精品解析：三晋联盟山西名校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

2024—2025学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一､二册占20%，选择性必修第一册占80%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为 C. D. 是等边三角形 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ） A. 若，则 B. 存在点H，使得平面 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. （1）求与的标准方程； （2）过点且与相切的直线与交于点，求. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 已知为坐标原点，双曲线的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一､二册占20%，选择性必修第一册占80%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意得，所以. 故选：A 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，代入函数解析式直接得出结果. 【详解】由偶函数性质得，. 故选：B 4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算． 【详解】组成两位数的样本空间，样本点总数为8.能被3整除的数为24，42，有2个.故所求概率为. 故选：D． 5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 6. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意，是的中点，可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为，经验证此时直线与椭圆有两个交点， 故选：A. 7. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为 C. D. 是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D. 【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确； 设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，， 所以，即直线的倾斜角为，故B正确； 因为，故C错误； 因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，， 又，所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以的最小正周期为，故A正确； B：令，得， 当时，， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； C：令，得， 当时，， 所以为函数的一个对称中心，故C错误； D：令，得， 当时，，即的单调递增区间为， 而为的真子集，故D正确. 故选：ABD 11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ） A. 若，则 B. 存在点H，使得平面 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于D，依据，则，从而可判定H的存在性. 【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ， 则，，，，， 故，， 所以，即Q，B，N，P四点共面， 若，则，解得，A正确； 对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即， 过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得， 则，，，， 故，，，， 易得是平面的一个法向量，若平面， 则，即，解得，符合题意， 所以存在点H，使得平面，B正确， 对于C：， 当时，取得最小值，最小值为，C正确. 对于D：若，则， 得，无解，所以不存在点H，使得，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】由，可得，解得， 则，又， 所以与的夹角为. 故答案为： 13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【小问1详解】 （方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 【小问2详解】 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. （1）求与的标准方程； （2）过点且与相切的直线与交于点，求. 【答案】（1）的标准方程为，的标准方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 记，则抛物线的方程为，其准线方程为. 因为，所以，解得，则的标准方程为. 不妨设点在第一象限，记，因为， 所以，解得.因为，所以，即. 由解得 所以的标准方程为. 【小问2详解】 不妨设点在第一象限，则. 设直线. 联立得. 由，解得，则. 设. 联立得，则， 故. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 取的中点，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为为等腰直角三角形，且，所以. 因为平面平面，所以平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，所以平面. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则 . 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为， 则 ，当且仅当时，等号成立. 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 19. 已知为坐标原点，双曲线的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上. 【答案】（1） （2） 证明点在曲线上，即证明点在曲线上. 设直线，则. 联立得， 则. 直线的方程为，直线的方程为 将直线与直线的方程变形可得, 即, 得， 即， 即， 化简可得. 得， ， ， ， 化简得. 将代入可得， 即点在曲线上. 【解析】 【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近线的斜率，即可求出，即可得出的方程； （2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得，将直线与直线的方程变形可得.由及计算可证得结论. 【小问1详解】 因为圆过点，得，所以，. 在中，， 所以， 所以是等边三角形，. 双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以. 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $