精品解析：山东省淄博市周村区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表： 月用电量(度) 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 关于这10户家庭的月用电量说法正确的是( ). A. 中位数是40 B. 众数是4 C. 平均数是20.5 D. 极差是3 7. 若分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 某市工程队要修路1000米，因天气原因，实施施工时“…”，设原计划平均每天修x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期5天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成了 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前5天完成了 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 如果分式值为0，那么的值为是_______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 13. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 14. 如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则_______________． 15. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中，已知． （1）画出与关于原点对称的； （2）以原点O为中心，把逆时针旋转得到，画出 20. 为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下； a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219 b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表： 数据 品种 平均数 中位数 众数 甲 196.7 m 206 乙 1968 195 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）； （3）单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数． 21. 已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按如图所示放置，让三角尺在所在的直线上向右平移．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角尺的斜边上． （1）利用图1证明；； （2）如图2，在三角尺平移过程中，设，与三角尺的斜边的交点分别为，，猜想线段与存在怎样的数量关系？并证明你的结论． 22. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 23. 如图，点D等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的长： （3）若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不等于零． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． 3. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为，即， 故选：D． 6. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表： 月用电量(度) 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 关于这10户家庭的月用电量说法正确的是( ). A. 中位数40 B. 众数是4 C. 平均数是20.5 D. 极差是3 【答案】A 【解析】 【分析】中位数.众数.加权平均数和极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是40，故A选项正确；40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故B选项错误；这组数据的平均数，故C选项错误；这组数据的极差是：，故D选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了加权平均数，中位数，众数，极差，熟练掌握计算方法是解题的关键. 7. 若分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，再解方程，接着根据方程的解为正数求出m的范围，再根据分母不为0，即可确定m的最终取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，且， 故选：B． 8. 某市工程队要修路1000米，因天气原因，实施施工时“…”，设原计划平均每天修x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期5天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成了 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前5天完成了 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划平均每天修x米，则表示每天比原计划少铺设10米，日工作量减小的情况下，工期需要延期才能完成，由此可得答案． 【详解】解：根据可得题中用“…”表示的缺失的条件应为：每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成， 故选B． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 10. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 如果分式的值为0，那么的值为是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键． 根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键． 13. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3， ∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2． 考点：方差． 14. 如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则_______________． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置， ∴，， ∴， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键． 15. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的加法计算： （1）根据异分母分式加法计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程； （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 19. 在平面直角坐标系中，已知． （1）画出与关于原点对称的； （2）以原点O为中心，把逆时针旋转得到，画出 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，旋转作图： （1）根据中心对称的性质找到、、的对称点、、，顺次连接得到； （2）根据旋转对称的性质找到、、的对称点、、，顺次连接得到． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下； a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219 b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表： 数据 品种 平均数 中位数 众数 甲 196.7 m 206 乙 196.8 195 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）； （3）单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数． 【答案】（1）204，195； （2）乙； （3）3800株． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等． （1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据表格分析以及方差的概念和意义，即可解答； （3）分别计算出两种睡到的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解． 【小问1详解】 解：将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206，所以这组数据的中位数为， ∴； 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195， ∴． 【小问2详解】 解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定． 故答案：乙； 【小问3详解】 解：甲的水稻优良率为：， 乙的水稻优良率为：， 故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻； 若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株， 则甲的优良水稻有（株）， 乙的优良水稻有（株）， ∴共有（株）． 答：优良水稻株数为3800株． 21. 已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按如图所示放置，让三角尺在所在的直线上向右平移．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角尺的斜边上． （1）利用图1证明；； （2）如图2，在三角尺平移过程中，设，与三角尺斜边的交点分别为，，猜想线段与存在怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形性质，等边对等角，三角形外角的性质： （1）根据等边三角形的性质和三角形外角的性质证明，，进而可证明，据此根据线段的和差关系即可证明结论； （2）同（1）可证明，再由（1）的结论和线段的和差关系即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 【答案】（1） （2）①，②方案C （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 ① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 小问3详解】 设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 23. 如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的长： （3）若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）的最小值为10． 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）由（1）得，则，再根据勾股定理可得的值，从而得出的长； （3）由（2）知，，则点E在直线上运动，作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，再根据勾股定理求的长即可． 【小问1详解】 证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 则点E在直线上运动， 作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为10． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$