福建省莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

莆田一中2024~2025学年度上学期第一学段考试试卷 高二 数学 选择性必修一第一、第二章、第三章3.1、3.2 考试时间120分钟 试卷满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦距是（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过两点，则直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（ ） A. 的周长为4 B. 当时，的面积为 C. 若直线经过点，则的最小值是3 D. 若线段中点为，则直线的方程为 11. 如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点满足平面∥平面 B. 存在点满足平面 C. 当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 D. 若，则点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____. 13. 已知，，，则点到直线的距离为______. 14. 在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为实数，设直线，. （1）若，求的值及与的交点坐标； （2）若，求与的距离. 16. 已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上. （1）求圆的方程； （2）证明圆与圆相交于两点，并求线段的长度. 17. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若的面积是，求直线的方程. 18. 在三棱锥中，. （1）证明：平面平面； （2）点为棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长； 19. 已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值； （3）研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标． 莆田一中2024~2025学年度上学期第一学段考试试卷 高二 数学 选择性必修一第一、第二章、第三章3.1、3.2 考试时间120分钟 试卷满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 由圆的方程可得：圆心，半径， ，圆与圆相交； 两圆方程作差可得直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 线段的长度为. 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1）过作，垂足为，由， 得，，得， 由，得，所以， 即，所以； 在中，，所以， 又平面， 所以平面平面， 所以平面平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）时，四边形的面积最大值为 （3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称， 下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则， 点关于直线的对称点为， 因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称， 同理可得点关于直线的对称点也在曲线上， 故曲线关于直线对称，同理可证曲线关于原点对称. 下面证明为椭圆. 证明：①联立曲线和直线方程， 解得交点坐标为， 联立曲线和直线方程，解得交点坐标为， 则，，，. 在上取点，设为曲线上任一点， 则 （因为）. 即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值. ②若点到两定点的距离之和为定值， 设为曲线上任一点， 则， 移项得， 平方整理得，， 再移项平方得， 化简可得故点的轨迹方程为， 综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $