5.2 余弦函数的图象与性质再认识课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

余弦函数的图象与性质再认识 正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象 正弦函数性质的再认识 五点画图法 温故知新 看正弦函数图象说出正弦函数性质: ①定义域：　　　　　　　②值域： ③奇偶性：　　　　　　　④周期性： ⑤对称轴：　　　　　　　⑥对称中心： ⑦单调性： ⑧最大值与最小值： 学习目标 1. 理解余弦函数图象的画法. （重点） 2. 借助图象理解余弦函数的性质. （重点、难点） 3. 学会熟练地画出一些较简单的余弦函数的图象.（重点） 课文精讲 余弦函数y=cosx的图象 在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0， ， ， ，··· ， 2π列表(如表). x y=cosx y x o 课文精讲 余弦函数的图象 由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ， 2(k+1)π]，k∈Z， k≠0上与在区间[0， 2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y=cosx，x ∈[0， 2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x ∈R的图象(如图). 课文精讲 余弦函数的图象 余弦函数y=cosx，x ∈R的图象称作余弦曲线. 课文精讲 五点作图法余弦函数y=cosx的图象（列表、描点、连线） x y=cosx 课文精讲 余弦函数的图象 因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”. 课文精讲 余弦函数的图象 由诱导公式cosx=sin (x+ )可知，y=cosx的图象就是函数y=sin (x+ )的图象.即余弦函数y=cosx的图象可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移 个单位长度得到(如图). 课文精讲 余弦函数的图象 为了得到y=sinx和y=sin (x+ )之间的平移量，通常只需理清函数y=sinx上的点(0，0) ，平移到什么位置.因此，令x+ =0，得到x=− ，即点(0，0)平移到点(−  ，0).这就说明正弦函数y=sinx图象上的所有点向左平移 个单位长度，即可得到余弦函数y=cosx的图象. 课文精讲 余弦函数的图象(思考） 你能利用函数y=sinx在[0，2π]的图象，通过图象变换得到y=1+sinx，x∈[0, 2π ]的图象吗? 同样地，利用函数y=cosx, x∈[0, 2π ]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=−cosx, x∈[0, 2π]图象? 课文精讲 余弦函数的图象 图象的平移变换（a＞0，b＞0） 向右平移a个单位长度 向上平移 b个单位长度 向下平移 b个单位长度 f（x） 向左平移a个单位长度 f（x）−b f（x）+b f（x+a） f（x−a） 课文精讲 余弦函数的图象 图象的对称变换 关于x轴对称 f（x） −f（x） f（−x） 关于y轴对称 典型例题 例1：画出函数y=cos(x−π)在一个周期上的图象. 解： 按五个关键点列表(如表). x−π x y=cos(x−π) y x o 典型例题 例1：画出函数y=cos(x−π)在一个周期上的图象. 解法二：也可以利用诱导公式y=cos(x−π) =−cosx，画出y=−cosx的图象. 课文精讲 思考交流 画出下列函数在区间上的图象： (1)y=2+cosx； (2) y=3cosx. 解： (1)按五个关键点列表(如表). x y=2+cosx y x o 课文精讲 思考交流 画出下列函数在区间上的图象： (1)y=2+cosx； (2) y=3cosx. 解： (2)按五个关键点列表(如表). x y=3cosx y x o 课文精讲 余弦函数性质的再认识 类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cos x在x∈R上的主要性质. 课文精讲 余弦函数性质的再认识 2.周期性 由于余弦函数y=cos x的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移π/2个单位长度得到的.可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π. 因此，为了研究问题方便，通常选取区间[0，2π]讨论其性质，然后延拓到它的定义域R上. 1.定义域 余弦函数的定义域是R. 课文精讲 余弦函数性质的再认识 3.单调性 4.最大(小)值和值域 课文精讲 余弦函数性质的再认识 5.奇偶性 余弦曲线关于y轴对称(如图).由诱导公式cos(−x)=cosx可知，余弦函数是偶函数. 典型例题 例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质. x y=cosx y=cosx−1 解：函数y=cosx−1的最小正周期是2π，按五个关键点列表(如表). y x o 典型例题 解： 由函数y=cosx−1的图象得到它的主要性质(如表). 例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质. 函数 y=cosx-1 定义域 R 值域 [−2，0] 奇偶性 偶函数 周期性 周期函数，周期是2π 典型例题 函数 y=cosx−1 单调性 在每一个闭区间[(2k−1)π，2kπ]都单调递增； 在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]都单调递减 最大值与最小值 当x=2kπ，k∈Z时，最大值为0； 当x=(2k+1)π，k∈Z时，最小值为−2 课文精讲 取值范围： 思考交流 请借助余弦函数y=cosx的图象，求满足不等式cosx≥ 的x的取值范围. 综合练习 已知函数y=2cosx定义域为[ ，π]，值域为[a，b]，则b-a=_____. 综合练习 函数 的定义域是_______________ 本课小结 余弦函数的图象与再认识 余弦函数的图象 余弦函数性质的再认识 自主学习测评内容 [例1] 用“五点法”作出函数y=3+2cos x在一个周期内的图象. 解:列表: 描点得y=3+2cos x在一个周期内的图象(如图所示): x y=cosx y=3+2cosx 变式训练1-1:作出函数 在[-2π,2π]上的图象. 方法总结 类似正弦函数图象,作余弦函数图象时也用“五点法”作出其一个周期内的图象,再根据周期性进行延展. 知识点2:余弦函数的性质 　　　函数 性质　　　 y=cos x 定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 周期函数,最小正周期为2π 　　　函数 性质　　　 y=cos x 单调性 在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都单调递增; 在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都单调递减 最大值与 最小值 当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1 [思考] 观察余弦曲线,你能发现余弦曲线的对称性吗? 变式训练2-1:比较大小(填“>”“<”或“=”). (1)cos 15°　　　　cos 35°;  变式训练2-1:比较大小(填“>”“<”或“=”). 方法总结 (1)解含有正弦函数、余弦函数的不等式时,可以画出函数图象,从图象上得出不等式的解集; (2)利用余弦函数的单调性比较函数值大小时,要根据诱导公式把求解的函数值的自变量化到余弦函数的一个单调区间上,再利用余弦函数的单调性进行比较. $$