第三章 空间向量及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第三章 空间向量及其应用（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知向量平行于向量 ，则 2．已知向量 则与的夹角为 3．已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 . 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 5．在空间直角坐标系中，点，间的距离为3，则实数的值是 . 6．已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 7．已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    8．如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 9．如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 10．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 11．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为 . 12．空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 15．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 16．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分） 17．在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 19．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 20．如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，、为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦的上的点. (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 21．如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量及其应用（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【解析】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 2．已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【解析】由题设，又， 所以. 故答案为： 3．已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 . 【答案】 【分析】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，由计算即可得. 【解析】求一个点关于平面的对称点坐标， 就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变， 故点关于平面的对称点坐标为. 故答案为：. 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【解析】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 5．在空间直角坐标系中，点，间的距离为3，则实数的值是 . 【答案】或 【分析】利用空间中两点间距离公式即可解得. 【解析】在空间直角坐标系中，点，间的距离为3，结合距离公式可得： ，解得或. 故答案为：或. 6．已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【解析】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 7．已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【解析】由题意，故，，， 故， 故答案为： 8．如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式求出答案. 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 故， 故点到平面距离为. 故答案为： 9．如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可. 【解析】 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 同理可得平面的法向量为， ∴，二面角的大小为. 故答案为：. 10．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【解析】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为 . 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的角是，即可求得答案. 【解析】由题意知在四棱锥 中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则， 设直线与平面所成的角为， 直线与平面所成的角是，则， 故， 即，解得（负值舍去）， 故的长为2， 故答案为：2 12．空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，作图，结合空间向量运算的几何性质，可得答案. 【解析】由题意，在四棱锥中，平面于， 在底面内，于，连接，，如下图所示：    设空间向量，，，由题意可知：，，， 由四点共面，根据平面向量基本定理，则存在，使得， 所以， 由平面，且平面，所以， 在中，， 在中，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，在中， 易知在四棱锥中，一定存在，则， 当时，，此时； 当平面时，取得最大值，即. 综上所述，. 故答案为：. 二、单选题 13．如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解析】由题意可得： . 故选：A. 14．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【解析】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 15．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【解析】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 16．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD. 【解析】取的中点，连接， ∵在菱形中，，， ∴，又， ∴，所以， 又易知， 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故A正确； 以为原点，分别为轴建立坐标系， 则， 当，时，，， ，， 所以点D到直线PQ的距离为，故C错误； 设，设，可得， ， 当时，，故B正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ，，，， 设PQ与AD所成的角为， 则， 所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确； 故选：C. 三、解答题 17．在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【分析】（1）利用平面几何知识结合基本事实4可证，判断四点共面. （2）以为基底，表示出，结合空间向量的数量积求向量的模. 【解析】（1）因为，所以， 又因为H，G分别是AD、CD的中点，所以， 所以，故E、F、G、H四点共面. （2）以为基底，则，, 所以，. 又. 所以. 所以. 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，故⊥，结合，得到⊥平面，从而面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，结合二面角的大小为锐角，得到二面角的大小. 【解析】（1）连接，因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形， 又为的中点，故⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由（1）知，⊥平面， 取的中点，则，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 由图形可看出二面角的大小为锐角， 故二面角的大小为. 19．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点为靠近的三等分点处，使得. 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. （2）因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. （3）设，，，， 因为，所以，解得. 即. 因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得. 20．如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，、为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦的上的点. (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 【答案】(1)，； (2) (3)存在点，使得平面与平面垂直，的长为. 【分析】（1）根据圆锥的体积公式，轴截面的面积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可求解； （3）由共线关系设，表示出平面和平面的法向量，由平面垂直得法向量垂直，即数量积等于零，求解的值即可. 【解析】（1）由轴截面的面积为6得，即， 由圆锥体积为得，即， 联立，解得，， 所以圆锥的底面半径和高. （2）由题意知平面，平面，平面， 所以，，又， 所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系； 所以，，，， 因为点是的中点，点是的中点，所以，； 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角为. （3）存在点，使得平面与平面垂直. 由（2）可知，， 设平面的法向量， 所以，即，取，则，，， 因为点是底面圆的弦的上的点，当点与A重合时，平面与平面不垂直，所以设，， 则，所以点， 所以，又， 设平面的法向量， 所以，即，取，则，，， 若平面与平面垂直，则，即，解得； 所以，又， 所以， 故存在点，使得平面与平面垂直，的长为. 21．如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可得到结果； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系，求二面角余弦，进而求出正弦值，计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【解析】（1）因为，， 所以，即，，，，平面， 平面，平面，所以. （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，， 平面，平面， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，    设平面法向量为， ，，，， 设平面法向量为 ，令，得，，所以， 设二面角为， ， ， ； （3）分别以反方向和方向分别为，轴，过C做的垂线为轴，    设，，，，，显然， ，， ，得出，则，则， 根据翻折后勾股定理得， 化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：本题第三问先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用对勾函数的单调性得出范围即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$