2023—2024学年人教版数学九年级上册综合测试卷

九年级上册综合测试卷2 一、单选题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．方程化为一般形式后二次项系数，一次项系数和常数项分别是（      ） A．3，，5 B．3，2，10 C．3，，10 D．3，2， 3．抛物线的顶点坐标是 （   ） A． B． C． D． 4．已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（  ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 6．已知是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．10 B．17 C．26 D．33 7．二次函数（m为常数）的图象经过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．杭州亚运会男子篮球赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个球队参赛，根据题意，可列方程为(   ) A． B． C． D． 11．一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像相交于A(–1，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式kx+n≥ax2+bx+c解集为(　　  ) A．–1≤x≤9 B．–1≤x<9 C．–1<x≤9 D．x≤–1 或x≥9 12．如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论错误的是（    ） A． B．△BDE是等边三角形 C． D．△ADE的周长是 14．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（　 　） A．5 B．4 C．3 D．2 15．二次函数． 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是 ． 17．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 度． 18．正方形的面积为a，内接圆的周长为 ． 19．图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20．（6分）解下列一元二次方程 (1) (2) 21．（6分）已知△ABC在方格纸中的位置如图所示，每个小方格的边长为1个单位长度； (1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△，请你画出△； (2)△ABC与△关于原点O对称，请你画出△． 22．(7分）已知二次函数． （1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为，求B点坐标． 23．（7分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱80元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价5元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x中间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 24．（7分）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接．若的半径为5，，求和的长． 25．（8分）为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动．共有4个社团供学生选择：“：剪纸”、“：木版画雕刻”、“：陶艺创作”、“：皮影制作”． (1)李华随机选择一个社团参加，选择的是“：剪纸”的概率为______； (2)张宇准备随机选择其中的两个社团参加．请用画树状图或列表的方法求他选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率． 26．（9分）如图，在△ABC中，，于点O，于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是OA的中点，，求图中阴影部分的周长； (3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当取最小值时，直接写出BP的长． 27．（12分）已知：二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标分别为一元二次方程的两个根． （1）求出该二次函数表达式及顶点坐标； （2）如图1，在抛物线对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册综合测试卷2 答案详解 1．A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A是中心对称图形，所以A符合题意； 因为图B不是中心对称图形，所以B不符合题意； 因为图C不是中心对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是中心对称图形，所以D符合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其中叫二次项，a叫二次项系数，叫一次项，b叫一次项系数，c叫常数项．首先要把方程化成一般形式，再写出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将化为一般式，得 ， 故二次项系数为：3， 一次项系数为：， 常数项为：10， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选C． 4．B 【分析】利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键． 【详解】解: 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了根据评率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 6．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，利用根与系数的关系得到，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D。 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数的性质判断、、的大小是解题的关键．先求出函数的对称轴，和开口方向，再根据点，，的坐标特征，由函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， 对称轴直线为， ∴开口方向向下，与对称轴的距离越小的值所对应的函数值越大 当时，随的增大而减小， ∵，，，， 则 故选：B． 8．D 【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得为旋转角、，然后根据邻补角的定义即可得． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得：为旋转角，， 点C、A、在同一条直线上， ， 即旋转角等于， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握理解旋转的性质是解题关键． 9．B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——单循环赛问题，解决本题的关键是熟练掌握每两队之间的比赛只有场，总场数等于队数乘以每队比赛场数的积除以 设有个队参赛，根据球队总数每支球队需赛的场数，列方程即可． 【详解】解：设有个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故选：A． 11．A 【详解】如图： 一次函数与二次函数的图像相交于 两点，由图像可知， 当时，一次函数的图像在二次函数图像的上方，即； 当 或时，. 由此可知，的解为． 故选：A. 12．B 【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【详解】解：连接， 由已知可得，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弓形的面积， ∴阴影部分的面积=， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．C 【分析】由旋转的性质可得，，，，可得，是等边三角形，的周长为，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到， ，，，， 是等边三角形， 故B正确； ∴， ∴， ∴， 故C错误； ，， 故A正确； 的周长， 故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的判定和性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．B 【分析】连接AC，BC，由PC为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACP与三角形CBP相似，根据相似得比例列出关系式，将PC及PA的值代入即可求出PB的长． 【详解】连接AC，BC，如图所示： ∵PC为圆O的切线， ∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P， ∴△ACP∽△CBP， ∴， 又∵PC=2，PA=1， ∴BP= 4. 故选B. 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键. 15．C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数的图象可以得到、的正负，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象开口向上，可得，， 又函数图象的对称轴在y轴右侧，则， ∴， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：C． 16． 【分析】本题考查关于原点中心对称的点的坐标特征：两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据中心对称坐标的特征得出结果即可 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 17．126 【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数． 【详解】∵∠BOD＝108°， ∴∠A＝∠BOD＝54°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°． 故答案是：126． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18． 【分析】本题主要考查正多边形与圆，先根据正方形的面积求出边长，可得内切圆的直径，从而可求出内切圆的周长． 【详解】解：∵正方形的面积为a， ∴正方形的边长为， ∴正方形内接圆的直径为， ∴内接圆的周长为， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，令，求得，进而当时，求得，进而即可求解． 【详解】解：令， 解得：舍去或米， 则， 则米， 当时，（米）， 则米， 故答案为：． 20．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 21．(1)△如图所示； (2)△如图所示． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移4个单位的对应点 的位置，然后顺次连接即可； (2) 根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）由图可得A(-2，5)，B(-4，1)，C(-1，3)则右平移4个单位的对应点 （2，5）、 （0，1）、C1（3，3），如图所示； （2）△ABC与△关于原点O对称，则（2，－5），（4，－1）， （1，－3），如图所示． 【点睛】本题考查作图——旋转和平移：根据旋转和平移的性质作图是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）B（，） 【分析】（1）令y=0得到关于x的一元二次方程，再用k表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论； （2）把A点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令，可求得方程的解，可得出B点坐标． 【详解】（1）证明：令可得：， ∵，，， ∵ ， ∴不论为任何实数，方程， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：∵A（3，0）在抛物线上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 令，即， 解得或， ∴B点坐标为（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键． 23．(1)（，且x为整数） (2)每箱牛奶定价为75元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2450元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式，是解题的关键． （1）根据题意价格每降低5元，每月的销量将增加10箱，即价格每降低1元，每月的销量将增加2箱，可以得到每箱降价x元则多卖箱，从而得到y与x的函数解析式，再根据售价不低于进价，得出自变量的取值范围； （2）设每月销售牛奶的利润为w元，由利润=（售价-成本）×销售量可以得到w与x的函数关系式，由函数的性质求最值，以及此时每箱牛奶售价． 【详解】（1）解：根据题意价格每降低5元，每月的销量将增加10箱，即价格每降低1元，每月的销量将增加2箱， 则每箱降价x元，多卖箱， ∴y与x的函数关系式； ∵，解得， ∴自变量x的取值范围，且x为整数； （2）设每月销售牛奶的利润为w元， 则， ∵， ∴当x＝5时，w有最大值，最大值为2450，此时， 答：每箱牛奶定价为75元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2450元． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理． （1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理证明结论； （2）根据垂径定理得到点E为的中点，再根据三角形中位线定理可得，然后根据圆周角定理得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵是的直径，， ∴点E为的中点，       ∵点O是的中点， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵的半径为5， ∴， ∴． 25．(1) (2)列表见解析，张宇选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率是， 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率以及用画树状图或列表法求概率． （1）根据概率的意义直接计算概率即可． （2）列出表格，根据表格分析出共有多少种等可能情况，其中选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”有几种情况并列举出来，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：根据题意：李华随机选择一个社团参加，选择的是“：剪纸”的概率为：； （2）解：列表如下： 第一个第二个 共有12种等可能的结果，其中选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的结果有2种， 张宇选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率是． 26．(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）作于H，如图，利用等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线性质得，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）先确定，，再计算出，然后根据弧长公式，计算的长，即可得出阴影部分的周长进行计算； （3）作F点关于的对称点，连接交于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时最小，通过证明得到最小值为，然后计算出和得到此时的长． 【详解】（1）证明：作于H，如图， ∵，于点O， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点F是的中点， ∴， 而， ∴，， ∴， ∴的长为：， 图中阴影部分的周长：； （3）解：作F点关于的对称点，连接交于P，如图， ∵， ∴，此时最小， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 即最小值为， 在中，， 在中，， ∴， 即当取最小值时，BP的长为． 【点睛】本题考查了弧长公式，切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题． 27．（1），（2，8）；（2）P（2，4）；（3）m=2． 【详解】试题分析：（1）解一元二次方程可求A、B两点坐标，将A、B两点坐标代入二次函数，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标； （2）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求； （3）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值． 试题解析：（1）∵一元二次方程的两个根，分别是x=2或6，点A、点B的横坐标是方程的两个根，点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0）、B（6，0），将A、B两点坐标代入二次函数，得：，解得：，故，即，∴顶点坐标为：（2，8）； （2）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，∵C（0，6），∴C′（4，6），设直线AC′解析式为，则：，解得：，∴y=x+2，当x=2时，y=4，即P（2，4）； （3）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，=，即S△BDQ=，又∵S△ACQ=AQ×OC=3m+6，∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣==，∴当m=2时，S最大； 考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．存在型；5．动点型． 学科网（北京）股份有限公司 $$