第5章 一次函数（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第5章 《一次函数》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，线下列判断正确的是（　　） A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量 2．（3分）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b等于（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 4．（3分）已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 5．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 6．（3分）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 7．（3分）一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣2≤x≤1，相应函数值的取值范围是﹣6≤y≤﹣3，则下列符合题意的函数是（　　） A．y＝x+3 B．y＝﹣x﹣4 C．y＝3x D．y＝﹣x﹣5 8．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 9．（3分）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）根据下表，可以得到y与x之间的一个关系式为 　 　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣6 ﹣3 0 3 6 … 12．（3分）一次函数y＝2x+2的图象与x轴交点的坐标为　 　． 13．（3分）直线y＝﹣2x+b过点（2，1），将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 　 　． 14．（3分）已知点P是直线y＝﹣2x+6上的一个动点，若点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 　 　． 15．（3分）已知直线l1：y＝kx+2+k（k≠0）和直线l2：y＝x+3．若直线l1、l2与y轴所围成的三角形面积记作S． （1）当k＝﹣1时，S的值是 　 　； （2）当2≤S≤3时，k的取值范围是 　 　． 16．（3分）在x轴正半轴上有n个连续整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x相交，其中k＞0，则图中阴影部分的面积总和是 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 18．（6分）已知函数y＝（1﹣3k）x+2k﹣1，试回答： （1）k为何值时，y随x的增大而增大； （2）k为何值时，图象过点（﹣2，﹣13）． 19．（8分）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）若点C（m，4）是直线y＝﹣2x+6上一点，求CA的长． 20．（8分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）A、B两地之间的路程是 　 　km，a的值为 　 　； （2）求线段DC所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （3）当两车相距70千米时，x的值为 　 　h． 21．（10分）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． （1）求b的值和点A的坐标； （2）观察图象，当x＞0时，y的取值范围为 　 　；当y＞0时，x的取值范围是 　 　； （3）若C是y轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 22．（10分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元． （1）若0＜x≤8，请写出y与x的函数关系式． （2）若x＞8，请写出y与x的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？ 23．（12分）定义：一次函数y＝kx+b和y＝bx+k（其中k、b为常数，k≠0，b≠0）互为“友好函数”．比如y＝3x+5和y＝5x+3互为“友好函数” （1）已知点P（a，4）在y＝﹣2x+3的“友好函数”上，则a＝ 　 　． （2）y＝﹣2x+3上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． （3）若y＝x+b和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是2，求b值． 24．（12分）如图，直线AB：y＝﹣x+b分别与x、y轴交于A（4，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝2：1． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，点P为A点侧x轴上的一动点，以点P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由； （3）如图1，直线EF：交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD＝S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《一次函数》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，线下列判断正确的是（　　） A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量 【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【解答】解：一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，12是常量，t，n是变量， 故选项C符合题意． 故选：C． 2．（3分）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【解答】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 3．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b等于（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 【分析】把x＝﹣3与x＝2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值． 