第三章 空间向量及其应用（压轴专练）（七大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第三章 空间向量及其应用（压轴专练）（七大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求平面PDM与平面BDM的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．如图，在四棱锥中，， ，平面平面. (1)证明：平面； (2)若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； (3)若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 题型2：翻折问题 3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 4．如图1所示，直角梯形，，，且，点A，E分别在线段MD，BC上，且，点为DC的中点，将四边形MBEA沿AE折起，使二面角的大小为.    (1)若（如图2所示），求直线AB与平面所成角的正弦值； (2)若，点Q为平面ABE内一点，若平面ABE（如图3所示），求PQ的值； (3)若时，点为线段的中点，将沿折起，使与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平面平面ADE，点为四面体MECD内切球球面上一动点，求的最小值. 题型3：定值问题 5．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 6．如图，在正方体中，，. (1)当取得最小值时，求与的值. (2)设与平面所成的角为. ①若，求的值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 题型4：角度最值问题 7．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．    (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，为上的点，当平面时，求的值； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 8．如图，球的半径为．为球面上三点，我们把过球心的平面截球面所得的圆称为大圆，和是大圆上的劣弧，它们围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角分别为，则球面三角形的面积为. (1)若二面角均为，求球面三角形的面积； (2)已知平面三角形为直角三角形，，设.则： ①求证：； ②延长与球交于点，若直线与平面所成的角分别为，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 题型5：空间向量的运算 9．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 10．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 题型6：空间向量的代数、几何应用综合 11．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线l以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 12．一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 13．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； (2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 题型7：新定义题综合 14．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 15．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用.柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当（，2，…，）或存在一个数，使得（，2，…，）时，等号成立.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.    (1)求点到平面的距离； (2)若，平面平面，，分别为，上的动点，且，. ①用，来表示线段MN的长度； ②当线段MN的长度最小时，求平面AMN与平面夹角的余弦值. 16．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. (1)计算的大小； (2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 17．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点. (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 19．定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． (1)若到平面的距离均为1，求； (2)若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量及其应用（压轴专练）（七大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求平面PDM与平面BDM的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【解析】（1）取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是， ． 2．如图，在四棱锥中，， ，平面平面. (1)证明：平面； (2)若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； (3)若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)1； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解； （2）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【解析】（1）如图，取的中点，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，平面，， 所以平面. （2）因为，为的中点，，所以， 过点作∥交于点E， 由平面，平面，可得， 以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，， 设，∵点是线段上一点， ∴，， 则, ∴, 则, 由（1）知平面的法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或， ∵，所以. 所以. （3）不存在点使得，理由如下： ∵点是线段的中点，∴， 则，，， 设与都都重直的向量为， 则， ∴，令，得， 设直线与直线的距离为， 则， 所以不存在点使得. 题型2：翻折问题 3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；证明见解析； (2)存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【解析】（1）分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，； 当时，，； 综上所述：二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 4．如图1所示，直角梯形，，，且，点A，E分别在线段MD，BC上，且，点为DC的中点，将四边形MBEA沿AE折起，使二面角的大小为.    (1)若（如图2所示），求直线AB与平面所成角的正弦值； (2)若，点Q为平面ABE内一点，若平面ABE（如图3所示），求PQ的值； (3)若时，点为线段的中点，将沿折起，使与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平面平面ADE，点为四面体MECD内切球球面上一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求解即可； （2）根据题意可得，进而得平面PQK，又平面，确定点，进而根据三角形的相关知识可解出PQ的值； （3）建立空间直角坐标系，根据等体积法求出内切球的球心坐标和半径，然后得内切球的方程，利用阿氏球相关知识可知空间中必存在一定点，使球上的点满足，然后根据方程解出点的坐标，进而求出的最小值. 【解析】（1）如图2，由题AM、AE、AD三线两两垂直，建立如图所示的坐标系，，，，，   ，，， 设平面BCD的法向是， 由，得，即， 所以取平面BCD的一个法向量， 设AB与平面所成角为，所以， 与平面BCD所成角的正弦值为 （2）如图，设AE、AB的中点分别为K、T，连接KT.    由平面几何知：，，所以，且平面PKT. 若平面，因为平面ABE 所以，又，，平面，，所以平面PQK， 又平面，所以且， 在中，，因为，又，所以， 所以在中，； （3）显然，MECD为棱长为的正四面体，作面BME，设内切球球心为， 建立如图所示的坐标系，且，则，.    设内切球半径为，由等体积法知，，所以， 所以内切球的方程为， 由阿氏球知，空间中必存在一定点，使球上的点满足， 即， 则， 由球的方程， 所以，解得， 所以，所以， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意建立空间直角坐标系，用空间向量解决立体几何中的求空间角问题，求最值问题. 题型3：定值问题 5．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【解析】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 6．如图，在正方体中，，. (1)当取得最小值时，求与的值. (2)设与平面所成的角为. ①若，求的值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，定值为2 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，得到点的坐标以及向量的坐标，即可求出两个向量夹角的余弦值； （2）①根据直线与平面夹角的正弦值就是该直线方向向量与该平面法向量夹角的余弦值可得到结果；②根据①得到的值，化简即可得到结果. 【解析】（1）解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ∴，， 即， ∴， 当时，取得最小值， 此时， ∵， ∴； （2）①解：， 设平面的法向量为， 则即， 令，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②证明：由①知， 则，， ∴， ∴存在常数，使得为定值， 且该定值为2. 题型4：角度最值问题 7．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．    (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，为上的点，当平面时，求的值； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值； （2）取中点，取中点，连接，证明平面，得为重心即可； （3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可. 【解析】（1）解：取的中点，连接，    因为，则， 当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值， 此时平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为； （2）   取中点，取中点，连接， 则，，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面， 则平面， 又为的中线， 则为重心，则 （3）连接，过作于点，， 所以，， 平面，平面，则平面， 则，，平面，平面， 则平面， 所以为的平面角，即， 则， 过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则,0,，,1,，,2,，,2,，， 设平面的法向量为，又， 则，令，则， 设平面的法向量为,,，又因为， 则，令，可得：， 设两平面夹角为， 则 ， 令，所以， 所以，当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 8．如图，球的半径为．为球面上三点，我们把过球心的平面截球面所得的圆称为大圆，和是大圆上的劣弧，它们围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角分别为，则球面三角形的面积为. (1)若二面角均为，求球面三角形的面积； (2)已知平面三角形为直角三角形，，设.则： ①求证：； ②延长与球交于点，若直线与平面所成的角分别为，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据题目中的公式，结合已知条件，可得答案； （2）①根据余弦定理以及勾股定理，利用等量代换整理等式，可得答案； ②根据线面垂直可得线线垂直，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面夹角的向量公式，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，所以球面的面积为. （2）①由余弦定理可得：，，， 由题意可得，在中，， ； ②由是球的直径得， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 不妨设，则， 由可以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 则， 由，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为； 要使取最小值，则取得最大值， 因为 ， 令，，则， 可得， 当且仅当取等号. 则取最大值，为最小值. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值是解决最值问题的重要方法之一，本题在求解的最值时，利用换元法令，，将函数表达式中包含变量的部分整理为，从而可利用基本不等式工具求出的最值，进而可求出答案. 题型5：空间向量的运算 9．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 【答案】(1)4，3 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由向量的坐标，利用新定义求和的值； （2）由向量的坐标，表示出，利用分段函数的单调性求最小值及此时的值； （3）由新定义，有，，所以. 【解析】（1），故， ，故； （2），于是 ， 由一次函数单调性可知，当时，. （3）， 因为， 所以，， 所以，，， 所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 10．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据混合积的定义与性质结合空间向量叉积的运算法则计算即可； （2）设与都垂直的向量，利用空间向量数量积的坐标表示计算，利用点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量的线性运算及（2）的结论，结合空间向量共线的充要条件计算即可. 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 【点睛】思路点睛：第二问，异面直线的距离可转化为点到面的距离，求出法向量计算即可；第三问，利用空间向量的线性运算结合向量共线计算即可. 题型6：空间向量的代数、几何应用综合 11．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线l以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii）. 【分析】（1）求出直线的一个方向向量以及平面的一个法向量，利用空间向量法可求得结果； （2）求出平面的一个法向量，以及该平面内一点的坐标，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图象，得到其二面角为钝角. 【解析】（1）因为已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为， 则直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 所以，， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （2）由题意可知，平面的一个法向量为， 在平面内取一点，则， 所以，点到平面的距离为. （3）（i）建立空间直角坐标系，分别画平面， 然后得到几何体为 几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为； （ii）由（i）可知的图象是一个完全对称的图像， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得， 画出第一卦限图象， 显然其二面角为钝角，计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 12．一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）存在，和； （ii）. 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）（i）由结合向量的运算可得，且在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析哪个满足“h向量”的定义. （ii）由（i）可知过球心，且面积为定值，所以当平面时，四面体体积取得最大值. 【解析】（1）由题意得，，， 又因为是向量组的“h向量”， 所以，即 ，解得或， 故的取值范围为. （2）（i）由题意得，因为四面体内接于球O，所以， 因为，所以， 两边同时平方得， 因为，，， 所以可得，即，，且在同一平面内. 如图所示， 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 代入得， 于是可得， ， ， 所以由“h向量”的定义，，都是“h向量”. （ii）由（i）得，，且在同一平面内， 所以在过球心的截面上， 又，， 两边平方可得，，即，， 同理，两边平方可得， 即，， 于是 =++=. 所以当平面时，四面体体积取得最大值， 此时. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 13．