比为，由，得，则或， 由数列为递增数列，得，即，，因此， 所以“数列为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 令，解得. 故 故选：C. 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，则：“中元素个数为或”是“且”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】曲线与曲线有一个或两个公共点， 则对于，显然存在不限于的无数组其他解（如：取一个充分大的数），故充分性不成立； 联立：与（）， 化简得：①， 即，解得， 又，即，解得. 所以当且仅当时，必要性成立，故必要性也不成立； 所以“中元素个数为或”是“且”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 8．（2024·河南周口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， ， 或，因为 ， 所以，解得：. 故实数a的取值范围为. 故选：A. 9．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 10．（多选题）（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知：集合N是集合M的真子集， 对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确； 对于选项B：因为， 可知集合M是集合N的真子集，故B错误； 对于选项C：因为， 且，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 可知集合N是集合M的真子集，故C正确； 对于选项D：因为， 可知集合N是集合M的真子集，故D正确； 故选：ACD. 11．（多选题）（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【解析】由，解得， 故， 由，可得， ， 要使有且仅有3个不同元素，则，解得， 故选：AB． 12．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【解析】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 13．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 如图，作出函数的简图. 由可得，因，解得，即， 由可得，即, 因，结合图象，可得：，消去可得，， 因，即得，，解得. 故答案为： 14．（2024·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答） 【答案】1024 【解析】集合的子集共有个， 因为， 所以集合有32种情况，集合有32种情况， 所以满足条件的有序集合对的总数是. 故答案为：1024. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$