四川省成都市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度上期高2025届半期考试 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2.式子的值为（ ） A. B.2 C. D. 3.由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 4.在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. C. D. 5.已知函数对都有，且其导函数满足当时，则当时，有（ ） A. B. C. D. 6.若向量，，满足，，则的最大值为（ ） A.10 B.12 C. D. 7.若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.在三棱柱中，，，在面的投影为的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强 D.样本相关系数 10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 11.正实数，满足，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.命题“，”的否定是__________. 13.若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为__________. 14.椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 设的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （I）求角的大小； （II）若向量与共线，求，的值. 16.（本小题满分15分） 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （II）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望. 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且 ，为棱的中点. （I）求证：； （II）求二面角的正弦值； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分） 椭圆左焦点和，构成一个面积为的，且. （I）求椭圆的标准方程； （II）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于 ①求四边形的面积；②求面积最大值及相应点的坐标. 19.（本小题满分17分） 已知函数.（其中） （I）当时，证明： （II）若时，，求实数的取值范围； （III）记函数的最小值为，求证： 2024~2025学年度上期高2025届半期考试 高三数学试卷参考答案 一、单选题 DABC DBCC 二、多选题 9.ABD 10.AC 11.BCD 三、填空题 12.， 13. 14. 四、解答题 15.【解】（I），，即，，，解得。 ……（6分） （II）与共线，。由正弦定理，得①，，由余弦定理，得②，联立①②， ……（13分） 16.【解】（I）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 ……（5分） （II）设甲获得优秀为事件，乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件 ， ， ， ， ……（11分） 的分布列为 0 1 2 3 ……（15分） 17.【解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. （I）依题意，，， 从而，所以； ……（4分） （II）依题意，是平面的一个法向量，，. 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得. ， . 所以，二面角的正弦值为； ……（10分） （III）依题意，. 由（II）知为平面的一个法向量，于是 . 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ……（15分） 18.【解】：（I）设，由，得， 再由面积，解得椭圆方程 ……（4分） （II）①解：设，解得，， 直线；直线； 解得， 四边形的面积 由点在椭圆上， ……（11分） ②解： 即需求出最大值即可 ，椭圆三象限的点到的距离   此时， 最大值为 面积最大值为 ……（17分） 注：此问也可用参数方程求解，酌情给分 19.【解】（I）当时，  当时，，，单调递增 当时，，，单调递减 得证 ……（3分） （II）法一：由，， ①当时，，，，单调递增，， 单调递增，，成立； ②当时，当，，∴单调递减，， 单调递减，，与条件矛盾，不成立： 综上所述： ……（8分） 法二：由，即成立，设 ，设， ，单调递增，，单调递增 即，单调递增， 由洛必达法则， ……（8分） （III），则 设，则，又因 在单调递增 又 ，使得，即① 且，，单调递减：，，单调递增 ，由①得 又，， ，使得，即，即 且，，单调递减：，，单调递增 ， ， ……（13分） 再设，易证在单调递减 ，也即大于 要证，即证，又即证 由（II）问， 得证 ……（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$