2.1.2向量的基本关系课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章 平面向量及其应用 1.2 向量的基本关系 问题引入 什么样的两条线段称为相等线段？ 长度相等的两条线段称为相等线段. 什么样的两个向量是相等向量呢？ 新知初探 若两条有向线段方向相同,长度相等，则 它们表示的向量是相等的. 一、相等向量与共线向量 如图： 1.相等向量:长度相等且方向相同. 向量 与 相等,记作 = . 代表相等向量的有 向线段与起点无关.直观地说，一条有向线段 在平移过程中，虽然位置不同,但表示的是相等向量. 新知初探 2.共线向量:若两个非零向量 , 的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作 ∥ . 3.相反向量:两个向量的长度相等、方向相反.相反向量是共线向量.若其中一个向量为 ,则它的相反向量记作 . 一、相等向量与共线向量 两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行. 4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量 ,都有 ∥ .零向量的相反向量仍是零向量. 新知探究 A B 二、向量的夹角 2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量 ,都有 ⊥ . 1.定义:已知两个非零向量 和 , 在平面内选一点O， 作 ， θ 则 ( )称为向量 与 的夹角. 当 时, 与 同向; 当 时, 与 反向; 当 时, 与 垂直,记作 ⊥ . O. 初试身手 1.如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列向量可以用同一有向线段表示的两个向量的是（ ） 解 由图可知 是相等向量，满足条件. Q R S P B 初试身手 2.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， 则与 相等的向量有 , 与 共线的向量有 . 在四边形ABCD中 ,所以与 相等的向量是 ； 解 D C E A B 由图知与 共线的向量有 . 知识点拨 1 向量共线中的“共线”的含义与平面几何中的“共线”的含义不同, 2 向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上. 相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量. 知识点拨 (2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素. (3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上. (4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量. 合作探究 类型一：相等向量与共线向量 1.如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 方向相同或相反 2.表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系？ 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合 合作探究 类型一：相等向量与共线向量 3.如果非零向量 与 是共线向量，那么A,B,C,D是否一定共线？ 不一定共线 4.与 共线的单位向量有几个？ 当 ≠ 时，有两个；当 ＝ 时，有无数个 例题讲解 【例1】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心且 ＝ ， ＝ ， ＝ . [思路探究]　由题目可获得以下主要信息： ①六边形ABCDEF是正六边形； ② ＝ ， ＝ ， ＝ ； ③求各相应向量． 解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题． o E F D C B A D C B F A D C B (1)与 的模相等的向量有多少个？ (2)与 的长度相等,方向相反的向量有哪些？ (3)与 共线的向量有哪些？ 例题讲解 【例1】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心且 ＝ ， ＝ ， ＝ . (1)与 的模相等的向量有多少个？ (2)与 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 共线的向量有哪些？ [解]：(1)与a的模相等的向量有23个． (2)与 的长度相等且方向相反的向量有 ， ， ， . (3)与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， . E F A D C B 1．向量共线有三种情形： ①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. 2．向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行,两向量平行时， 表示向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线m,n,l,m∥n,n∥l,则m∥l;若向量a,b,c,a∥b,b∥c,而a,c不一 定平行． 规律方法 例题讲解 【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角. B E C A D F 情境引入 A B C D E F G 课堂小结 1.共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义． 2.向量垂直也就是向量夹角为90°，按照规定，零向量既可以和任意向量平行，也可以和任意向量垂直. 当堂达标 1.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与 、 相等的向量； (2)写出与 模相等的向量． [解]： A B C D E F $$