专题07 线段计算的四大技法-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题07 线段计算的四大技法 题型1：和差关系法 题型2：设元列方程法 题型3：整体求值法 题型4：分类讨论法 题型1：和差关系法 如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 【答案】(1)线段的长为； (2)长度等于，见解析． 【分析】（）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解； （）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴线段的长为； （2）长度等于，理由： ∵点分别是的中点， ∴，， ∴． 一．解答题（共3小题） 1．如图，点B、C是线段上的两点，且．若点M是线段的中点，，求线段和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由题意得出，，从而求出，再由线段的中点得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵点M是线段的中点， ∴． ∴． 2．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 3．如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（）由，，得，，则，再根据线段中点和线段和差即可求解； （）由∵，得，再根据线段中点，从而得出，然后求解即可； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 即线段的长为； （2）∵， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． 题型2：设元列方程法 如图所示，点C在线段上，M是的中点，N是的中点，若，且，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得，根据线段的和差，可得MN的长，根据等式的性质，可得的长，根据线段的比例，可得线段的长，再根据线段的中点，可得答案． 【详解】解：由M是的中点，N是的中点，得． 由线段的和差，得． ， ． 由，设． 则． 解得． 则． ． 一．解答题（共3小题） 1．如图，A，B是线段上两点，M，N分别为的中点，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，设，，由线段中点的定义可得，则，解得，则． 【详解】解：设，． ∵M，N分别为的中点， ∴． ∴， ∵， ∴． 解得． ∴． 2．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或8 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求得，的长，进而根据求解即可； （2）设，则，根据题意得到，，得到进而求解即可； （3）根据题意分点M在点C左边和点M在点C右边两种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ； （2）∵ ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴； （3）①当点M在点C左边时， ∵， ∴； ②当点M在点C右边时， ∵， ∴． 3．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【分析】本题主要考查线段的和差关系及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键； （1）根据图形可直接进行求解； （2）根据线段的和差关系可进行求解； （3）由题意可设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：图中有线段，共6条； 故答案为：6； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵D是的中点，且， ∴， 设，则有，则有， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 题型3：整体求值法 如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或． 一．解答题（共3小题） 1．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 【答案】(1)2；2；4 (2)见解析，12 【分析】本题主要考查了线段两点间的距离，线段的和差倍分关系；解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）先根据条件求出，和，最后根据求出答案即可； （2）根据小颖的想法，点N还可以在点D的右侧，画出图形，然后根据条件求出，和，最后根据求出答案即可． 【详解】（1）解：小欣的解答过程如下： ，， ， 为的中点，， ． ， 故答案为：2：2；4. （2）解：画图如下：     ，， ， 为的中点，， ． ． 2．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 3．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②； (2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【详解】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 题型4：分类讨论法 已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合． （1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）解：∵点为线段的中点， ∴， 设，则 当点E在点D的左侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 当点E在点D的右侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图所示：    此时； 当点E在线段上时，如图所示：    此时． 综上分析可知，或． 1． 解答题（共3小题） 1．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【答案】(1)5 (2)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得解； （2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段， ∴点B表示的数为． （2）解：当点N在线段上时，如答图①， ∵，， ∴， ∴； 当点N在线段的延长线上时，如答图②， ∵，， ∴． 综上所述，的长度为4或8． 2．如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 3．如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的长，再根据线段中点的定义求解即可； （2）分点D在点P的左边时，点D在点P的右边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：如图，点D在点P的左边时， ，，， ， ， ； 点D在点P的右边时， ，，， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段计算的四大技法 题型1：和差关系法 题型2：设元列方程法 题型3：整体求值法 题型4：分类讨论法 题型1：和差关系法 如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 【答案】(1)线段的长为； (2)长度等于，见解析． 【分析】（）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解； （）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴线段的长为； （2）长度等于，理由： ∵点分别是的中点， ∴，， ∴． 一．解答题（共3小题） 1．如图，点B、C是线段上的两点，且．若点M是线段的中点，，求线段和的长． 2．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 3．如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 题型2：设元列方程法 如图所示，点C在线段上，M是的中点，N是的中点，若，且，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得，根据线段的和差，可得MN的长，根据等式的性质，可得的长，根据线段的比例，可得线段的长，再根据线段的中点，可得答案． 【详解】解：由M是的中点，N是的中点，得． 由线段的和差，得． ， ． 由，设． 则． 解得． 则． ． 一．解答题（共3小题） 1．如图，A，B是线段上两点，M，N分别为的中点，，，求的长．    2．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 3．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 题型3：整体求值法 如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或． 一．解答题（共3小题） 1．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 2．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 3．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 题型4：分类讨论法 已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合． （1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）解：∵点为线段的中点， ∴， 设，则 当点E在点D的左侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 当点E在点D的右侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图所示：    此时； 当点E在线段上时，如图所示：    此时． 综上分析可知，或． 1． 解答题（共3小题） 1．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 2．如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 3．如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$