4.5 增长速度的比较（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

4.5 增长速度的比较 题型一 求函数的平均变化率 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【解析】因为， 所以.故选：A. 2．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】函数在上的平均变化率是.故选：A. 3．（23-24高一上·北京·月考）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】7 【解析】依题意，函数在区间上的平均变化率为. 故答案为：7 4．（23-24高一上·辽宁·月考）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】 【解析】函数在区间上的平均变化率为. 故答案为： 题型二 函数模型增长差异的比较 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数先慢后爆炸性增长， 对数函数先快速增后慢慢增， 幂函数一直再增，后面没有变慢， 一次函数匀速增加.故选：B. 2．（23-24高一上·湖北咸宁·月考）下列函数中，增长速度最快的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性，增长最快的是指数函数．故选：A 3．（23-24高一上·北京·月考）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数， 故随着x的增长，增长速度最快.故选：D. 4．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【解析】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于，由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误．故选：BD． 题型三 平均变化率在实际中的应用 1．（21-22高二下·北京·期中）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小， 所以在区间上的平均变化率由大变小，即．故选：A 2．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图分别令、、、、、、所对应的点为, 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：B 3．（22-23高二下·山东枣庄·月考）（多选）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】ABC 【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业， 而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确； 由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确； 由题意可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．故选：ABC． 4．（22-23高一上·广东深圳·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 【答案】3 【解析】由题意，可知，，． 由题中图像可知，且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以（1）正确； 因为， ，故成立，（2）正确； 由题中图像可知，直线与曲线的交点为， 故存在，使得，即当时，，故（3）正确； t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确． 故答案为：3． 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【解析】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时， 方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【解析】画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确；选项ACD不正确.故选：ACD. 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为；(2) 【解析】（1）因为，则，，， 所以，， 所以在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为. （2）因为当时，不等式恒成立， 所以在时恒成立， 对于函数，， 设任意且，则， 因为且，所以，，则， 所以，即在上恒成立， 所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减， 所以当时，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5 增长速度的比较 题型一 求函数的平均变化率 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．2 B． C． D．0 2．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 3．（23-24高一上·北京·月考）函数在区间上的平均变化率为 . 4．（23-24高一上·辽宁·月考）函数在区间上的平均变化率为 . 题型二 函数模型增长差异的比较 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北咸宁·月考）下列函数中，增长速度最快的是（   ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·月考）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 题型三 平均变化率在实际中的应用 1．（21-22高二下·北京·期中）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·山东枣庄·月考）（多选）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 4．（22-23高一上·广东深圳·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$