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； (2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【解析】（1）由题可知， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 直线与平面所角为， 则， （2）易知：集合表示的几何体是关于平面xoy，yoz，zox对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图 其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以， 集合Q所表示的几何图形也关于平面xoy，yoz，zox对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 且平面与平面所成的角为钝角，设为，则， 【点睛】关键点点睛：解决该题的关键是：（1）根据空间想象，结合学过的知识，弄清楚三个集合表示的几何图形的形状.（2）根据题设给出的结论，由平面的方程可直接得到平面的法向量.利用法向量求平面所成的角. 题型7：新定义题综合 14．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【答案】(1)2 (2) (3)10 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值； 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解； （3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【解析】（1）因为底面为矩形，所以， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； （2）法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， ， 令，得， ， 设平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为. （3）依题意，又， 所以，又，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 15．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用.柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当（，2，…，）或存在一个数，使得（，2，…，）时，等号成立.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.    (1)求点到平面的距离； (2)若，平面平面，，分别为，上的动点，且，. ①用，来表示线段MN的长度； ②当线段MN的长度最小时，求平面AMN与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）设点到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解即可； （2）取的中点，连接CD，可得，再根据平面平面可得平面，进而得到，可得平面，，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解①即可；结合题设可得，进而得到，，再利用空间向量求解②即可. 【解析】（1）设点到平面的距离为， 由已知可得：， ，即点到平面的距离为. （2）取的中点，连接CD， ，， 又平面平面且交线为，平面， 平面，平面，， 又且平面，平面， 平面，， 可建立如图所示的空间直角坐标系， ①由（1）可知，，， 在中，， ，，， ，，， 同理可得， ； ②令 ， 当且仅当，即时取等号， 当线段MN的长度最小时，，， 设平面AMN的一个法向量为， ，令，则，， 同理可得平面的一个法向量为， 设平面AMN与的夹角为， ， 平面AMN与平面夹角的余弦值为.    【点睛】关键点点睛：本题第（2）问关键在于证明，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量及题设进行求解. 16．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. (1)计算的大小； (2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）曲线是椭圆，；（ii） 【分析】（1）先证明平面，得，利用勾股定理和余弦定理，结合题设条件，依次求得的三边，再利用余弦定理求出即得； （2）（i）依题建系，利用（1）已得，借助于向量的夹角公式建立方程，化简即得对应的方程；（ii）将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到椭圆方程为，直线的方程为.设点，由引理，可得，利用辅助角公式和正弦型函数的值域即可求得. 【解析】（1） 在中，平分，， 则，设，则， 由勾股定理，，解得，即，则， 在中，，， 在中，由余弦定理，，即， 又因二面角为直二面角，且平面平面，，故有平面， 因平面，故，则， 在中，由余弦定理，， 因，故得； （2）（i）曲线是椭圆. 由（1）已得，如图1，不妨取的中点为，以为轴， 为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系. 则点，， 设，，， 由（1）可知， 从而， 化简可得：，即为的方程. （ii）将立体几何平面化，只需研究平面上的几何关系. 不妨将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到图2， 在新坐标系下椭圆方程为，直线的方程为， 引理：点与直线上一动点的最小曼哈顿距离为. 证明：如图3，当，即时， 由于， 当点在点处取得等号成立，即， 同理可以得出时的最小曼哈顿距离，综上得证. 设点. 由引理可知： ， 其中， 则当时，， 故的最小值为. 17．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点. (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，即可证明平面平面，即二面角的大小为，求出，再由所给三面角余弦定理计算可得； （2）依题意可得，设平面内任一条直线为，分过点与不过点两种情况，当过点，记与的夹角为（），则，结合余弦函数的性质即可得证； （3）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合平面的条件即可求得的值，则P点位置可确定. 【解析】（1）连接，由已知得平面，， 又平面，所以平面平面， 所以二面角的大小为，因为四边形为菱形，， 所以，又，所以， 在中，， 由三面角余弦定理可得 . （2）依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 综上可得. （3）以O为坐标原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，，， 则=，设，即 则 设为平面的法向量， ，， 则，不妨设，可得， 要使平面 则，则， 即存在点P，在线段的延长线上， 【点睛】关键点点睛：利用空间向量法表示线面平行关系. 18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算由斜坐标定义可得结果； （2）根据数量积运算规律计算即可得答案； （3）利用空间距离的向量求法，再由锥体体积公式计算可得结果. 【解析】（1）易知 ; 又， ， 因此 （2）易知， 设面法向量为 有，即，令，可得 所以； （3） ， ； 设点到面的距离为，则， ， 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“空间斜坐标系”，再结合已有向量知识即可实现问题求解. 19．定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． (1)若到平面的距离均为1，求； (2)若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式：） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由三棱锥的体积公式结合图形和题意计算即可； （2）（i）由是的重心，得到，再由余弦定理和基本不等式得到，然后由是的重心知，进而得到，最后结合题意求出结果即可；（ii）由（i）知，结合题意可得；再假设对任意及均成立，可得，二者互相矛盾，可得证. 【解析】（1）如图，在中，． 因为，所以， 所以在中，， 所以在中，， 所以，所以的面积为， 所以，所以． （2）（i）因为是的重心，所以的面积为， 在中，由余弦定理得，， 即，由基本不等式知， ，所以， 故 ，等号当且仅当时成立， 又由是的重心知，， 所以， 所以，所以， 所以，等号当且仅当， 且平面时成立，所以的最大值为． （ii）由（i）知，，所以对任意， 均有，故，记， 则， 所以， 由于任意均有， 所以，所以． 假设对任意及均成立． 则对于，均有， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，即不可能对任意及均成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是能根据题意证明和矛盾. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$