精品解析：浙江省初中名校发展共同体期中联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比性质，可得答案. 【详解】解：， ， 代入； 故选：A． 3. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由点与圆的位置关系可知，的半径，进而可得出结果． 【详解】解：由点与圆的位置关系可知，的半径 故选D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4. 二次函数的图象如图所示，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数系数与图象的关系，由开口向下，可得，由抛物线与轴交于正半轴，可得，又由对称轴在轴右侧，即可得，异号，继而求得答案． 【详解】解：开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴在轴右侧， ，异号， 即， ， 点在第二象限． 故选：B． 5. 如图，内接于圆，过点B的直线与的延长线交于点D．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理．掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选D． 6. 已知点，，在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性质，掌握二次函数的图象与性质是关键．确定抛物线的对称轴为直线，确定点关于对称轴的对称点为，由二次函数的性质即可确定函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 故选：C． 7. 如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心． 根据题意得出点G是的重心，即可得出，，再根据三角形中线平分三角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明，才能得出，即，即需要证明，但题目不能证明，C选项不能证明． 【详解】解：∵，是的中线，点G是的中线的交点， ∴点G是的重心， ∴，，故B正确； ∵，是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故D错误； 选项A不能证明； C选项需证明，才能得出，即， 而这需要证明，但题目不能证明，故选项C不能证明； 故选：B． 8. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 综上可知：方法，都对， 故选：． 9. 已知直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C、D．若，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，主要涉及一元二次方程根与系数的关系，对化简计算要求比较高，注这一结论比较重要，可以适当记忆．联立直线与抛物线得，则，则，由，代入得，同理，建立方程，即可求解． 【详解】解：联立直线与抛物线得， ∴， 设点的坐标分别为， 则， ∴， ∴， 设点的坐标分别为， 联立直线与抛物线 ， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴ 解得：． 故选：A． 10. 如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，先证明，再证明，在中，解直角三角形得，，则，在中，由勾股定理得，则，显然，则，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，过点作于点，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，需要正确添加辅助线将转化． 二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 12. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式求解即可 【详解】弧长为： 故答案是：． 13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是____________． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：cm， 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键． 14. 若时，函数的最大值为17，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，当时，又因为时函数的最大值为，求解即可． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵时，函数的最大值为， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由旋转可得，，，，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵绕直角边中点旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式，图象和性质及分类讨论的方法是解题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域(包括边界)恰有4个整点的边界，易知抛物线的顶点坐标为，当时，过点， ， ，显然，“整点”，，符合题意，再将和代入即可，当时，过点， ，，，显然，“整点”，，符合题意，再将，代入即可得a的取值范围． 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是；  Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是；  故答案为：或 ． 三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 已知抛物线． （1）说出该抛物线的开口方向和对称轴； （2）设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离． 【答案】（1）开口方向向上，对称轴是y轴（或直线）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题． （1）根据二次函数性质即可得出答案； （2）令求出对应的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线解析式为中，， 该抛物线开口方向向上，对称轴为轴； 【小问2详解】 解：把代入，得：， 解得：，， ， 即：交点A，B之间的距离． 18. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 19. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． 【小问2详解】 解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 20. 已知：在中，， （1）利用直尺和圆规作的外接圆； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 如图即为所作． （2）6 【解析】 【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等，掌握作法及相关的定理是解题的关键． 21. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． （1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】（1）； （2）m． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 22. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： （1）请你证明小聪发现的结论； （2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” 【答案】（1） 证明：由吴老师与小聪的交流可知： 四边形是正方形， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，四边形是正方形，可得，再由，可证明； （2）由，可得，由勾股定理得，由正方形得：，由正方形得：，又由O是和的中点，可得，，再由，可得， 即：，求出，再求解可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 由正方形得：， 由正方形得：， 由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点， ，， 由（1）得：， ， 即：， ， ∴由中心对称性，得：． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质． 23. 已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． （1）若， ①求二次函数的表达式； ②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值； （2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②2； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用待定系数法解二次函数的解析式，则；②由得开口方向向上，且对称轴为直线，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，列式，进行计算，即可作答． （2）先整理，再得出，，，然后进行分类讨论，分别列式，再解出a的解集，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，当时，图象经过点， ①把，分别代入， 得， 解得：，， ． ②∵ ∴开口方向向上，且对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小， ， 解得：， ∴k的最大值为2． 【小问2详解】 解：把分别代入，得， ， ， ∵二次函数图象经过，，这三个点， 时，； ∴时，； ∴时，； 当时，则， ∴， ，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数， ， 即， 解得， 当时，则 即， ，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数， ， 即， 解得：， 综上所述，a的取值范围是：或． 24. 如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． （1）求证： ①； ②； （2）如图2，若是中点，求的值． 【答案】（1） ①证明：， ， ， ， 即：， ． ②证明：过点A作于H， ， ， 由（1）得：， ， ， ，即：， ， ， ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形综合，弧与弦的关系，垂径定理，相似三角形的性质与判定； （1）①根据平行线的性质可得，进而可得，，进而根据等弧对等弦即可得证； ②过点A作于H，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）证明，结合已知是中点，得出，结合（1）②恒等式得出，进而即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 ，， ， ，即：， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 二次函数的图象如图所示，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，内接于圆，过点B的直线与的延长线交于点D．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 8. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 9. 已知直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C、D．若，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 12. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长等于_________ 13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是____________． 14. 若时，函数的最大值为17，则______． 15. 如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为______． 16. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 已知抛物线． （1）说出该抛物线的开口方向和对称轴； （2）设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离． 18. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 19. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 20. 已知：在中，， （1）利用直尺和圆规作的外接圆； （2）若，求的半径． 21. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． （1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 22. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： （1）请你证明小聪发现的结论； （2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” 23. 已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． （1）若， ①求二次函数的表达式； ②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值； （2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． 24. 如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． （1）求证： ①； ②； （2）如图2，若是中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $