5.1 函数的概念和图象（第1课时 函数的概念）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第五章 函数的概念与性质 第一课时　函数的概念 5.1　函数的概念和图象 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 4．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 5．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落,物体下落的距离s(单位:m)与所用时间t(单位:s)的平方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s= gt2,其中g取9.8 m/s2. 时间t和物体下落的距离s有何限制?时间t(0≤t≤3)确定后,下落的距离s确定吗?下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗? 情景导入 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979~2014 年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗? 表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 新知探究 2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y (单位：m) 与下落时间 x (单位：s) 之间近似地满足关系式 y＝4.9x2. 若一物体下落 2s，你能求出它下落的距离吗? 3. 图 5-1-1为某市一天 24 小时内的气温变化图. (1) 上午 6 时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? (2) 在什么时刻，气温为 0℃? (3) 在什么时段内，气温在 0℃以上? 在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定. 根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数. 这就是它们的共同特点. ● 如何用集合语言来阐述上述 3 个问题的共同特点? 第二，每个问题均存在某种对应关系，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素 y 与之对应. 例如，在第一个问题中，若x (年份)取 1979，则 y (百万) 取 975. 这时，我们说“1979 对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为 1979 → 975. 第一，每个问题均涉及两个非空数集 A，B. 例如，在第一个问题中，一个集合 A 由年份数组成，即 A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}； 另一个集合 B由人口数(百万) 组成，即 B＝{975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368}. 图 5-1-2 所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征. 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 一、函数 (1) 概念： ①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 唯一 概念归纳 ② 记法：y＝f(x)，x∈A. ③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域； 值域：所有输出值y组成的集合{y∣y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域. 考察本章引言中的问题(1)，对于每一个 x (x∈(0，＋∞))，都有唯一的实数 y＝π 与 x 对应. 因此，y＝π (x∈(0，＋∞)) 是x的函数. 由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数. 例如函数 y＝x2 (x∈(0，＋∞))与函数 s＝t2(t∈(0，＋∞)) 是同一个函数. 如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，那么这两个函数就是不同的函数. 例如本章引言问题(2)中函数y＝x2(x∈R)的定义域是R，函数 y＝x2( x∈(0，＋∞)) 的定义城是(0，＋∞)，它们是两个不同的函数. 给定函数时要指明函数的定义域. 对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. 例 1 判断下列对应是否为函数： 解：对于任意一个非零实数x ， 由x唯一确定，所以当 x≠0 时 x→ 是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝ (x≠0). (1) x→，x≠0，x∈R； 课本例题 (2) x → y，这里 y2＝x，x∈N，y∈R； 解： 考虑输入值为4，即当 x＝4 时输出值y由 y2＝4 给出，得 y＝2 和 y＝－2. 这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x → y (y2＝x，x∈N，y∈R) 不是函数. (3) 当x为有理数时，x → 1；当x为无理数时，x → 0 . 解 由题意知，对于任意的有理数 x，总有唯一的元素 1与之对应；对于任意的无理数 x，总有唯一的元素 0 与之对应.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为 1， x 为有理数 y ＝ 0， x为无理数 课本例题 例 2 求下列函数的定义域： (1) f(x) ＝； 解 ：当 x－1≥0，即 x≥1 时， 在实数范围内有意义；当 x－1＜0，即 x＜1时， 在实数范围内没有意义. 因此，这个函数的定义域是{x∣x≥1}. 课本例题 (2) g(x) ＝. 解：当 x＋1≠0，即 x≠ －1时，有意义； 当 x＋1＝0时，即 x＝－1时， 没有意义. 因此，这个函数的定义域是{x∣x≠－1 ，且x∈R}. 例 3 求下列函数的值域： (1) f(x) ＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}； 解 函数的定义域为{－1，0，1，2，3}. 因为 f(－1) ＝[(－1) －1]2＋1＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}. 课本例题 (2) f(x) ＝(x－1)2＋1. 解 函数的定义域为 R . 因为(x－1)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为{y∣y≥1}. 1 2 3 4 5 6 75 79 80 98 学 号 1 2 3 4 5 6 成 绩 80 75 79 80 98 80 1. 某班级学号为 1~6 的学生参加数学测试的成绩如下表所示，试将学号与成绩的对应关系用“箭头图”表示在下图中. 课本练习 2. 从甲地到乙地的火车票价为 80 元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半票或全票. 选购票种的规则如下表所示： 身高 h/m 购票款数/元 h≤1.2 0 1.2＜h≤1.5 40 h＞1.5 80 (1) 若儿童身高h为输入值，相应的购票钱款为输出值，则 1.0→________，1.3→_______，1.6→________； (2) 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 0→__________，40→______________. 课本练习 0 40 80 h≤1.2 1.2＜h≤1.5 3. 判断下列对应是否为从 A 到 B 的函数： (1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，对任意的 x∈A，x→2x； 解 x＝5∈A，2x＝10 ∉ B，故不是函数. 综上所述，结论是：对应 x→2x 不是从A到B的函数. 课本练习 (2) A＝ {1，2，3，4，5}，B＝{x∣x＜10，x∈N，对任意的 x∈A，x→2x＋1； 解：x＝1∈A → 2x＋1＝3∈B； x＝2∈A → 2x＋1＝5∈B； x＝3∈A → 2x＋1＝7∈B； x＝4∈A → 2x＋1＝9∈B；满足函数的定义. 综上所述，结论是：对应 x→ 2x＋1是从A到B的函数. (3) A＝B＝N*，对任意的 x∈A，x→x－1； 解 x＝1∈A，x－1＝0∉B，故不是函数. 综上所述，结论是：对应x→x－1不是从A到B的函数. 课本练习 (4) A为正实数集，B＝R，对任意的 x∈A，x→x 的算术平方根. 解 任一个正实数均对应唯一的算术平方根，且算术平方根在实数范围内， 即 ＞0，x∈A，则存在唯一实数∈R与之对应，满足函数的定义. 综上所述，结论是：对应 x → 是从A到B的函数. 4. 判断下列对应是否为函数： (1) x→－x，x∈R； (2) x→1，x∈R； (3) x→y，其中 y＝∣x∣，x∈R，y∈R； (4) t→s，其中s＝t，t∈R，s∈R； (5) x→y，其中y＝x，x∈ [0，＋∞)，y∈R； (6) x→y，其中y为不大于的最大整数，x∈R，y∈Z. 是 是 是 是 不是 是 课本练习 5. 已知函数f(x)＝x－x2，求f(0)，f(1)，f()，f(n＋1)－f(n). 解 ∵f(x) ＝ x－x2； ∴f(0) ＝ 0－02 ＝ 0； f(1) ＝ 1－12 ＝ 0； f() ＝ －()2 ＝ － ＝ ； f(n＋1) －f(n) ＝(n＋1)－(n＋1)2－(n－n2) ＝n＋1－n2－2n－1－n＋n2 ＝－2n 课本练习 6. 求下列函数的定义域： (1) f(x)＝ 1－3x； (2) f(x)＝ ； 解：R. 解 由 x2－1≠0，得 x≠±1， ∴函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1 }. (3) f(x) ＝ ＋ ； 2＋x＞0 解 由 得－2≤x≤1， 1－x≥0 ∴函数f(x)的定义域为[－2，1]. (4) f(x) ＝ ＋. x＋1≥0 解 由 得 x≥－1且 x≠0， x≠0 ∴函数f(x)的定义域为[－1，0) ∪(0，＋∞). 7. 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x2＋x，x∈{l，2，3}； 解 函数的定义域为{1，2，3}， ∵ f(1)＝12＋1＝2，f(2)＝6，f(3)＝12. ∴ 函数f(x)的值域为{2，6，12}. 课本练习 (2) f(x)＝(x－1)2－1； 解 函数的定义域为R， ∵ (x－1)2－1＞－1， ∴函数f(x)的值域为[－1，＋∞). (3) f(x)＝x＋1，x∈(1，2]. 解 ∵ x∈(1，2]， ∴ x＋l∈(2，3]， ∴函数f(x)的值域为(2，3]. 错因分析 易错点1　不能正确理解函数的定义而致错 (1)(4) 解析 易错点2　忽略函数的定义域、值域的形式而致错 (－∞，0)∪(0，1] 解析 易错点3　忽略函数的定义域而致错 解析 A 易错点4　混淆自变量的判定而致错 解析 B C 一、选择题 1.下列函数中定义域为R的是(　　) 解析　A中x≥0，B中x≠1，D中x≠0.故选C. 分层练习-基础 2.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　) A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0} D 解析　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02∉B，故选D. 29 3.图中给出的四个对应关系，其中能构成函数的是(　　) A.①② B.①④ C.①②④ D.③④ B 解析　根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B. B 4.下列选项中能表示同一个函数的是(　　) 解析　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数； 对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数； 对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数. AD 5.(多选题)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　) A.A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 解析　A中，可构成函数关系； B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系； D中，可构成函数关系. 二、填空题 7.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是________. 解析　y＝x2时，M中的4在N中无元素与它对应； y＝x＋1时，M中的－1，2，4在N中也无元素对应； y＝x－1时，M中的－1，1，4在N中也无元素对应； 只有y＝|x|是符合题意的对应关系. ④ －2 又因为g(3)＝32－2＝7， 三、解答题 9.求下列函数的定义域： (2)由于0的零次幂无意义， 故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以x>－2且x≠－1. (－2，－1)∪(－1，＋∞). 所以这个函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞). (3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义. C 11.已知函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，则函数f(x)的定义域为(　　) 解析　由函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，得x∈[－1，3]， ∴x2∈[0，9]，∴x2－2∈[－2，7]. 即f(x)的定义域为[－2，7]. 分层练习-巩固 39 13.求下列函数的值域： 即所求函数的值域为[1，＋∞). 所以所求函数的值域为(－1，1]. 当x∈[1，2)时，f(x)＝1， C 当x∈[0，1)时，f(x)＝0， 分层练习-拓展 当x∈[2，3)时，f(x)＝2， 该函数的值域为{－1，1，2，3，4}，故选C. 1.明确4个概念 (1)函数的定义域；(2)函数的值域；(3)函数的定义；(4)同一个函数. 2.注意2个易错点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数. (2)函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象. 课堂小结 例1．[河北武安一中2022高一期末]有对应法则f： (1)A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→eq \f(x,2)； (2)A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2； (3)A＝R，B＝{y|y＞0}，x→eq \f(1,x2)； (4)A＝R，B＝R，x→2x＋1； (5)A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y. 其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)． (1)由函数的定义知，正确； (2)当x＝0时，B中不存在数值与之对应，错误； (3)当x＝0时，B中不存在数值与之对应，错误； (4)由函数的定义知，正确； (5)因为集合A不是数集，错误． 例2．函数y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定义域为 ． 由题可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1，且x≠0. 例3．函数f(x)＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－1，3] B．[－1，0] C．[0，3] D．[－1，2] 因为f(x)＝x2－2x，图象的对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，f(x)取最小值－1. 当x＝－1时，f(－1)＝3，当x＝2时，f(2)＝0， 因此函数f(x)＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域为[－1，3]，故选A. 例4．已知f(x2－1)的定义域为[1，3]，则f(2x－1)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) 由f(x2－1)的定义域为[1，3]，得x∈[1，3]，所以x2∈[1，9]， 所以x2－1∈[0，8]，f(x)的定义域为[0，8]． 令2x－1∈[0，8]，得2x∈[1，9]，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2)))， 所以f(2x－1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))).故选B. A.y＝ B.y＝(x－1)0 C.y＝x2＋3 D.y＝ A.y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1) B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2 即x≤且x≠0. 解析　要使f(x)有意义，只需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，)) 6.函数f(x)＝eq \f(\r(1－3x),x)的定义域为__________________. 解析　f(3)＝＝－2； ∴f(g(3))＝f(7)＝＝－. 8.已知f(x)＝eq \f(1－x,x－2)(x∈R且x≠2)，g(x)＝x2－2，则f(3)＝________，f(g(3))＝________. － 所以函数y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,7))). 所以函数y＝的定义域为 (3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x≠0))解得－2≤x<0或0<x≤2， 所以函数y＝＋的定义域为[－2，0)∪(0，2]. (1)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)；(2)y＝eq \f(（x＋1）0,\r(x＋2))；(3)y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x). 解　(1)由得0≤x≤， 使分式eq \f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}， 解　使根式eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}， 10.已知函数f(x)＝＋. (1)求函数的定义域； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3). f(a)＝＋； f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,（a－1）＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1). 解　(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1； (2)求f(－3)，f的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值. A.[0，1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) C.[－2，7] D.(－∞，3) 解析　令－3＝m，则x＝2(3＋m)， ∴3×2(3＋m)－2＝7，∴m＝－. 12.已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－3))＝3x－2且f(m)＝7，则m＝________. － ②因为y＝＝－1＋， 又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0<eq \f(2,1＋x2)≤2，则y∈(－1，1]. 解　①因为eq \r(2x＋1)≥0，所以eq \r(2x＋1)＋1≥1， ①y＝＋1；②y＝. 解析　当x∈时，f(x)＝－1， A.y＝x，x∈{－1，0，1，2，3} B.y＝2x，x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2))) C.y＝eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4))) D.y＝x2－1，x∈{0，1，eq \r(2)，eq \r(3)，2} 14.函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(7,2)时，下列函数中，其值域与f(x)的值域不相同的函数为(　　) 对于C选项，y＝eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)))， 所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(7,2)))时，f(x)的值域为{－1，0，1，2，3}. 当x∈时，f(x)＝3， $$