【解答】解：当x＝﹣3时，y＝9，当x＝2时，y＝4+b， 由题意得：4+b＝9， 解得：b＝5， 故选：A． 4．（3分）已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）代入直线方程y＝﹣x+2，求得y1，y2，y3的值，然后比较y1，y2，y3的值的大小． 【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上， ∴y1＝2+2＝4， y2＝1+1＝2， y3＝﹣1+2＝1， ∵4＞2＞1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：D． 5．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意； B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意 C、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．（3分）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 【分析】根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1时，直线y＝kx+b在直线y＝4x+2的上方， ∴不等式4x+2＜kx+b的解集为x＜﹣1． 故选：C． 7．（3分）一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣2≤x≤1，相应函数值的取值范围是﹣6≤y≤﹣3，则下列符合题意的函数是（　　） A．y＝x+3 B．y＝﹣x﹣4 C．y＝3x D．y＝﹣x﹣5 【分析】对k＞0和k＜0进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 当k＞0时， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x﹣4． 当k＜0， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣x﹣5， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 8．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2）， ∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意； 当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，符合题意； 关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 9．（3分）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 【分析】由图象可得a的值；根据小明的路程和时间可得速度；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，列一元一次方程可求解；根据追及问题中相距路程÷速度差＝时间可得答案． 【解答】解：线段BC是爸爸买水果的时间5分钟，a＝10+5＝15，故A不符合题意； 由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）＝150（米/分钟），故B不符合题意； 设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，则从商店到学校的速度是（x+60）米/分钟， 依题意得，10x+（20﹣15）（x+60）＝3300， 解得x＝200， 所以爸爸从家到商店的速度是200米/分钟，故C不符合题意； 爸爸追上小明得时间是150×2÷（200﹣150）＝6（分钟），故D符合题意． 故选：D． 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】当点P在AD上时，0≤x≤4，画出图形，判断出y关于x的解析式；当点P在CD上时，4＜x≤8，画出图形，得到y的值，即可判断出正确选项． 【解答】解：由题意得：AP＝x． ①当点P在AD上时，0≤x≤4，如图1. ∵点A、P、D在同一条直线上， ∴S△ADP＝0． 只有选项B符合题意； ②当点P在CD上时，4＜x≤8，如图2． S△ADP＝AD•DP＝×4×（x﹣4）＝2x﹣8． 图象是过（4，0），（8，8）的一条线段． 选项B符合题意； ③当点P在线段BC上时，8＜x＜12． S△ADP＝AD•DC＝×4×4＝8． 选项B符合题意． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）根据下表，可以得到y与x之间的一个关系式为 　y＝3x　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣6 ﹣3 0 3 6 … 【分析】根据y随x的变化规律解答即可． 【解答】解：根据表格可知，y与x之间的一个关系式为y＝3x． 故答案为：y＝3x． 12．（3分）一次函数y＝2x+2的图象与x轴交点的坐标为　（﹣1，0）　． 【分析】令y＝0求出x的值，然后写出与x轴交点的坐标即可． 【解答】解：y＝0时，2x+2＝0， 解得x＝﹣1， 所以，与x轴交点的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 13．（3分）直线y＝﹣2x+b过点（2，1），将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 　y＝﹣2x+3　． 【分析】将（2，1）代入y＝﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将（2，1）代入y＝﹣2x+b， 得：1＝﹣4+b， 解得：b＝5， ∴y＝﹣2x+5， 将直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位后所得直线的解析式是y＝﹣2x+5﹣2，即y＝﹣2x+3， 故答案为：y＝﹣2x+3． 14．（3分）已知点P是直线y＝﹣2x+6上的一个动点，若点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 　（2，2）或（6，﹣6）　． 【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得点P横坐标和纵坐标的关系，建立方程求解即可求点P坐标． 