专题04 指对数运算、指对幂函数与零点（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题04 指对数运算、指对幂函数与零点 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 7 考点一：指数运算 7 考点二：对数运算 10 考点三：幂函数、指数函数、对数函数的概念及其解析式 13 考点四：幂函数的图象和性质 16 考点五：指数函数的图象和性质 19 考点六：对数函数的图象和性质 22 考点七：函数的零点问题 25 实战能力训练 29 明晰学考要求 1、了解指数函数模型的实际背景. 2、理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 5、理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. 6、了解指数函数与对数函数互为反函数(). 7、了解幂函数的概念. 8、结合函的图象，了解它们的变化情况 9、结合二次函数的图象，了解兩数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 基础知识梳理 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 三、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 图象 四、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 五、对数函数及其性质 1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 六、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 考点精讲讲练 考点一：指数运算 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 例2．（2022高二下·天津·学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 例3．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知，则= 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）已知，则的最小值为 ． 例5．（2023高二·山西·学业考试） ． 【即时演练】 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2． . 3．已知实数，，化简： . 4．计算下列各式的值： (1) (2)若，求的值． 5．计算： (1)； (2)（，）. 考点二：对数运算 根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 【典型例题】 例1．（2024高二下·云南·学业考试）已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）若和是方程的两个根，则等于（    ） A． B． C．1 D．10 例3．（2024高二上·北京·学业考试） ． 例4．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则 . 例5．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）计算 【即时演练】 1． 2．若，且，则实数 . 3．设，那么 . 4．若，则可以用及表示: 5．计算： (1)； (2)． 考点三：幂函数、指数函数、对数函数的概念及其解析式 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为为常数)或者转化为为常数)的形式； 判断一个函数是否为指数函数的依据是该函数是否为且或者转化为且的形式； 判断一个函数是否为对数函数的依据是该函数是否为且或者转化为且的形式 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 例2．（2020高二上·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 例4．（2023高二上·新疆·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则 . 例5．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【即时演练】 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 2．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 考点四：幂函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 例2．（2020高二下·山东·学业考试）已知函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 例4．（2023高二·重庆·学业考试）设， ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 例5．（2023高二上·宁夏银川·学业考试）已知幂函数的图象过点，则 【即时演练】 1．已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 5．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 考点五：指数函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 例3．（2021高二上·新疆·学业考试）函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 3．若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 4．函数的图像一定过 象限． 5．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 考点六：对数函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022高二下·河北·学业考试）已知，则.（    ） A． B． C． D． 例4．（2022高二下·河北·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【即时演练】 1．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为 ． 5．函数（且）恒过定点 ． 考点七：函数的零点问题 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 【典型例题】 例1．（2021高二上·新疆·学业考试）函数的零点是（    ） A．1 B． C．0 D． 例2．（2024高二上·新疆·学业考试）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 例3．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例4．（2020高二上·新疆·学业考试）若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 例5．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【即时演练】 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 2．在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的两个零点为，则= 4．函数的零点是 ． 5．设实数，若函数有且只有一个零点，则实数m的值为 . 实战能力训练 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．计算（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 5．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 6． （填“＞”或“＝”或“＜”） 7．已知函数，则 . 8．在实数范围内，的四次方根是 ． 9．若函数，则的值域为 . 10．计算下列各式： (1)； (2). 11．已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 12．已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指对数运算、指对幂函数与零点 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 7 考点一：指数运算 7 考点二：对数运算 10 考点三：幂函数、指数函数、对数函数的概念及其解析式 13 考点四：幂函数的图象和性质 16 考点五：指数函数的图象和性质 19 考点六：对数函数的图象和性质 22 考点七：函数的零点问题 25 实战能力训练 29 明晰学考要求 1、了解指数函数模型的实际背景. 2、理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 5、理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. 6、了解指数函数与对数函数互为反函数(). 7、了解幂函数的概念. 8、结合函的图象，了解它们的变化情况 9、结合二次函数的图象，了解兩数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 基础知识梳理 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 三、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 图象 四、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 五、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 六、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 考点精讲讲练 考点一：指数运算 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】. 故选：D. 例2．（2022高二下·天津·学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 【答案】D 【详解】. 故选：D 例3．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知，则= 【答案】 【详解】. 故答案为：. 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，取等号． 故答案为：4. 例5．（2023高二·山西·学业考试） ． 【答案】 【详解】原式 故答案为： 【即时演练】 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，不成立；即A错误； 对于B，由可知，因此，即B错误； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，显然，所以，即D正确. 故选：D 2． . 【答案】6.4 【详解】原式. 故答案为：6.4. 3．已知实数，，化简： . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 4．计算下列各式的值： (1) (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2）. 5．计算： (1)； (2)（，）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2） . 考点二：对数运算 根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 【典型例题】 例1．（2024高二下·云南·学业考试）已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】. 故选：A 例2．（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）若和是方程的两个根，则等于（    ） A． B． C．