安徽省部分学校2023-2024学年高一下学期三月份质量检测数学试卷

2023—2024学年（下）安徽高一3月份质量检测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．若向量，共线，则 A．-3 B．3 C．-1 D．1 3．已知向量，若，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，，若为钝角，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象．四象生八卦，易经包含了深邃的哲理．如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则 A． B．1 C． D． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则的形状为 A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A． B． C． D． 10．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点 11．在中，是边的中点，是线段的中点，则下列结论可能成立的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则_____． 13．相看两不厌，只有敬亭山．李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为则该楼的高度为_____． 图（1） 图（2） 14．如图所示，点，分别位于边长为1的正方形的边，上，，记点为的外心，若，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，其中． （I）若，求； （II）若，且与垂直，求实数的值． 16．（15分）已知函数 （I）讨论的单调性； （II）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，在中，点，分别在线段和上，，． （I）若，，，求的坐标和模； （II）若与的交点为，设，求实数的值． 18．（17分）已知函数的部分图象如图所示．先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象． （I）求的解析式； （II）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角，且，，的面积，求． 19．（17分）如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径，为的中点．为的中点，点在的延长线上，且，市政规划要求，在半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道和通往，两点． （I）设，试将管道总长（即）表示为的函数； （II）若修建管道的费用为10万元/km，修建管道的费用为20万元/km，求修建管道的总费用的最大值． 2023-2024学年（下）安徽高一3月份质量检测 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．答案 D 命题意图 本题考查集合中元素的个数． 解析 因为集合中有5个元素，所以． 2．答案 A 命题意图 本题考查共线向量． 解析 因为，所以，解得． 3．答案 D 命题意图 本题考查向量垂直． 解析 由，得，所以，又因为，，所以，即． 4．答案 A 命题意图 本题考查向量的加减运算及数量积． 解析 ，，因为为钝角，所以且与不共线，即解得． 5．答案 B 命题意图 本题考查指、对数比较大小． 解析 因为，所以．因为，所以．因为，所以．故． 6．答案 D 命题意图 本题考查平面向量的运算． 解析 如图，分别延长，与直线交于，两点，则在上的投影向量为，根据正八边形的几何性质知，所以． 7．答案 B 命题意图 本题考查利用正余弦定理判断三角形形状． 解析 因为，由正弦定理得，因为，所以，即，由余弦定理得，因为，所以．同理由得，所以为等边三角形． 8．答案 命题意图 本题考查三角形的边角关系、不等式与函数的应用． 解析 由，得，，由三角形三边关系得，代入化简可得，所以．令，则，设，，因为，所以，即的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．答案 BD 命题意图 本题考查函数的单调性和奇偶性． 解析 对于A，在定义域上不是单调递增的，故错误； 对于B，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，又，在上都为增函数，所以在上也为增函数，故B正确； 对于C，定义域为，因为，所以函数是偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，又在上为增函数，故D正确． 10．答案 ABD 命题意图 本题考查三角恒等变换和三角函数的性质． 解析 对于A，，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的最小值为，最大值为，即值域为，故正确； 对于C，当时，，所以的图象关于点对称，故错误； 对于D，令，得，又，所以的可能取值为，，共3个，即在区间上有3个零点，故D正确． 11．答案 AD 命题意图 本题考查平面向量在几何中的应用． 解析 对于A，当时，有，则是的垂直平分线，则，故A正确； 对于B，，不可能满足，故B错误； 对于C，若，则，此时，所以不可能成立，故C错误； 对于D，在直角坐标系中，取，，则，此时，，满足，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案 命题意图 本题考查正弦定理． 解析 因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，结合，可得，． 13．答案 命题意图 本题考查解三角形的实际应用． 解析 由题意可知，，由正弦定理，可得，又因为，所以． 14．答案 命题意图 本题考查向量在平面几何中的应用． 解析 ．① ．② 设，，则①②两式为解得所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．命题意图 本题考查向量共线与垂直． 解析 （I）因为，所以，…………………………………………………………（3分） 得．………………………………………………………………………………………………（4分） 所以．……………………………………………………………………（6分） （II）由已知得，………………………………………………………………（8分） 因为与垂直，所以，……………………………………………………………（10分） 得．……………………………………………（13分） 16．命题意图 本题考查所数的性质． 解析 （I）当时单调递增；………………………………………（3分） 当时，， 所以当时单调递减，…………………………………………………………（5分） 当时，单调递增．…………………………………………………………………（7分） （II）方程即则转化为的图象与直线有三个交点．………………（8分） 结合（1），在同一坐标系中作出函数的大致图象与直线，如图所示．……………………（12分） 要使的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围为．…………………………（15分） 17．命题意图 本题考查平面向量的线性运算． 解析 （I）因为，所以C，D分别是，的中点，………………………………（2分） 所以，又， 所以，…………………………………………………………………………（5分） ．…………………………………………………………………………（7分） （II）由（I）知，所以， 所以．………………………………………………………………（10分） 因为，所以，………………………………………………（12分） 因为与共线，所以，解得．……………………………………………………（15分） 18．命题意图 本题考查三角函数的图象变换及正余弦定理． 解析 （I）设的最小正周期为，则，所以，即，得．（2分） 由“五点法”，可知，所以．…………………………………………………………（4分） 所以．………………………………………………………………………………（5分） 所以．……………………………………………（8分） （II）由得， 因为，所以，解得．……………………………………………………（10分） 由已知得，所以．①……………………………………………………（12分） 由，可得， 代入①式，得，解得，所以．………………………………………………（15分） 由余弦定理可得． 所以．……………………………………………………………………………………………………（17分） 19．命题意图 本题考查解三角形的实际应用． 解析 （I）在中，由余弦定理得 ．……………………（3分） 在中，由余弦定理得 ．………（6分） 所以将管道总长（即）表示为变量的函数为 ，．………………………………………………………（8分） （II）由（I）可知修建管道的总费用为 ．……………………（10分） ，…………………………………………………（12分） 因为，所以， 所以，当时取等号．……………………………………（15分） 故的最大值为，的最大值为，即修建管道的总费用的最大值为万元．…………………………………………………………………………………………（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$