精品解析：四川省乐山市实验中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

乐山市实验中学2024-2025学年度上期 九年级半期数学试题 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故选：B． 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键． 【详解】解：A、中被开方数是小数，故此选项不符合题意； B、中被开方数18含有能开得尽方的因数9，故此选项不符合题意； C、中被开方数是分数，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 8. 如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图：过点作交于， 是边上的中线， ， ， ． ． 故选：C． 9. 已知，则的值是（　　） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，平行四边形的边长，，平分，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；延长交于点，得出是等边三角形，是等边三角形，进而证明，，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵平行四边形的边长，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 12. 已知，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】可得y=3x，代入所求式子可得结论． 【详解】解：∵， ∴y=3x， ∴=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 13. 如图，已知，，，，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由题意求得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到，， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， ， ，， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的两个根，然后根据“倍根方程”的定义可得或，从而得出或，然后分类代入即可求出结论． 【详解】解： 解得： ∵是倍根方程， ∴或 ∴或 若，=； 若，= 综上：=0 故答案为：0． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程和新定义类问题，掌握利用因式分解法解一元二次方程和“倍根方程”的定义是解题关键． 16. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M，连接． （1）_____________； （2）若，，则_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，再利用等量代换可得，从而可得，证得，再根据相似三角形的性质求解即可； （2）由（1）得，可得，证得，可得，从而证得，可得，利用勾股定理求得，设，则，再根据，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴、均是三边比例为的直角三角形， 设，则， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、对顶角相等、相似三角形的性质与判定， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共3题，每题9分，共27分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合计算、二次根式的乘法运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，再计算二次根式的乘法，最后再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．①利用直接开平方法解方程即可； ②移项整理后得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 ∴ ∴， 或， ，． 19. 已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 22. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与△的关系，掌握，． （1）由题意得一元二次方程判别式△，进而求解． （2）由根与系数的关系用含的代数式表示与，进而求解． 【小问1详解】 解： 方程有两个实数根， △，即， 解得． 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ∴ ， 解得， 又且为整数， 的值为． 23. 材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程的根为； （2）故原方程的根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； 【小问2详解】 解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 24. 已知，如图，平面直角坐标系中直线经过点A（点A位于第三象限）与X轴，y轴分别交于B，C两点，且． （1）求线段的长度； （2）求点A的坐标； （3）点D在延长线上，连接，，若，求点D坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别把、代入求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）过点A作轴于点M，证明，可得，求解，，进而求解即可； （3）过点D作轴于点N，证明，可得，由（2）可得，，，，利用勾股定理求得，，求得，可得，证得，可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与X轴，y轴分别交于B，C两点， 把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作轴于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点A位于第三象限， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴于点N， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、对顶角相等、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共2题，25题12分，26题13分，共25分） 25. 如图，已知A，B两点的坐标分别和，动点P从点A开始在线段上以每秒2个位长度的速度向原点O运动，点E在线段上，过点E作直线轴交线段于点F，同时点E从原点O以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接，，设点P与点E同时出发，其中一个点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间为t秒． （1）当秒时，求的长度； （2）点E、点P在运动过程中，当为何值时，的面积等于； （3）当t为何值时，与相似． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，求得，证得，可得，再求解即可； （2）由题意可知，，则，，证得，可得，求得，从而可得，再求解即可； （3）由题意可知，，，，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：当秒时，由题意得，，， ∵、， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，，则，， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当，， 即， 解得，， 当时，，故舍去， ∴秒时，的面积等于； 【小问3详解】 解：由题意可知，，，， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上所述，当或秒时，与相似． 【点睛】本题考查坐标中动点问题、相似三角形的性质与判定、解一元一次方程、解一元二次方程，运用分类讨论思想是解题的关键． 26. 探究数学问题，我们通常遵循从特殊到一般的原则，关注问题的本质，这是数学学习的一个重要方法． （1）探究：如图①，在正方形中，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且．则 ；（直接写出答案） （2）迁移：矩形中，，，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且，求的值，并写出解答过程； （3）应用：如图③，四边形中，，，，，点M，N分别在边，上，求的值，并写出解答过程． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作，交于点O，过点C作，交的延长线于点Q，根据正方形的性质可得，，，，证明四边形、是平行四边形，可得，，再根据平行线定理可得，利用等量代换可得，证，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点W，过点C作，交的延长线于点Q，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形、是平行四边形，可得，，再根据平行线定理可得，利用等量代换可得，证得，可得，即可求解； （3）过点D作，交的延长线于点F，过点A作，连接，根据矩形的性质与判定可得，，，证得，可得，从而可得，证得，可得，，利用勾股定理求得，即，过点A作，交的延长线于点G，根据平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线定理和等量代换可得，证得，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作，交于点O，过点C作，交的延长线于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形、是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：过点C作，交于点W，过点C作，交的延长线于点Q， ∵四边形矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形、是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作，交的延长线于点F，过点A作，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，即， 解得，（不符合题意舍去）， ∴， 过点A作，交的延长线于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线定理、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市实验中学2024-2025学年度上期 九年级半期数学试题 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A. B. C. D. 9. 已知，则的值是（　　） A. 6 B. C. 3 D. 10. 如图，平行四边形的边长，，平分，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 12. 已知，则的值为______ 13. 如图，已知，，，，那么_____________． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是______． 16. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M，连接． （1）_____________； （2）若，，则_____________． 三、解答题（本大题共3题，每题9分，共27分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值． 23. 材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）； （2）． 24. 已知，如图，平面直角坐标系中直线经过点A（点A位于第三象限）与X轴，y轴分别交于B，C两点，且． （1）求线段的长度； （2）求点A的坐标； （3）点D在延长线上，连接，，若，求点D坐标． 六、解答题（本大题共2题，25题12分，26题13分，共25分） 25. 如图，已知A，B两点的坐标分别和，动点P从点A开始在线段上以每秒2个位长度的速度向原点O运动，点E在线段上，过点E作直线轴交线段于点F，同时点E从原点O以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接，，设点P与点E同时出发，其中一个点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间为t秒． （1）当秒时，求的长度； （2）点E、点P在运动过程中，当为何值时，的面积等于； （3）当t为何值时，与相似． 26. 探究数学问题，我们通常遵循从特殊到一般的原则，关注问题的本质，这是数学学习的一个重要方法． （1）探究：如图①，在正方形中，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且．则 ；（直接写出答案） （2）迁移：矩形中，，，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且，求的值，并写出解答过程； （3）应用：如图③，四边形中，，，，，点M，N分别在边，上，求的值，并写出解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $