江苏省南京市协同体七校2024-2025学年高三上学期期中联合考试数学试题

南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试 高三数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 南京市第66中学席青云南京市文枢高级中学 漆光宗 命制 注意事项： 1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 2.答题务必将自己姓名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（ ） A. B.1 C. D. 3.已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，，且，则的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.3 5.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D.与相互独立 8.已知是定义在上的周期函数，周期，且当时，若，则下列结论中一定正确的是（ ） A.时，可以有三个解 B.时，可以有三个解 C.时，可以有一个解 D.时，可以有四个解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是（ ） A.直线过抛物线的焦点 B.当时，，两点横坐标的和为5 C.当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D.以为直径的圆与直线相切 10.已知正方体，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A.存在唯一一点，使得过，，的平面与正方体的截面是菱形 B.存在唯一一点，使得平面 C.存在无穷多个点，使得平面 D.存在唯一一点，使得 11.如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A.变量服从正态分布 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在等差数列中，，则_____. 13.已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是_____. 14.已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等.则实数的值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在中，角，，所对的边长分别为，，，已知，，. （1）求； （2）若是中点，求的长度. 16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，且，，成等差数列，求出所有的正整数，. 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，面，四边形是梯形，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18.（本题满分17分）已知函数，. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 19.（本题满分17分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ACD 10.BD 11.ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为， 由正弦定理得：，........................3分 又， 所以，又因为在中，所以..........................6分 方法二： 因为，，， 由余弦定理得：， 解得，.........................3分 所以， 又因为在中，所以..........................6分 （2）方法一： 在中，是中点，所以，.........................8分 . ，即的长为..........................13分 方法二： 由（1）方法二，知， 又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：，.........................8分 因为， 所以，即， 解得，即的长为..........................13分 16.（本题满分15分）解：（1），所以..........................2分 又因为，，成等比数列，所以， ， 又因为，所以.........................4分 所以， 所以.........................7分 （2）由题意：.........................9分 所以 方法一： 所以，.........................11分 因为且，所以，........................15分 方法二： ， 所以，，.........................11分 又，所以或， 当时，，与矛盾， 当时，，符合条件， 所以，.........................15分 17.（本题满分15分）（1）证明：因为面，，所以.......................2分 又因为，，，， 所以..........................4分 又因为，所以平面平面..........................6分 （2）法一：作交于，以点为坐标原点为轴，为轴如图建空间直角坐标系， 设，因为，所以， 又，，. 所以，， 又因为， 所以， 所以，， 故，， ，..........................9分 所以，， 设面一个法向量为 所以，所以..........................11分 设面一个法向量为 所以，所以............................13分 ，所以...........................15分 法二：设，又因为，以点为坐标原点，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为，，. 所以，， 又因为， 所以， 故，， ， 所以， ， ............................9分 设面一个法向量为 所以，所以............................11分 设面一个法向量为 所以，所以.............................13分 ， 所以.............................15分 18.（本题满分17分）解：（1）当时，，，，所以， 所以切线方程为.............................4分 （2），（）.............................6分 若，则时，单调递减，时，单调递增；....7分 若，则时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增.............................8分 若，则时，单调递增.............................9分 若，则时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增............................10分 （3）令， ，（），.............................12分 当时，，故无最小值.............................14分 所以，由得， 所以时，单调递减，时，单调递增单增， 所以， 所以，..............................17分 19.（本题满分17分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. （1）解：因为，，又 解得：，，.............................2分 故椭圆的标准方程为：.............................3分 （2）证明： 方法一： 当轴时，不可能垂直， 故可设直线方程为： 由，得， 设， 则：，，.............................5分 所以，，，又因为，所以 即 即：， 所以， 代入可得：， 整理：，所以：（舍）或，............................7分 所以直线的方程为：，令，得， 所以直线过定点，............................10分 方法二： 显然AP、AQ均不可能与坐标轴垂直，故可设 由，得 设， 所以：，，.............................5分 因为AP，AQ互相垂直，同理得，.............................7分 所以直线的斜率为：， 直线的方程为：， 令得，即直线过定点..............................10分 （3）方法一：由（2）知： 学科网（北京）股份有限公司 $$