4.6 函数的应用（二）（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

4.6 函数的应用（二） 题型一 指数函数模型的应用 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．12倍 B．18倍 C．36倍 D．48倍 【答案】C 【解析】设湖泊原来的蓝藻数为， 由题意可得， 所以， 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍，故选：C. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【解析】依题意，设原有溶质的半成品数量为，含杂质， 则经过次过滤，含杂质， 要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过0.01%， 则，即， 又，，所以.故选：B 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【解析】依题意，当时，，解得， 所以，由得， 所以，则，故， 所以的最小整数值为.故选：B. 4．（22-23高一上·江苏扬州·月考）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（    ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【解析】设经过年达到富裕水平，则有， 两边取对数，得年， 所以，至少要经过4年，该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选：B 题型二 对数函数模型的应用 1．（23-24高一上·北京·期末）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则.故选：A. 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（    ）（参考数据：，） A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0 【答案】A 【解析】依题意，，则，即 由，得， 因此，解得， 所以a的值可以是.故选：A 3．（223-24高一上·福建福州·期末）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，； 当时，信道宽度变为原来倍，. 因为. 故选：D. 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意设， 当，,则， 当，则，所以故选：D 题型三 幂函数模型的应用 1．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了， 则有，故， 由题意，2029年的耕地面积为，即.故选：D. 2．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解析】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.故选：A. 3．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即．故选：A. 4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 题型四 根据实际问题选择函数模型 1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点. 由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A， 函数单调递减，排除C， 当时，没有意义，排除D， 故最符合实际的函数模型为.故选:B． 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适；(2)2031年 【解析】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即， 代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【答案】(1)模型①，；(2)7月份，8月份，9月份. 【解析】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢， 所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当. 根据题意可得，当时，；当时，， 由，解得， 故该函数模型的解析式为. （2）函数在其定义域内单调递增， 令，得，又，所以， 故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内. 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 【答案】(1)④，；(2)应搬迁 【解析】（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢. 而①单调递减，不合题意， ③是单调递减函数，不合题意， 对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意. 故只能选择④的模型，且. 将，代入， 可得，解得，所以， 当时，， 当时，，所以符合题意， 所以可用④来描述，之间的关系，解析式为； （2）令，则， 又，所以此企业需要搬迁. 1．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【答案】D 【解析】由题意时，，时，，解得， 令， 解得， 对比选项可知污染物减少至少需要的时间约为44小时.故选：D. 2．（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【解析】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B. 3．（23-24高一上·广东惠州·期末）（多选）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（    ）（参考数据：） A．选择函数模型① B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟 C．选择函数模型② D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟 【答案】AD 【解析】选择函数模型①，则当时，， 当时，，符合要求， 选择函数模型②，则当时，，不符合要求， 故选选择函数模型①，即A正确，C错误； 令，则有，即， 即， 故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟，故B错误，D正确.故选：AD. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 【答案】AC 【解析】当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故正确； 当时，，故错误； 当时，， 即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确； 由题意， 化简得 ， 将代入其中，可得，故错误.故选：. 5．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且． (1)求实数，，的值； (2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)；(2)生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得最大利润，利润的最大值为为万元. 【解析】（1）因为，， ，， 所以，，， 所以， 所以，， （2）设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为, 则，， 所以， 所以， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以生产线投资万元，生产线投资万元时， 企业获得利润最大，利润的最大值为为万元. 6．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 【答案】(1)，, (2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 【解析】（1）对于甲方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 对于乙方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， （2）甲方案十年共获利（万元）， 10年后，到期时银行贷款本息为（万元）， 故甲方案的净收益为（万元）， 乙方案十年共获利（万元）， 贷款本息为（万元）， 故乙方案的净收益为（万元）， 由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.6 函数的应用（二） 题型一 指数函数模型的应用 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．12倍 B．18倍 C．36倍 D．48倍 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 4．（22-23高一上·江苏扬州·月考）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（    ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 题型二 对数函数模型的应用 1．（23-24高一上·北京·期末）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（    ）（参考数据：，） A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0 3．（223-24高一上·福建福州·期末）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 题型三 幂函数模型的应用 1．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 2．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 3．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 题型四 根据实际问题选择函数模型 1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 1．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 2．（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 3．（23-24高一上·广东惠州·期末）（多选）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（    ）（参考数据：） A．选择函数模型① B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟 C．选择函数模型② D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 5．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且． (1)求实数，，的值； (2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润． 6．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$