第二章 圆锥曲线 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） -2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. 常用结论： 1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 常用结论： 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 三、椭圆 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 常用结论： 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 四、双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 常用结论： 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. 4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 五、抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 常用结论： 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 六、参数方程 1. 参数方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点都在曲线上，那么，方程（1）就叫做曲线的参数方程．联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2. 通过“消去参数”可以把曲线的参数方程化为普通方程； 3. 通过“选取参数”，可以把曲线的普通方程化为参数方程． 4. 常见曲线的参数方程 直线的参数方程：（为参数，）； 圆心为原点，半径为的圆的参数方程（为参数，）； 圆心为半径为的圆的参数方程（为参数，）； 椭圆的参数方程为（为参数）； [微点提醒]　直线参数方程中t的几何意义 过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线上以 定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．当t>0时，的方向向上；当t<0时，的方向向下；当t＝0时，M与M0重合． 根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论： 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ①|M1M2|＝|t1－t2|. ②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝． ③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0． ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|． 七、极坐标系中的曲线方程 1．极坐标系 如图(1)所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 2．极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ． ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． 　　　　　　 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) 3．极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立： 或这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0<θ<π) [提醒]关于极坐标系 1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 4．已知极坐标方程求线段的长度的方法 (1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度． (2)直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝； (3)如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求． 03 题型归纳 题型一　圆的方程 例题 1．已知圆，则圆的半径为 . 巩固训练 2．已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 3．已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为 . 4．已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 5．过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 题型二 圆的位置关系 例题 6．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 巩固训练 7．直线与圆相交，则的取值范围是 . 8．圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 9．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 10．已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 11．写出一个与圆外切，并与直线及轴都相切的圆的方程 . 12．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 13．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 题型三　圆的对称问题 例题 14．点关于直线对称的点在圆：上，则 等于 ． 巩固训练 15．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 16．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 题型四　圆过定点、弦长等其他问题 例题 17．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 巩固训练 18．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 19．已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（   ） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 20．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 21．已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五 圆锥曲线的有关概念 例题 22．椭圆的长轴长为 ． 巩固训练 23．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 24．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 25．已知双曲线：，则双曲线的离心率是 . 26．已知是双曲线：的右焦点，则点到的渐近线的距离为 ． 27．顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 28．已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为 . 题型六 根据圆锥曲线的方程求参数 轨迹 例题 29．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 . 巩固训练 30．对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 32．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型七 圆锥曲线的性质 例题 33．椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为 . 巩固训练 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 35．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 36．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则 37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则 . 题型八 直线与圆锥曲线 例题 38．若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是 . 巩固训练 39．直线与双曲线上支的交点个数为 ． 40．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 41．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 弦长、中点弦等问题 例题 42．已知直线与椭圆交于两点，则 . 巩固训练 43．已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 44．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于 . 45．已知椭圆（）的焦距等于椭圆的短轴长.若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在直线上，则实数 . 46．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 题型十 曲线与方程 例题 47．把点的直角坐标化为极坐标是 ． 巩固训练 48．平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 49．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 50．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 51．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 题型十一 圆锥曲线的实际应用 例题 52．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 巩固训练 53．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是 . 题型十二 解答题 例题 55．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 巩固训练 56．已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 57．已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 58．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 59．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 60．已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）. ①若，求的面积； ②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. 常用结论： 1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 常用结论： 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 三、椭圆 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 常用结论： 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 四、双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 常用结论： 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. 4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 五、抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 常用结论： 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 六、参数方程 1. 参数方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点都在曲线上，那么，方程（1）就叫做曲线的参数方程．联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2. 通过“消去参数”可以把曲线的参数方程化为普通方程； 3. 通过“选取参数”，可以把曲线的普通方程化为参数方程． 4. 常见曲线的参数方程 直线的参数方程：（为参数，）； 圆心为原点，半径为的圆的参数方程（为参数，）； 圆心为半径为的圆的参数方程（为参数，）； 椭圆的参数方程为（为参数）； [微点提醒]　直线参数方程中t的几何意义 过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线上以 定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．当t>0时，的方向向上；当t<0时，的方向向下；当t＝0时，M与M0重合． 根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论： 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ①|M1M2|＝|t1－t2|. ②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝． ③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0． ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|． 七、极坐标系中的曲线方程 1．极坐标系 如图(1)所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 2．极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ． ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． 　　　　　　 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) 3．极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立： 或这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0<θ<π) [提醒]关于极坐标系 1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 4．已知极坐标方程求线段的长度的方法 (1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度． (2)直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝； (3)如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求． 03 题型归纳 题型一　圆的方程 例题 1．已知圆，则圆的半径为 . 【答案】4 【分析】将圆化简为标准方程求解即可. 【解析】根据题意圆，可得圆的半径为. 故答案为：4 巩固训练 2．已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边中点求解即可. 【解析】因为的三个顶点，，， 所以为直角三角形， 故三角形外接圆圆心为斜边的中点， 半径, 所以圆的方程为. 故答案为： 3．已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【解析】因为圆心在直线上，设圆心， 由可得，解得，则， 所以，圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故答案为：. 4．已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数的取值范围即可；再由，进而求出半径的最大值即可. 【解析】由题意知：，所以， 所以的取值范围为； 由因为，当且仅当时， . 故答案为：；. 5．过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆C的圆心即可求出所圆的半径和一标准方程，再将标准方程化成一般方程即可. 【解析】解：将圆C的方程化为标准方程得， 则圆心C的坐标为（2，-3）， 故所求圆的半径， 所以所求圆的方程为， 即． 故答案为：． 题型二 圆的位置关系 例题 6．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一般方程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可求解． 【解析】由题意得，解得. 故答案为：． 巩固训练 7．直线与圆相交，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系列式求解即可. 【解析】因为直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 8．圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】由两圆圆心间距离与半径和差关系即可判断. 【解析】圆的圆心，半径为6，圆的圆心，半径为1， 所以，所以，两圆位置关系为内切， 故选：A. 9．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【答案】内含 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【解析】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 10．