【解答】解：设点P（a，﹣2a+6）， ∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴a＝﹣2a+6或a+（﹣2a+6）＝0， ∴a＝2或a＝6， ∴点P（2，2）或P（6，﹣6）， 故答案为：（2，2）或（6，﹣6）． 15．（3分）已知直线l1：y＝kx+2+k（k≠0）和直线l2：y＝x+3．若直线l1、l2与y轴所围成的三角形面积记作S． （1）当k＝﹣1时，S的值是 　1　； （2）当2≤S≤3时，k的取值范围是 　5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3　． 【分析】（1）将k＝﹣1代入得出l1：y＝2，l2：y＝x+3，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出l1过定点（﹣1，2），则点B（﹣1，2）到y轴的距离为1，根据，结合题意，得出S＝2和S＝3时k的值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）当k＝﹣1时，l1：y＝﹣x+1，l2：y＝x+3， 如图所示，设l1、l2交于点B，l2与y轴交于点A，l1与y轴交于点C，则C（0，1）， ∴2＝x+3，解得：x＝﹣1，则B（﹣1，2）， 当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）， ∴AC＝2， ∴． 故答案为：1； （2）∵l1：y＝kx+2+k＝k（x+1）+2，l2：y＝x+3， ∴l1过定点（﹣1，2），则点B（﹣1，2）到y轴的距离为1， 设l1与y轴交于点D，则D（0，2+k），则AD＝|2+k﹣3|， ∴， 当S＝2时，， 解得：k＝5或k＝﹣3， 当S＝3时，， 解得：k＝﹣5或k＝7， ∵2≤S≤3， ∴5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3， 故答案为：5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3． 16．（3分）在x轴正半轴上有n个连续整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x相交，其中k＞0，则图中阴影部分的面积总和是 　n2　． 【分析】分别把x＝1，x＝2，x＝3，…，x＝n代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可 【解答】解：把x＝1分别代入y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x得：AW＝k+2﹣k＝2，WQ＝k+1﹣k＝1， ∴AQ＝2﹣（k+1）＝1﹣k， 同理：BR＝RK＝2，CH＝HP＝3，DG＝GL＝4，EF＝FT＝5， 2﹣1＝1，3﹣2＝1，4﹣3＝1，5﹣4＝1， ∴图中阴影部分的面积是×1×1+×（1+2）×1+×（2+3）×1+…+×（n﹣2+n﹣1）×1+×（n﹣1+n）×1＝n2． 故答案为：n2． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x＝， 故当x＝时，y的值为3． 18．（6分）已知函数y＝（1﹣3k）x+2k﹣1，试回答： （1）k为何值时，y随x的增大而增大； （2）k为何值时，图象过点（﹣2，﹣13）． 【分析】（1）当1﹣3k＞0时，y随x增大而增大，解出k的值即可； （2）将点（﹣2，﹣13）坐标代入解析式即可得出k的值． 【解答】解：（1）当1﹣3k＞0时，y随x增大而增大， 解得：； （2）将点（﹣2，﹣13）代入可得：﹣2+6k+2k﹣1＝﹣13， 解得：． 19．（8分）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）点A的坐标为 　（3，0）　，点B的坐标为 　（0，6）　； （2）若点C（m，4）是直线y＝﹣2x+6上一点，求CA的长． 【分析】（1）将y＝0和x＝0分别代入y＝﹣2x+6即可解决问题． （2）先求出m的值，再过点C作x轴的垂线即可解决问题． 【解答】解：（1）令y＝0得， ﹣2x+6＝0， 解得x＝3， 所以点A的坐标为（3，0）． 令x＝0得， y＝6， 所以点B的坐标为（0，6）． 故答案为：（3，0），（0，6）． （2）将点C坐标代入y＝﹣2x+6得， m＝1， 所以点C的坐标为（1，4）． 过点C作x轴的垂线，垂足为M， 则CM＝4，AM＝3﹣1＝2， 所以AC＝． 20．（8分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）A、B两地之间的路程是 　340　km，a的值为 　　； （2）求线段DC所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （3）当两车相距70千米时，x的值为 　或或　h． 【分析】（1）根据图象可知：甲乙两地相距340千米，求出甲乙两车速度，即可求出a的值； （2）求出C，D（3，0），利用待定系数法求解析式即可； （3）设时间为x时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可． 【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地相距340千米， 设甲车的速度为V甲，乙车速度为：V乙， 由题可得：， 解得：， ∴， 故答案为：340，； （2）由图可知：甲到B点的时间为：（小时）， 故D（3，0）， 设线段DC的解析式为：y＝kx+b，将C（0，360），D（3，0）代入得： ， 解得：， ∴线段DC的解析式为：y＝﹣120x+360（0≤x≤3）； （3）设时间为x时，两车相距70千米，则 当两车未相遇前：， 解得：； 当两车相遇后：， 解得：； 当甲车返回时：， 解得：； 综上所述：或，． 故答案为：或或． 21．（10分）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． （1）求b的值和点A的坐标； （2）观察图象，当x＞0时，y的取值范围为 　y＜1　；当y＞0时，x的取值范围是 　x＜3　； （3）若C是y轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 【分析】（1）根据解析式过点（0，1）直接写出b值，根据得到的解析式求出点A的坐标即可； （2）数形结合，直接写出自变量和函数值的取值范围即可； （3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|，根据三角形面积公式列出方程，求出m值即可得到点C的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． ∴b＝1， ∴y＝﹣， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）． （2）观察图象可知，当x＞0时，y的取值范围为y＜1；当y＞0时，x的取值范围是x＜3； 故答案为：y＜1；x＜3； （3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|， S△ABC＝＝3， ∴|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， ∴m＝3或m＝﹣1． ∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）． 22．（10分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元． （1）若0＜x≤8，请写出y与x的函数关系式． （2）若x＞8，请写出y与x的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【分析】（1）当0＜x≤8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元”，得出水费＝用水量×1.5，即可求出y与x的函数关系式； （2）当x＞8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，得出水费＝8×1.5+（用水量﹣8）×2.2，即可求出y与x的函数关系式； （3）经分析，当0＜x≤8时，y≤12，由此可知这个月该户用水量超过8吨，将y＝23代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【解答】解：（1）根据题意可知： 当0＜x≤8时，y＝1.5x； （2）根据题意可知： 当x＞8时，y＝1.5×8+2.2×（x﹣8）＝2.2x﹣5.6； （3）∵当0＜x≤8时，y＝1.5x， y的最大值为1.5×8＝12（元），12＜23， ∴该户当月用水超过8吨． 令y＝2.2x﹣5.6中y＝23，则23＝2.2x﹣5.6， 解得：x＝13． 答：这个月该户用了13吨水． 23．（12分）定义：一次函数y＝kx+b和y＝bx+k（其中k、b为常数，k≠0，b≠0）互为“友好函数”．比如y＝3x+5和y＝5x+3互为“友好函数” （1）已知点P（a，4）在y＝﹣2x+3的“友好函数”上，则a＝ 　2　． （2）y＝﹣2x+3上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． （3）若y＝x+b和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是2，求b值． 【分析】（1）根据“友好函数”的定义，可找出y＝﹣2x+3的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点Q的坐标； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两函数图象与y轴的交点坐标及两函数的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求出b的值． 【解答】解：（1）y＝﹣2x+3的“友好函数”是y＝3x﹣2， ∵点P（a，4）在一次函数y＝3x﹣2的图象上， ∴4＝3a﹣2， 解得：a＝2． 故答案为：2． （2）联立两函数解析式组成方程组， 解得：， ∴点Q的坐标为（1，1）； （3）y＝x+b的“友好函数”是y＝bx+1． 当x＝0时，y＝0+b＝b， ∴一次函数y＝x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，b）； 当x＝0时，y＝b×0+1＝1， ∴一次函数y＝bx+1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）． 联立两函数解析式组成方程组， 解得：， ∴y＝x+b和它的“友好函数”的交点坐标为（1，1+b）， ∴y＝x+b和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是×1×|b﹣1|＝2， 解得：b＝﹣3或b＝5， ∴b的值为﹣3或5． 24．（12分）如图，直线AB：y＝﹣x+b分别与x、y轴交于A（4，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝2：1． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，点P为A点侧x轴上的一动点，以点P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由； （3）如图1，直线EF：交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD＝S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先确定B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）K点的位置不发生变化．只要证明AC＝CQ，即可推出∠QAC＝∠OAK＝45°即可解决问题； （3）由S△BDF＝S△BDE，可知只需DF＝DE，即D为EF中点，利用方程组求出E、F两点坐标，利用中点坐标公式列出方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x﹣b且过点A（4，0）， ∴﹣4+b＝0， ∴b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵OC：OB＝1：2， ∴OC＝2， ∴C（﹣2，0）， 设y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝2x+4； （2）K点的位置不发生变化．理由如下： 如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m， ∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°， ∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°， ∴∠OPB＝∠PQC， ∵PB＝PQ， ∴△BOP≌△PCQ（AAS）， ∴BO＝PC＝4，OP＝CQ＝4+m， ∴AC＝QC＝4+m， ∴∠QAC＝∠OAK＝45°， ∴OA＝OK＝4， ∴K（0，﹣4）； （3）存在，理由如下：如图1中， ∵S△BDF＝S△BDE， ∴只需DF＝DE，即D为EF中点， E为直线AB与EF的交点，可得E（k+3，﹣k+1）， F为直线BC与EF的交点可得F（﹣﹣k，﹣k﹣）， D为x轴与EF的交点D（3k，0）， ∵点D为EF的中点， 利用中点公式可得（﹣k+1）+（﹣k﹣）＝0， ∴k＝， 此时满足3k＝，故存在． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$