精品解析：广西壮族自治区南宁市第三十六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广西壮族自治区南宁市第三十六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 命题人：陶珺 审题人：周尔 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 6. 已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B. C. 2 D. 3 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线与直线平行 C. 直线在轴上的截距为2 D. 直线与直线垂直 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面直角坐标系中，点到直线的距离为______. 13. 圆与圆的位置关系为外切，则的值为______. 14. 已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件分别写出直线的一般式方程： （1）斜率是，且经过点； （2）与直线垂直，且在轴上的截距为. 16. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， （1）求角的大小； （2）若为BC中点，，求的面积的最大值 17. 星空儿童游乐场在父亲节设置一个亲子游戏：口袋内装有形状大小及质地完全相同，编号为1，2的两个白球和编号为a，b的两个红球，每位爸爸从中连续摸球两次，摸出一球后放回；每个宝宝不放回的逐一取出两个球.若爸爸和宝宝独立摸球，两人摸出的红球个数之和恰好为2，则获得亲子礼包.现场的爸爸甲和小朋友乙参加了游戏. （1）求事件A“甲摸出的两个球都是红球”的概率； （2）求事件B“乙取出的两个球都是红球”概率； （3）求甲乙这对父子获得亲子礼包的概率. 18. 已知双曲线的焦距为4，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 19. 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上. （1）若P为的中点，求证：平面. （2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区南宁市第三十六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 命题人：陶珺 审题人：周尔 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角. 故选：A 2. 已知双曲线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可. 【详解】由双曲线,可知该双曲线的离心率. 故选:C. 3. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 5. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确圆的圆心和半径，数形结合，求定点与圆上的点的距离的最大值. 【详解】根据题意，圆的方程为， 圆心到原点为距离， 则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为. 故选：D 6. 已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“相关动点法”求轨迹方程即可. 【详解】设点坐标为，点坐标为 由中点坐标公式得，即， 将代入 得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 7. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值. 【详解】如图所示: 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，， ∴，， 设，，则 在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成． 故选A． 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线与直线平行 C. 直线在轴上的截距为2 D. 直线与直线垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据截距的定义即可求解AC,根据平行和垂直满足的系数关系即可求解BD. 【详解】选项A．当时，，所以直线过点，故选项A正确. 选项B.直线，直线，故选项B正确. 选项C.直线过点，直线在轴上的截距为，故C不正确. 选项D.由，可得直线与垂直，故选项D正确. 故选：ABD 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D. 【详解】A:，，， 则不垂直，直线与不垂直，故A不正确； B:若，则， ∴存在实数，使得,无解，故B错误； C:，∴， 与共线，，故C正确； D:点，，， ，. 向量是平面的法向量，， 即，解得，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 必须熟练掌握的知识和技能： （1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直； （2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行； （3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面直角坐标系中，点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线，即， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 圆与圆的位置关系为外切，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据外切时圆心距等于半径之和求解出的值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径为， 两圆心之间的距离，且两圆外切， ，， 故答案为：. 14. 已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在). 【详解】因为，所以点P在圆外． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即． 由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2． 因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得， 故直线l的方程为． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件． 故直线l的方程为或． 故答案为：或. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件分别写出直线的一般式方程： （1）斜率是，且经过点； （2）与直线垂直，且在轴上的截距为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出所求直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）根据两直线垂直得出所求直线的斜率，可得出所求直线的斜截式方程，再化为一般式方程即可. 【小问1详解】 由点斜式，该直线的方程为，即， 故该直线的一般式方程为. 【小问2详解】 直线的斜率为，因为所求直线与它垂直，所以所求直线斜率为， 因此所求直线方程为，化为一般式方程可得， 故所求直线的一般式方程为. 16. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， （1）求角的大小； （2）若为BC中点，，求的面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，可化为：，结合余弦定理，可求出，从而得角A的值. （2）用向量表示，结合向量的数量积和基本（均值）不等式可求的最大值，利用三角形的面积公式可求的面积的最大值. 【小问1详解】 及，，所以. 由余弦定理得：. . 【小问2详解】 AD为中线，，， 两边平方，有， （当且仅当时取等号）， . 所以：. 17. 星空儿童游乐场在父亲节设置一个亲子游戏：口袋内装有形状大小及质地完全相同，编号为1，2的两个白球和编号为a，b的两个红球，每位爸爸从中连续摸球两次，摸出一球后放回；每个宝宝不放回的逐一取出两个球.若爸爸和宝宝独立摸球，两人摸出的红球个数之和恰好为2，则获得亲子礼包.现场的爸爸甲和小朋友乙参加了游戏. （1）求事件A“甲摸出的两个球都是红球”的概率； （2）求事件B“乙取出的两个球都是红球”概率； （3）求甲乙这对父子获得亲子礼包的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过列举，结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式即可求解； （3）设甲摸出i个红球为事件，乙摸出j个红球为事件结合互斥事件和事件的概率计算公式即可. 【小问1详解】 解：甲取球样本空间 共16个样本点， 乙取球样本空间共12个样本点，每个样本点出现等可能． 包含4个样本点， 【小问2详解】 包含2个样本点， 【小问3详解】 设甲摸出i个红球为事件，乙摸出j个红球为事件 则. 甲乙摸出红球个数之和等于2为事件：，且互斥， 与，相互独立 甲乙摸出红球个数之和等于2的概率 . 18. 已知双曲线的焦距为4，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） ，设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． 【小问2详解】 略 19. 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上. （1）若P为的中点，求证：平面. （2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）取的中点H，连接PH，HC. 在堑堵中，四边形为平行四边形， 所以且. 在中，P，H分别为，的中点， 所以且. 因为N为BC的中点，所以， 从而且， 所以四边形PHCN为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，，，. 易知平面ABC的一个法向量为. 假设满足条件的点P存在，令， 则，. 设平面PMN的一个法向量是， 则即 令，得，， 所以. 由题意得，解得，故点P不在线段上. 【解析】 【分析】（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法： 1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2) 2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量） 3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程） （1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0 （2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组. （3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值, 4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值. 5. 判断范围,注意正负取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $