专题5.2 一次函数与几何综合分类专题（13大题型）（全章题型梳理与分类讲解））-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.2 一次函数与几何综合分类专题（13大题型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】一次函数图象平移（平行）........................................................1; 【题型2】一次函数图象两直线垂直问题......................................................2； 【题型3】一次函数图象与坐标轴成特殊夹角..................................................3； 【题型4】一次函数两直线夹角成特殊角......................................................4； 【题型5】一次函数图象过定点..............................................................5； 【题型6】一次函数图象关于某条直线对称....................................................5； 【题型7】一次函数图象与面积问题..........................................................7； 【题型8】一次函数与最值问题..............................................................8； 【题型9】一次函数与折叠问题..............................................................9; 【题型10】一次函数图象旋转问题..........................................................10; 【题型11】一次函数与动点问题............................................................11； 【题型12】一次函数与几何综合（直通中考）................................................12； 【题型13】一次函数与几何综合（拓展与延伸）..............................................12. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一次函数图象平移（平行） 【例1】（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知一次函数与直线 平行，且过点 (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点 是否在这个函数图象上； (3)将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·重庆渝北·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移5个单位后得到直线， 则 ． 【题型2】一次函数图象两直线垂直问题 【例2】（23-24八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 材料1：点的中点坐标为．例如：点的中点坐标为，即． 材料2：一次函数的图象相互垂直，则．例如：直线与直线互相垂直，于是，解得． 如图，在等腰中，，点A的坐标为，根据以上两则材料的结论，解答以下问题： (1)求点C的坐标； (2)求直线的表达式． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为 ．    【题型3】一次函数图象与坐标轴成特殊夹角 【例3】（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线l经过点A，并与x轴交于点B，且，P是直线l上一个动点，若是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【变式1】（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，已知直线：交轴，轴于点B，点A，，，点P是轴上方直线上一动点，若是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【题型4】一次函数两直线夹角成特殊角 【例4】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，若，则直线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁营口·二模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是 ．    【题型5】一次函数图象过定点 【例5】（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线经过，两点，直线的解析式． (1)求直线的解析式； (2)求证：直线必过某一定点； (3)已知点，过点作轴的垂线，分别交直线，于，两点，若点，之间的距离是，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级上·江苏·期末）不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ； （2）当k变化时，原点到一次函数的图象的最大距离为 ． 【题型6】一次函数图象关于某条直线对称 【例6】（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．         方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，直线和关于直线对称，若的解析式为，则的解析式是 （       ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【题型7】一次函数与面积问题 【例7】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【变式2】（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【题型8】一次函数图象与最值问题 【例8】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20八年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．4 B． C．2 D．2+2 【题型9】一次函数图象与折叠问题 【例9】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴围成的的周长为12，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处． (1)求k的值； (2)求点C的坐标和直线的解析式． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【变式2】（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？ （请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标． ． 【题型10】一次函数图象与旋转问题 【例10】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【变式2】（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 【题型11】一次函数与动点问题 【例11】（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．   (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． 第三部分【中考链接拓展延伸】 【题型12】一次函数与几何综合（直通中考） 【例1】（2019·湖南娄底·中考真题）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为 ． 【例2】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【题型13】一次函数与几何综合（拓展与延伸） 【例1】．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【例2】（22-23八年级下·四川南充·期末）如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求△AOB的面积； (2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 一次函数与几何综合分类专题（13大题型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】一次函数图象平移（平行）........................................................1; 【题型2】一次函数图象两直线垂直问题......................................................4； 【题型3】一次函数图象与坐标轴成特殊夹角..................................................7； 【题型4】一次函数两直线夹角成特殊角.....................................................13； 【题型5】一次函数图象过定点.............................................................19； 【题型6】一次函数图象关于某条直线对称...................................................21； 【题型7】一次函数图象与面积问题.........................................................26； 【题型8】一次函数与最值问题.............................................................29； 【题型9】一次函数与折叠问题.............................................................33; 【题型10】一次函数图象旋转问题..........................................................38; 【题型11】一次函数与动点问题............................................................41； 【题型12】一次函数与几何综合（直通中考）................................................44； 【题型13】一次函数与几何综合（拓展与延伸）..............................................46. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一次函数图象平移（平行） 【例1】（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知一次函数与直线 平行，且过点 (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点 是否在这个函数图象上； (3)将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 【答案】(1)；(2)点不在函数图象上；点在函数图象上 (3)，图象见解析. 【分析】（1）根据两函数图象平行，求出k值，再把点代入求出b值即可； （2）把点A、B的横坐标代入解析式，计算纵坐标，看是否相等即可判定； （3）根据平移规律：上加下减，左减右加，求出函数解析式，再用两点法画出图象即可． 解：（1）∵一次函数与直线 平行， ∴， ∴ 把代入，得 ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴点不在函数图象上； 把代入，得 ∴点在函数图象上． （3）解：将函数的图象向下平移1个单位长度， 平移后的函数解析式为：， 即． 平移后的函数图象如图所示， 【点拨】本题考查求一次函数解析式，一次函数的图象平移，一次函数图象上点的坐标特征，画一次函数图象．熟练掌握一次函数图象平移规律是解题的关键． 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的值相等设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值，然后利用平移的规律求得即可． 解：由题意设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ ，解得， ∴， 将直线向右平移个单位后得到， 即， 故选：． 【点拨】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·重庆渝北·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移5个单位后得到直线， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象的平移规律，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时k的值相同，得出，的值，即可解题． 解：直线与直线平行， ， 直线向下平移5个单位后得到直线， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型2】一次函数图象两直线垂直问题 【例2】（23-24八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 材料1：点的中点坐标为．例如：点的中点坐标为，即． 材料2：一次函数的图象相互垂直，则．例如：直线与直线互相垂直，于是，解得． 如图，在等腰中，，点A的坐标为，根据以上两则材料的结论，解答以下问题： (1)求点C的坐标； (2)求直线的表达式． 【答案】(1)；(2). 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及中点坐标公式： （1）根据等腰三角形的性质可得，再由中点坐标公式，即可求解； （2）先求出直线的解析式为，可设设直线的解析式为，再把点代入，即可求解． 解：（1）在等腰中，，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴； （2）∵设直线的解析式为， 把点代入得： ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点代入得，， ∴， ∴直线的表达式为． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线一定过，进而得，由垂线段最短得垂直于直线，进而利用待定系数法求得直线：，从而根据两直线垂直时，一次项系数的关系即可得解． 解：如图，    ∵对于，当时，， ∴直线一定过， ∵， ∴， ∵点到直线的距离是， ∴由垂线段最短可得垂直于直线， 设直线：， ∵过点，， ∴， 解得， ∴直线：， ∵两条直线与垂直，则， ∴直线为：， 解得， 故选B． 【点拨】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一次函数是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】先求出，得到，如图所示，过点C作轴于D，通过证明得到，进而得到，则． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点拨】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型3】一次函数图象与坐标轴成特殊夹角 【例3】（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线l经过点A，并与x轴交于点B，且，P是直线l上一个动点，若是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，勾股定理．先求得直线l的解析式，再分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可． 解：如图．∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． ∴点． 设直线l的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线l的解析式为． 若是等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∵， ∴． ∴是等边三角形．过点作于点D，如图． ∴． ∴点纵坐标为1． 把代入，得． 解得． ∴点； ②当时，过点作于C点，如图． ∵， ∴． ∴°． ∵， ∴．点． ∴纵坐标为3． 把代入，得． 解得． ∴； ③当或时， ∵， ∴是等边三角形，此时点P与①中重合． 综上所述，若是等腰三角形，则点P坐标为或． 故答案为：或． 【变式1】（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，已知直线：交轴，轴于点B，点A，，，点P是轴上方直线上一动点，若是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一次函数，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，先利用含的直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，再分，，三种情况讨论即可． 解：∵，，， ∴， ∴， 当时，如图，当点P在A的右侧时，过P作轴于M ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为； 如图，当店P在A的左侧时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即P为中点， ∴点P的坐标为； 当时，如图， ∴， ∴， ∴点P在x轴下方，不符合题意，舍去， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 【题型4】一次函数两直线夹角成特殊角 【例4】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)；(3)的值为或. 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别求出、、点坐标，再求的面积即可； （2）作交于，作轴，过点作交于，作于，证明，从而得出，再代入一次函数解析式计算即可得出答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案． 解：（1）当时，， 当时，解得，此时， ∴， 在中，当时，，解得，即， 在中，当时，，解得，即， ∴； （2）如图，作交于，作轴，过点作交于，作于， ， ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 当时，解得，此时， ∴， 在中，当时，，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， 检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解， ∵直线与轴的夹角为的外角，， ∴直线与轴的夹角大于， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得， 由（2）可得：，， 如图，当时，此时，， ∴， 解得：或， 检验：当或时，，是分式方程的解， （不符合题意，舍去） 如图，当时，此时，即， 解得：或， 检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去， 综上所述，的值为或． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，若，则直线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，过点作轴于点，可证得，从而得到，，可得到，再由和，即可求解． 解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则， 则， 对于直线，令，得到，即，， 令，得到，即，， ，， ∴为等腰直角三角形，即，， ， 在和中， ， ， ，， 即， ，， 设直线的解析式为， ， ， 解得 ， 过、两点的直线对应的函数表达式是， 故选：A． 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键． 【变式2】（2024·辽宁营口·二模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是 ．    【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，根据题意，确定一次函数解析式为，然后设，过点O作交于点C，运用等面积法确定，再由勾股定理及两点之间的距离列出方程求解即可，根据题意，作出辅助线是解题关键． 解：直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴， 设且，即， 过点O作交于点C，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 当时，， ∴点M的坐标是， 故答案为：． 【题型5】一次函数图象过定点 【例5】（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线经过，两点，直线的解析式． (1)求直线的解析式； (2)求证：直线必过某一定点； (3)已知点，过点作轴的垂线，分别交直线，于，两点，若点，之间的距离是，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）将y=kx+3+k变形为（x+1）k+3，即可确定定点； （3）根据题意，表示出点A和点B的坐标，即可表示出AB，再根据点A，B之间的距离是3+3k列方程，即可求出t的值． 解：（1）解：设直线的解析式：， 代入，， 得，， ， 直线的解析式：； （2）证明：， 当时，， 直线必过； （3）根据题意，得，， ， ， 解得或， 或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数图象上点坐标的特征是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·江苏·期末）不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了恒过定点，把问题转化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解列式计算即可，熟练掌握方程有无数解的条件是解题额关键． 解：∵， ∴， ∵关于m的方程有无数的解， ∴， 解得， ∴直线恒过定点． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ； （2）当k变化时，原点到一次函数的图象的最大距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和坐标的性质以及求点到直线的距离．正确找出一次函数过恒定点是解题关键．根据题意可知，一次函数图象过定点A，求出A的坐标，当原点到直线的距离为时，原点到直线的距离为最大，根据A的坐标求出即可． 解：（1）一次函数， 令，则， 一次函数图象过定点． 故答案为：， （2）∵一次函数图象过定点． ∴当垂直于直线时 此时原点到直线的距离最大 ∴ 为最大距离． 故答案为：． 【题型6】一次函数图象关于某条直线对称 【例6】（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．         方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【答案】(1)轴对称的性质; (2)B; (3)见解析. 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据题意可知用了数形结合思想； （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称． 解：（1）由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； （2）由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，直线和关于直线对称，若的解析式为，则的解析式是 （       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴交点问题，先求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用对称性求出直线经过的点坐标，再利用待定系数法求出解析式 解：令中得；令得 ∴直线过点 ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线过点， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式是, 故选A 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【答案】(1)，; (2)或. 【分析】本题主要考查了一次函数与轴对称变换．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，即可； （2）先根据对称性求出直线的解析式，再结合函数图象对求解即可． 解：（1）直线与轴交于点A， ， 把点代入直线中， 得，， 解得，， 直线的解析式为； 故答案为：， （2）直线与直线关于直线对称， 直线为， 画出函数图象如解图， 结合图象， 可得，或时，区域内恰有1个整点． 故答案为：或． 【题型7】一次函数与面积问题 【例7】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用，掌握勾股定理及待定系数法是解题的关键． （1）将点代入得出，再代入一次函数求解即可； （2）设的横坐标，得出，，根据勾股定理求出，的坐标，然后计算面积即可． 解：（1）解：直线和直线相交于点． ∴， ∴， 将点，代入得： ， ∴，， ∴； （2）解：如图，设的横坐标，则，，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 作轴， 则； 同理，当时，， 综上，； 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)；; (2); (3)2或6. 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 解：（1）当时，，则； 当时，，，则． （2）当时，，则， ∴． （3）∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【点拨】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到、两点坐标，再由的面积被中线平分得到中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点且将的面积平分的直线的解析式． 解：直线与坐标轴分别交于、两点， 当时，，即；当时，，解得，即； 由三角形中线平分三角形面积可知，过原点且将的面积平分的直线过中点， 中点为，即， 设直线的解析式为，将代入得到，则， 故选：B． 【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【题型8】一次函数图象与最值问题 【例8】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 解：如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键． 根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解． 解：如图，连接， 轴，点关于轴的对称点是点， ，即， 在中，，即时等腰三角形， 即， ， ， ， ， ，直线交轴于点，交轴于点， ，，即，， 在中， ， ， ， 的最小值为， 点与点关于轴对称， 的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即 有最小值，由此可知有最小值， 最小值为： 故选：B 【变式2】（19-20八年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．4 B． C．2 D．2+2 【答案】C 【分析】作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解． 解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示． 当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）． ∵点C是OA的中点， ∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）． 当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2， ∴CD＝2． ∵点C，C′关于y轴对称， ∴CC′＝2OC＝2，PC＝PC′， ∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝. 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键． 【题型9】一次函数图象与折叠问题 【例9】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴围成的的周长为12，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处． (1)求k的值； (2)求点C的坐标和直线的解析式． 【答案】(1)k的值为4; (2)；直线的解析式为 【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征表示出，，则利用勾股定理计算出，再根据三角形周长公式列方程求解即可； （2）设，由（1）得，，，先根据折叠的性质得到，，则，从而得到C点坐标为，接着在中利用勾股定理得到，解方程求出t得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式． 解：（1）当时，，解得，则， 当时，，则， ∵， ∴， 解得， 即k的值为4； （2）设，由（1）得，，， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处， ∴，， ∴， ∴C点坐标为， 在中，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的性质和折叠的性质，数形结合是解答本题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？ （请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标． ． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 【题型10】一次函数图象与旋转问题 【例10】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点; (2)见解析; (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 解：（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点拨】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 【变式1】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案． 解：把代入直线得， ， 把代入直线得，， 解得 ∴的取值范围是， 故答案为： 【题型11】一次函数与动点问题 【例11】（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．   (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 【答案】(1)，; (2); (3)a的值为或4 【分析】本题为两条直线相交问题，主要考查待函数图象的交点，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的坐标； （2）联立两条直线的解析式即可得出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得； （3）由点的坐标可得出点，的坐标，再根据，列出方程，求解可得的值． 解：（1）把代入得，， 把代入得，， ，； （2）令，解得， ， ， ，， ， ∴的面积为； （3）由题意可知，，， ， 解得或， 的值为或4． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理、一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．根据已知条件得到解析式为，设点P的坐标为，得到，求得，得到，根据建立方程，即可得到结论． 解：点为直线上的动点，且 ∴设解析式为 把代入，解得 即解析式为， 设点P的坐标为， ∵，，，点在边上，且，点为的中点， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 解得 ∴ 故选：B 【变式2】（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，，证得出则，进而可得点在上运动，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 解：设，， 如图所示，过点作轴于点， ∵且， 又 ∴， ∴ ∴，， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴点在上运动， 当时，， 当时， ∴点运动的距离为 故答案为：． 第三部分【中考链接拓展延伸】 【题型12】一次函数与几何综合（直通中考） 【例1】（2019·湖南娄底·中考真题）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为 ． 【答案】 【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可． 解：当时，，即点在直线上， 因为点到直线的距离为：， 因为直线和平行， 所以这两条平行线之间的距离为． 故答案为． 【点拨】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力． 【例2】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 【题型13】一次函数与几何综合（拓展与延伸） 【例1】．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】本题主要考查了坐标和线段长度的关系、三角形的面积公式，还考查了分类讨论的思想，解题的关键是根据题意找出线段长度，代入公式求解． （1）由坐标可知线段的长度，再根据三角形的面积公式即可求出坐标； （2）分情况讨论，用表示出两种情况下的长度，再根据面积公式即可求出结果； （3）分别表示出和的面积，然后利用面积比求出值即可． 解：（1）解：设点坐标为， 由题意可知：， ， 解得， 点在轴的负半轴上， ， 点坐标为． （2）当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 综上所述，． （3）当点在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当点在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 【例2】（22-23八年级下·四川南充·期末）如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求△AOB的面积； (2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标 【答案】(1)9; (2)或; (3) 【分析】本题考查一次函数的运用、直角坐标系中两点的距离、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握一次函数的运用、直角坐标系中两点的距离、全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据与轴交于点，与轴交于点，可得，两点的坐标，根据三角形面积公式，即可求出的面积． （2）过点作直线交直线于点，过点C作直线轴于点E，由可知是等腰直角三角形，设点C的坐标为，证明，则，，得到点D的坐标是，由点D在直线l上，得到，则，即可求出点的坐标； （3）将点、的坐标代入，得到、的关系，再根据点、的坐标可得到直线的一次函数，根据点、的坐标可得到直线的一次函数，联立两条直线的函数方程，再将、的关系带入即可求出交点的横坐标． 解：（1）∵与轴交于点，与轴交于点 ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）过点作直线交直线于点，过点C作直线轴于点E，作轴于点F， 设点C的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点D的坐标是， ∵点D在直线l上， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， ∵， ∴点D也为所求， ∴点C的坐标为或； （3）∵点、在直线：上 ∴ 两式相减得：， ∵， ∴， ∵点、在直线上， ∴设直线为：， ∴把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数为： ∵点、在直线上 ∴设直线为： 把，代入中 得， 解得， ∴直线的函数为：， 联立直线和 两式相减得： 将代入消元，得 ∴ 即点的横坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$