2.1.2向量的基本关系课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.1.2 向量的基本关系 第二章 平面向量及其应用 向量的基本关系． 向量的基本关系的探究和理解过程． 1．能从物理学和几何背景中抽象概括出向量的概念； 2．通过对向量的基本关系的探究，体会用类比的思想研究问题； 3．经历概念的形成过程，感受舍去物理属性，得到数学研究对象的数学抽象，感受数学和物理学科的内在联系． 2 猫与老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A点向正东追． 猫能否追上老鼠？ 若猫的速度记为，老鼠的速度记 ，那么和有什么关系？ 能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的速率． 和为共线向量． 3 物理中“两个物体运动速度相等”是两个矢量间的相等关系，是指它们的方向相同、大小相等．观察方格图，在数学上如果是两个向量，你能“定义”这种相等关系吗?根据是什么？ 能，根据两个向量的大小和方向． 4 若两个有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量相等吗?若相等，那么代表相等向量的有向线段与起点位置有关吗?请举例说明． 相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b． 若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是相等的． 代表相等向量的有向线段与起点位置无关．例如图中： = , = ． 5 方格图中，向量a与 ， 与， a与相等吗?从方向上看，它们之间形成了怎样的特殊关系? 向量a与 方向相同但大小不等， 与方向相反且大小不等， a与方向相反但大小相等．所以从方向上看，它们之间形成了方向相同或相反的特殊关系，且它们所在的直线平行或共线． 6 如果任作一条与向量a所在直线平行的直线l，并在l上任取一点O，以点O为起点作有向线段， ，分别等于向量a， ，可行吗?如果可行，请据此说明“两个向量平行或共线”与“两条线段平行或共线”的区别与联系． 可行． “两个向量平行或共线”只需这两个向量方向相同或相反，可以在也可以不在同一条直线上； 而“两条线段平行或共线”指平行则不共线，共线则不平行． 7 我们发现图中向量 a与是特殊的共线向量，特殊之处是什么?能否起个名字并定义它? 向量a与的方向相反且大小相等，类比“实数中符号相反且绝对值相等的两个数叫作相反数”，我们把这两个向量叫作相反向量． 作为向量集合中的特殊向量零向量，它与其他向量共线吗?它有相反向量吗? 由零向量的定义可知，它的长度为零，任何一个方向都可以作为它的方向，所以零向量与任一向量a共线，即 0 // a．零向量的相反向量仍是零向量． 8 方格图中，向量a与b，a与是相等向量吗?是共线向量吗?它们所在的直线有何关系? 既不是相等向量也不是共线向量．它们所在的直线都相交，但所成角不同． 9 1.相等向量：相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b． 归纳新知 2.共线向量：若两个非零向量a与b方向相同或相反，则这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行．记作 a // b．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量与任一向量a 共线． 3.相反向量：若两个向量的大小相等、方向相反，则称它们是互为相反的向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作−a．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量的相反向量仍是零向量． 10 向量的夹角：已知两个非零向量a与b，如图：作=a， =b，则θ=∠AOB (0°⩽θ⩽180°)称为向量a与b的夹角． 当θ=0°时， a与b同向；当θ=180°时， a与b反向； 当θ=90°时， a与b垂直，记作a⊥b． 由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a． a b B θ a b 11 (1)单位向量一定是相等向量．( ) (2)相等向量的起点必相同．( ) (3)若AB∥CD，则A，B，C，D一定共线．( ) (4)零向量与任一向量既平行又垂直．( ) 概念辨析 单位向量方向可能不同．  只要长度相等、方向相同就是相等向量，与向量起点的位置无关． A，B，C，D可能共线也可能AB∥CD．   12 如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点． (1)写出图中所示与向量长度相等的向量． (2)写出图中所示与向量相等的向量． (3)分别写出图中所示与向量， 共线的向量． 解：(1)与向量长度相等的向量： ， ，， ，； (2)与向量相等的向量； (3)与共线的向量： ； 与共线的向量： ． 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可． 13 如图，O是正六边形ABCD