已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意知，点在圆上，若直线与圆相切，则直线与直线垂直，即可求出直线的斜率，根据点斜式直线方程即可求出直线的方程. 【解析】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 11．写出一个与圆外切，并与直线及轴都相切的圆的方程 . 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【分析】设出圆的方程，由已知条件及几何关系建立等量关系，用待定系数法求解即可. 【解析】设所求圆的方程为：， 因为与圆外切，所以， 又因为与直线及轴都相切，所以圆心在上或上 当圆心在上，所以，， 联立得：，解得：， 所以求得圆的方程为：或 当圆心在上，所以，， 联立得：，解得：，， 所以求得圆的方程为：或。 故答案为：或或或（写出其中一个即可） 12．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【答案】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【解析】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 13．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆， 则，而，因此，所以或. 故选：D 题型三　圆的对称问题 例题 14．点关于直线对称的点在圆：上，则 等于 ． 【答案】 【分析】先求得点坐标，然后代入圆的方程，从而求得. 【解析】点关于直线的对称点为， 将点坐标代入圆的方程得，所以. 故答案为： 巩固训练 15．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先由对称性求出圆的圆心，结合半径即得圆的方程. 【解析】由圆心与点关于直线对称，可得圆心的坐标为， 又圆的半径为1，圆的标准方程为． 故答案为:． 16．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，求得圆心连线的斜率与中点，结合题意，建立方程组，可得答案. 【解析】由圆，则圆心，半径， 设，由题意可得圆的半径为， 直线的斜率，线段的中点为， 由直线，则其斜率， 可得，解得，则， 圆. 故答案为：. 题型四　圆过定点、弦长等其他问题 例题 17．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解析】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 巩固训练 18．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【答案】 【分析】明确圆心和半径，利用切线长定理求切线段的长度. 【解析】由，所以圆心为，半径为. 所以过点向圆作切线，切线段的长度为：. 故答案为： 19．已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（   ） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 【答案】B 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后求得相交弦所在直线方程，再求得弦长. 【解析】圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为， 圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确. 由、两式相减并化简得， B选项错误. 到直线的距离为， 所以，D选项正确. 故选：B 20．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【解析】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 故答案为：    21．已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的一般方程可得出圆心，半径为2，利用弦长公式可得圆心到直线的距离，可得结果. 【解析】由， 即圆心，半径为2， 要使，则圆心到直线的距离， 设直线方程为： 所以，解得. 故选：A 题型五 圆锥曲线的有关概念 例题 22．椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆长轴长的定义可求. 【解析】根据椭圆方程可知， 所以长轴长为， 故答案为： 巩固训练 23．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的准线方程. 【解析】由化得，故物物线的标准方程为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 24．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 【答案】或9/9或 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解. 【解析】因为两椭圆方程分别为，， 由题意可得：或，解得或. 故答案为：或9 25．已知双曲线：，则双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率. 【解析】双曲线：的实半轴长，虚半轴长， 则半焦距，所以双曲线的离心率. 故答案为： 26．已知是双曲线：的右焦点，则点到的渐近线的距离为 ． 【答案】1 【分析】线求出右焦点和渐近线方程，再用点到直线距离公式计算即可 【解析】根据，得到，则，则，则. 所以右焦点，渐近线方程为，即. 根据点到直线距离公式，知道到的渐近线的距离为. 故答案为：1. 27．顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【解析】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 28．已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与距离范围为，结合已知即可确定P的坐标. 【解析】由题设，，则，， 所以椭圆上点与距离范围为，又， 所以是椭圆的右顶点，即P的坐标为. 故答案为： 题型六 根据圆锥曲线的方程求参数 轨迹 例题 29．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义列出不等式求解即可. 【解析】依题意得, 解得且， 故实数的取值范围为, 故答案为： 巩固训练 30．对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的特征得到的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果. 【解析】若方程表示双曲线， 则，得或， 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 31．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 32．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【解析】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线； 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有0个. 故选：A 题型七 圆锥曲线的性质 例题 33．椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，，求出，代入椭圆方程，求出，求出答案. 【解析】如图，过B作轴于H，设椭圆方程为， ，，易知，所以， 又，，所以，，得到， 代入椭圆方程得，整理得到，所以. 故答案为： 巩固训练 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【解析】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 35．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【解析】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 36．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则 【答案】14 【分析】求出抛物线方程，由条件及抛物线定义求得直线的斜率，从而得出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求出结果. 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线为，准线与轴交点为， ∵，∴， 即抛物线方程为，∴，，准线为， 作垂直于准线交于，则， ∵，∴， ∵在中，， ∴ ∴直线的斜率为，又直线过点， ∴直线的方程为， 由，得， 设，则， ∴. 故答案为：14. 37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，设、，结合韦达定理可得出，，利用斜率公式可求得的值. 【解析】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型八 直线与圆锥曲线 例题 38．若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先得动直线所过的定点，进一步由已知列不等式，求解即可. 【解析】动直线即过定点， 若动直线始终与椭圆有公共点， 则，解得，且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 39．直线与双曲线上支的交点个数为 ． 【答案】2 【分析】直接解方程组，求得直线和双曲线上支的交点坐标，即可得到答案. 【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2． 故答案为：2 40．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【解析】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 41．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定，由此可得所求范围. 【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为， 当垂直于轴时，两点坐标为， 此时，且， 即抛物线的焦点弦中，通径最短， 所以. 故选：A． 题型九 弦长、中点弦等问题 例题 42．已知直线与椭圆交于两点，则 . 【答案】/ 【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案. 【解析】联立与，得， 设， 则， 故. 故答案为： 巩固训练 43．已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将点代入得出方程，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【解析】将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为： . 44．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于 . 【答案】 【分析】根据点差法列式求解得，再利用替换，即可得离心率. 【解析】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即. 故答案为： 45．已知椭圆（）的焦距等于椭圆的短轴长.若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在直线上，则实数 . 【答案】不存在 【分析】先求出椭圆的方程，将与椭圆方程联立，得，根据韦达定理和中点坐标公式求出k的值，再验证即可. 【解析】，，得. 将与椭圆方程联立，得. 设，则，，由解得 但将代入得： 此时，所以要舍去， 实数不存在. 故答案为：不存在. 【点睛】本题主要考查的是直线与椭圆的应用，以及椭圆的几何性质的应用，韦达定理的应用、中点坐标公式的应用，是中档题. 46．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出和，求出三角形面积. 【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为. 不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线， 则直线的方程为，联立， 解得，即. 同理，联立，解得，即， 所以. 故答案为：. 题型十 曲线与方程 例题 47．把点的直角坐标化为极坐标是 ． 【答案】 【分析】利用直角坐标与极坐标的转化公式运算即可. 【解析】因为点在直角坐标系中坐标为， 所以， 且，解得， 又因为， 所以， 所以极坐标为. 故答案为： 巩固训练 48．平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】逐项将极坐标方程化为直角坐标方程或将直角坐标方程化为极坐标方程即可比较判断． 【解析】对于A，与，表示圆，y=a表示直线，故A不符题意； 对于B，与，y=x表示直线，化为极坐标方程为θ=，与表示不同曲线，故B不符题意； 对于C，与，y=cosx是余弦函数图像，表示圆，故C不符题意； 对于D，与，，故D符合题意． 故选：D． 49．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，且圆的圆心，由题意，即，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程. 【解析】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 50．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【解析】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 51．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 【答案】D 【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可. 【解析】当，方程为； 以代替x方程不变，曲线关于y轴对称； 以代替y方程不变，曲线关于x轴对称； 以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称； ∴曲线既是轴对称图形也是中心对称图形； ∴方程的曲线围成的封闭图形是一个 以、、、为顶点的菱形． 故选：D． 题型十一 圆锥曲线的实际应用 例题 52．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C    巩固训练 53．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【解析】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 54．如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是 . 【答案】无论P在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 【分析】根据题意，以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，即可得到舰艇航行的轨迹方程是双曲线，然后求得以PB为直径的圆的半径与，即可判断. 【解析】 以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，由题意知，，， ，，， 则可知舰艇航行的轨迹方程是双曲线，且，， 则方程为，暗礁区域的圆心为，半径为1， 设，以PB为直径的圆域内全面巡逻，设圆心为，则圆心， 半径为，则， 则无论在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切. 题型十二 解答题 例题 55．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【解析】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 巩固训练 56．已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长. 【解析】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆：，得，圆心为，半径， 圆心距， ， 圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离，故公共弦的弦长为. 57．已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 58．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【解析】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 59．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 60．已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）. ①若，求的面积； ②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）①设直线的斜率为，则直线的方程为，联立椭圆方程可得的坐标，联立圆方程可得的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，由可得，求得，坐标，以及，，由的面积为，计算可得；②运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证. 【解析】（1）据题意，椭圆的离心率为，即. 当直线经过点时，直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为，可知，即. 联立可得，，，故. 所以椭圆的方程为. （2）①据题意，直线的斜率存在，且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，整理可得， 所以或. 所以点的坐标为， 联立和， 整理可得，所以或. 所以点的坐标为. 显然，是圆的直径，故， 所以直线的方程为. 用代替，得点的坐标为， 即. ①由可得，， 即，解得. 根据图形的对称性，不妨取， 则点，的坐标分别为，， 故，. 所以的面积为. ②直线的斜率， 直线的斜率. 所以为定值，得证. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想”，化简整理的运算能力，计算量较大，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$