1 D．10 【答案】D 【详解】由和是方程的两个根，得，即， 所以． 故选：D 例3．（2024高二上·北京·学业考试） ． 【答案】2 【详解】. 故答案为：2. 例4．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则 . 【答案】 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 例5．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）计算 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【即时演练】 1． 【答案】 【详解】 故答案为：. 2．若，且，则实数 . 【答案】/ 【详解】由题意知，，则， 所以， 又，所以. 故答案为：. 3．设，那么 . 【答案】 【详解】因为 由换底公式可得， ∴，即， ∴. 故答案为：. 4．若，则可以用及表示: 【答案】 【详解】由题设，则，， 所以. 故答案为： 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 考点三：幂函数、指数函数、对数函数的概念及其解析式 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为为常数)或者转化为为常数)的形式； 判断一个函数是否为指数函数的依据是该函数是否为且或者转化为且的形式； 判断一个函数是否为对数函数的依据是该函数是否为且或者转化为且的形式 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 例2．（2020高二上·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 例4．（2023高二上·新疆·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】 【详解】由条件可知，所以， 所以，所以， 故答案为：. 例5．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 【即时演练】 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 2．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 4．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义； 又在上单调递减，在上单调递增，故D正确， 在上单调递增，在上单调递减，即C错误. 故选：D 5．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 【答案】 【详解】由题设，故幂函数表达式为. 故答案为： 考点四：幂函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 例2．（2020高二下·山东·学业考试）已知函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题中图象知函数单调递增，根据幂函数的性质可得， 由图知当时，，所以.故B正确. 故选：B. 例3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 例4．（2023高二·重庆·学业考试）设， ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 【答案】C 【详解】因为在上为增函数，则可以推出，反之，若，则可推出， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 例5．（2023高二上·宁夏银川·学业考试）已知幂函数的图象过点，则 【答案】2 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得. 故答案为：2. 【即时演练】 1．已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由于是幂函数 所以，解得或 当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意； 当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意． 故 故选：A 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 3．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，将代入得，解得， 故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确. 故选：C 4．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 5．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】将点代入得，解得， 所以， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，解得，即实数的取值范围是， 故答案为： 考点五：指数函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】区间上单调递增，又，， 所以，即，解得， 故选：C. 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 例3．（2021高二上·新疆·学业考试）函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的图象过定点， 所以函数的图象过定点，故C正确. 故选：C. 例4．（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 例5．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 【即时演练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 2．函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 3．若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【详解】指数函数且在上是严格减函数， 则，故AB错误， 则，故C正确，D错误. 故选：C. 4．函数的图像一定过 象限． 【答案】第一象限和第二 【详解】，在上单调递减， 根据指数函数的图象，知一定过第一象限和第二象限. 故答案为：第一象限和第二 5．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 考点六：对数函数的图象和性质 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 例3．（2022高二下·河北·学业考试）已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 例4．（2022高二下·河北·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 例5．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【答案】ABC 【详解】由题意，，则， 所以函数的定义域为，故A正确； 根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确； 令，则，， 所以函数的图象过定点，故C正确； 当时，函数在定义域上单调递减，故D错误. 故选：ABC. 【即时演练】 1．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 2．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 即函数的定义域为. 故选：A 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由可得，解得， 故答案为： 5．函数（且）恒过定点 ． 【答案】 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 考点七：函数的零点问题 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 【典型例题】 例1．（2021高二上·新疆·学业考试）函数的零点是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故选：D. 例2．（2024高二上·新疆·学业考试）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 例3．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 例4．（2020高二上·新疆·学业考试）若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 【答案】 【详解】因为函数的一个零点为， 所以，解得，所以，令，即，解得或， 所以的零点为和，故另一个零点是. 故答案为： 例5．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 【即时演练】 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增， 所以，所以函数在存在零点. 故选：B. 2．在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然单调递增，且图象连续，， 由零点存在定理可知，一定包含函数零点的区间是. 故选：B 3．函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【详解】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 4．函数的零点是 ． 【答案】2 【详解】令，解之得， 所以函数的零点是2. 故答案为： 5．设实数，若函数有且只有一个零点，则实数m的值为 . 【答案】 【详解】∵函数有且只有一个零点， ∴方程只有一个根， 则，得. 又因为， 所以. 故答案为： 实战能力训练 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数、函数与函数在上单调递增， 函数在上单调递减. 故选：C. 2．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则 ， 故选：A. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，所以， 所以 故选：B. 4．若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数，在上单调递减，符合题意， 当时，函数，在上单调递增，不符合题意. 综上所述：实数的值为. 故选：A. 5．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 6． （填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【详解】因为函数是增函数，， 所以， 故答案为：． 7．已知函数，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 故答案为： 8．在实数范围内，的四次方根是 ． 【答案】 【详解】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. 9．若函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】当时，；当时，， 故的值域为， 故答案为：. 10．计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式. 11．已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 12．已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1)；定义域为 (2) 【详解】（1）由幂函数经过点可得，，可得，解得，故． 由可得，所以函数的定义域为． （2）由（1）可知，幂函数的定义域为，且在定义域上为减函数， 由，得可得． 即实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$