北京市东城区多校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中测试卷 八年级数学答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13. 和或和，或和，或和  14. 或  15.   16.   17. 解： ．   18. 原式，   19. 解：， 同号，且， ， ， ， ， ； 当时，原式；当时，原式．   20. 解：令，则， 解得：． ． 令，则． ． 经过和画直线，如图， 则直线为一次函数的图象． 当时，， 当时，， ， 函数中随的增大而减小． 的取值范围为：．  21. 证明：，， ， ． 又， ， ， ． ．   22. 解：                ； 且，     ，      当时，．   23. 证明：，， ， 平分交于点， ， ， ，  24. 解：设种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是， 点，在此函数图象上， ， 解得， 即种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是； 设种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是， 点在此函数图象上， ，得， 即种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是； 令， 解得， 答：当值为时两种方案收费相等； 由中的结果和图象可得， 当时，选择种方案； 当时，两种方案一样； 当时，选择种方案．  25. 解：由图可知，， 故答案为：； ， ， ， ， ．   26. 解：如图，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在与中， ≌， ； 故答案为：； 证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形． 同理，也是等边三角形． ， ，． 又， ， 在与中， ≌， ， ； 如图，在上截取，连接， 由知，，， ； ， 如图，在上截取，连接， 由知，，， ； ， 故AE或．      27.   28. 解：；   ； 若． 说明直线：与有公共点，因此有两种情况，即：或，仅有一个公共点时如图所示，即直线过点，或过点， 此时可求出或，根据直线与有公共点， 或， 即若时，的取值范围为或． 函数的图象与轴、轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数的图象与平行， 当时，如图所示： 在中，， 则，，；即：； 同理：，，即：， 若，即的值在、之间 即若，的取值范围为．  【解析】 1. 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形据此进行解答即可． 【详解】解：不是轴对称图形，故选项符合题意； B.是轴对称图形，故选项不符合题意； C.是轴对称图形，故选项不符合题意； D.是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选： 2. 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】、，不能组成三角形，故 A选项错误； B、，不能组成三角形，故 B选项错误； C、，能组成三角形，故 C选项正确； D、，不能组成三角形，故 D选项错误； 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 3. 【分析】 本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，关键是熟记合并同类项法则，积的乘方性质，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则． 根据合并同类项法则，积的乘方性质，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则进行判断便可． 【解答】 解：不是同类项不能合并，选项不符合题意； B.原式，选项不符合题意； C.原式，选项符合题意； D.原式，选项不符合题意． 故选C． 4. 解：连接交于，如图所示： 点的坐标是，点的纵坐标是， ，， 四边形是菱形， ，，， 点的坐标是； 故选：． 根据菱形的性质求出，，即可得出点的坐标． 本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 5. 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 点关于直线的对称点是点， ， ， ， 故选：． 6. 【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【详解】、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误； D、正确，符合判定方法， 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有，，，等，应该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足，是不能判定两三角形是全等的． 7. 【分析】 本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键．根据原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，三边分别对应相等即可判定两三角形全等． 【解答】在和中   所以≌ 故选A． 8. 解：由图可得， 水桶的底面积不变， 则， 即时关于的正比例函数， 故选：． 根据题意和图形，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． 9. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、，， 能组成三角形， 周长， 是底边时，三角形的三边分别为、、，因为， 所以不能组成三角形， 故答案为： 10. 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，明白“公式”是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 11. 解：， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ． 故答案为：． 根据矩形性质得出，，求出，得出是等边三角形，求出，得出即可． 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 13. 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键．根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】 解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底，等高， ，图中能确定面积相等但不全等的三角形共有对，即和，和，和，和， 故答案为：和或和，或和，或和 14. 【分析】根据平行于的直线上的点横坐标相同，然后分情况讨论即可． 【详解】解：，轴， 点的横坐标为， ， 点的纵坐标为或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，熟知平行于的直线上的点横坐标相同是解本题的关键． 15. 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 16. 解：在上存在无数组，，使得四边形是平行四边形，故该说法正确； 在上存在无数组，，使得四边形是矩形，故该说法正确； 在上存在无数组，，使得四边形是菱形，故该说法正确； 当时，存在、、，使得四边形是正方形， 故答案为． 由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定依次判断可求解． 本题考查了正方形的性质判定，矩形的判定，菱形的判定和平行四边形的判定，掌握这些判定方法是本题的关键． 17. 本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法、积的乘方及合并同类项法则是解题关键． 根据同底数幂乘法及积的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得答案． 18. 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算法则是解题的关键．先计算乘方，再计算乘法，然后合并同类项，即可求解． 19. 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 20. 分别令，等于，求出对应的，的值即可得出结论； 过，两点画直线，即为函数的图象； 求出当或时的函数值，结合图象即可得出结论． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点，分别令，等于，求出对应的，的值是解题的关键． 21. 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定条件以及三角形的内角和定理，本题即可求解． 22. 【分析】本题考查分式的加减运算，分式求值，掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． 根据异分母分式的加减法则，进行计算即可； 根据，求出的值，再代入分式求值即可． 23. 利用等腰三角形的判定及性质即可求证结论． 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 24. 根据函数图象中的数据，可以分别求得两种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式； 令中的两个函数值相等，即可求出当值为多少时两种方案收费相等； 根据中的结果和函数图象，可以写出当何值时，选择哪种收费方案更合算． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 25. 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的结合，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 由图形面积的两种不同计算方法得出完全平方公式即可； 根据完全平方公式计算出的值，再进行求解即可． 26. 【分析】如图，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过≌，得到，根据线段的和差即可得到结论； 如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题． 27. 解：如图中， 是等边三角形，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：； 结论：． 理由：如图中，过点作交于点． ， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， ≌， ； 结论：． 理由：如图中，过点作交的延长线于点． ， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， ≌， ． 证明，可得结论； 结论：如图中，过点作交于点证明≌，可得结论； 结论：证明方法类似． 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 28. 【分析】 此题考查了新定义，一次函数与轴，轴的交点，等腰直角三角形，理解新定义的意义，将新定义的问题转化为数学问题是解决问题的关键，用特殊情况下计算结果，依据函数的性质进而推算出结果，是常用的方法，同时注意分类讨论的数学思想方法． 根据新定义，转化为实际是求点到点的距离，当时，求实际是求两条平行线之间的距离，通过作垂线，转化为直角三角形用勾股定理求得； 若就是求直线与三角形有公共点，可以先考虑仅有一个公共点时的值，然后根据一次函数的性质，求得的取值范围； 函数的图象记为，若就是求到三角形的距离小于或等于，可以先求距离为时的的值，然后根据一次函数的性质，求得的取值范围． 【解答】 解：一次函数的图象与轴交点， 点，表示点到的最小距离，就是点到点的距离，即：， 点，． 当时，直线，此时直线与所在的直线平行，且和均是等腰直角三角形， 表示直线到的最小距离，就是图中的， 在等腰直角三角形中，，． ． 见答案． 第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024—2025学年度第一学期期中测试卷 八年级数学 一，批标通《本大原共8小原。每小亚2分，共16分】 1,中因古肉超规中有着率雪多影的装，发群，以下四个饮样中。不是轨时移辰影的是(】 D A每 丑.ASA C SAS DAAS 2.下列韩组数分别表示三型木根的长，精它们雀尾性撞后，量至成三角形的一组是) &是饮水机的图片。打开出水口，饮水相中水面由图()的管黑下序到图3的敏黑的过程中。如果水藏少的辣 A.1,2.3 B.1.24 C.2,3.4 D2,2,4 积是y,术面下释的高夜是：那么第够表y与之间南登关系的图象可隆卧】 3.下诺馨正确的K) A074amas B.(abyebz C3,m3■ D.(-ay▣ 4菱想OACB在平面吉角坠标系中的位置图所票，点G的坐标是(4)，点A的烟 坐标是1，侧点8的坐标以》 A.(21) B2-10 C1.-2) D.120 5如图，在·ABC中，LAC=90,AD⊥BC于D.高B关于宜线AD的时序点是当，若B=50,则上6C骑度 二，填空星〔本大数典8小感。每小里2分，共1s分) 数为机) 9君醇腰三角形的丙达酸分别为2和5脚这个等银三角形的国长为一 10.君10°=盈，10=b,测10*岁= 1L如图。△AG中，AB■AG,D是A是长线上一直，且2DAC=100r,则C= A.8 盘1好 C20 D 长下列装法正而岭() A州战相停的两个三角形全幕 置积相等的两个三角形全等 C三个角测空相幕的丙个三角愚全等 D.三条德应用等的两个三角悉全等 12如图.矩形A6CD的两条对角线用交于点0。已知2A00▣120r。AB=25地表形 ?,如留是一个平分是的食题，其中Am=D,C=DC将点A散在一个角的夏点，A和MD沿着这个角的丙过截 对角线D的长为用， 下。利用全等三角形的整质就第说明时悦AC是这个角们平分域这里州定AABC和AAG是全等二角形的表据是 算1气，并4面 3.如图.AP1D,重是为E。AF交C于点F,态接DF请写出一对面机相尊图不坐等的三角形一 段（本想8分的 计第x层+m 1L已知点材（一之1，NN/仍结.若MM=3,别点N的坐标是 线如图.在肝△ABC中，2C=90,AD平分LBC,交C于点D.BDA=D8若CD=3,剩6C-一 2益（本个小型9分） 16知图.在矩甩ACD中，AR=6C=8.如是E、F分别是AD,C上的点。EP经 己经一次汤数y=一2红+4一次函数而豪与红轴文于点A,y植文于直尽， 过AC中点0，G。是划角优AC上的点.下判向面更瑞的有（填序号） (1)直接写出点A、的坐标： ①在AC上存在无数组G、H,使得四边玉EGFH是平抒国边思： 2)在平面直角空标系x0y中。都出函数图象： ⑦在AC上存在无章州G,。使得四达形E6F是矩无 3闭)当一1≤发<3时，接写出的取蓝范图. )在AC上存在无数组G,M,使用回选形ECFH是烫： ⊙当AG-封。存在B,FN.使羽图志EGPH是正方意 三、解答题（本大是共12小题。共牌分） 1?,(木小题6分) 计算：3知236-(-2ab)+(-32b 8.(本小且8分) 计原，.-（-3a驴 退2具：共4要 2山，（本小图分1 3(体小恩5分) 如图.·ABC中，A5C=45,5上C于R,于卤D,图与D相交于F求证F=AC, 知图，在AABC中，A后-AC,2=36,D平分2ABC交ACT点D求正A0=BD. 24.体小题6分) 某通讯会推出①②两种收变方式供用户选释，其中一种有月粗宽，另一种没有月国费，且两种收雪方式的通话 间分的与收费y(元)的我烈知组新示： 2拉（本小感分） )分制求出①②两种方案的收式元司与通话时间（分钟）之（铃网数关系式 已如A-器-斗8=+江+1 (阅)当红值为多少时两种方姿收喷等. )选择哪附收章方案更合算？ (1)化得4： (团当B=G时，求A的值 2痛3商o立分 第1天，兵4夏 2区.〔木小图阳分) 27(木小里7分) 如周1有三种低片，A种乐片是边长为的正方悉，丛展片是造长为b的正方耶，C种低片是长站，宽为阳们长方 △ABC是等放三角形，点D是直线AC上一动点，点E在BC的媒长线上，HCE一AD,毫接DB.。D馆， 形，去师用A粉压片一盔，B种恒片张。C种准片两张屏应知图2的大至方题， 图 图2 图1 2 备用留 )现察国2的商积类系。写出一个数学公式一 (1)如图1，着点D是线段AC的中点，测LDE= (团根指数学公式，解决年思己如+=7,24上=29.求(a-产的回. (2团当点D在线风AC上刊，发国意补全盈2，用等式豪元DN与D的数管关系。井正明： ()当友D在线凤AG的签长线上时，请点较用？式表示DB与D8豹数量关黑 26(本个雪8给) 在△DEF中，DE-DF,点后在EF速上，且LEBD=6,C是财性BD上的一个动点（不与内因意合，且C华）， 在时慢BE上慧取BA=C,盖接AC. (1)当点C在授段8D上时， ⊙着点C与点D夏合：请根据遂意补全图1，井直核写出线风AE与BF的数量关系为3 4(木小超7分) 园如图2，着C不与点D合，请证明AE一BF+CD 对干平面直角坐标系y中的阁形耐，M,恰出知下定义，P为爵无时上任意一点，Q为图思W上任意一点，如果P, (Z)当点C在控段BD的算轮线上时，用等式表示线风AE。BF,CD之间的数量关系（直接写出铺果，不魔要证D Q偶点饲的阅肉有最小檀。那么释这个最个值为图形N:间的“题葛·，纪作或风)转些，当医形财，W有公 其点时，记作M,奶=0. 一次腾数y=k红+2的图象为梨。L与y轴交点为即.AA6C中，A0),(-L)-G,仍 ()求或点0.△AO-1当k=1时.米(AA6O 2)若△A9=0直接写出k的取值面： (3)阁数y=x+的图象记为W,看W△A9间≤1。求由的取童蛋 图2 备用图 加4到。共4到