黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期11月份考试数学试卷

数学试题 第 1 页 共 2 页 哈尔滨市第九中学 2024—2025 学年度高三上学期 11 月份考试 数学学科试卷 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知 a 为实数,i 为虚数单位,若复数 2 3 4 ( 4)z a a a i     为纯虚数,则复数 a ai 在复平面内对应 的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知两条直线m， n及平面 ，则下列推理正确的是（ ） A．m ∥ ， n m n ∥ ∥ B．m n∥ ， n m   ∥ C．m n ， n m    D．m  ， n m n   3．若圆 1C ： 2 2 2 3 1 0x y x y     ，圆 2C ： 2 2 4 3 2 0x y x y     ，则圆 1C 与圆 2C 的公共弦所在 直线的方程是（ ） A． 2 1 x B． 2 1 x C． 2 1  yx D． 2 1  yx 4．已知直线2 1 0x y   的倾斜角为 ，则 2 cos2 1 sin     （ ） A． 3 1  B． 3 C． 9 1  D． 2 1 5．在如图的平面图形中，已知 1OM  ， 2ON  ， 120MON  ， 2BM MA ， 2CN NA ，则 BC OM   的值为（ ） A． 6 B． 9 C． 15 D．0 6． 在 ABC 中， cba ,, 分别为内角 CBA ,, 的对边，若 2 2 23sin sin sin 2sin sinC A B A B   ， 3cos 5 C  ，且 4ABCS  ，则 c （ ） A． 4 6 3 B．4 C． 2 6 3 D．5 7．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施 2子 安贝（古印度货币单位），以后逐日增加 1倍，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计 算，记此人第 n日布施了 na 子安贝（其中1 31n  ， *Nn ），数列 na 的前 n项和为 nS .若关于 n 的不等式 nnn taaS  247 恒成立，则实数 t的取值范围为（ ） A． 69, 8      B．  ,12 C． 57, 4      D． 97, 8      8．已知  f x 是定义在 R上的增函数，函数  1y f x  的图象关于点  1,0 对称，若实数 nm, 满足 等式    23 4 3 0f n f m m     ，则 nm 的取值范围是（ ） A． 2 3 2 32 ,2 3 3        B． 2 31,2 3       C． 2 32 ,3 3       D． 1,3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列命题正确的是（ ） A．已知非零向量 a  ，b  ， c  ，则“ a c b c       ”是“ a b   ”的必要不充分条件 B．已知 yx, 是实数，则“ 2 1x y  ”的一个必要不充分条件是“ 2 2log logx y ” C．命题“ Zn  ， Qn ”的否定为“ 0 Zn  ， 0 Qn  ” D．若命题“  1,2x   ， 2 0x a  ”是真命题，则实数 a的取值范围是 (4, ) 10．已知空间四点        0,0,0 , 4,3,0 , 3,0,4 , 5,6,4O A B C ，则下列说法正确的是（ ） A． 12OA OB    B． 12cos , 25 OA OB     C．点O到直线 BC的距离为 5 D． , , ,O A B C四点共面 数学试题 第 2 页 共 2 页 11．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2， FE, 分别是棱 1 1,AB A B的中点，动点 P满足 AP AB AD      ，其中 , (0,1]   ，则下列命题正确的是（ ） A．若 2  ，则平面 1AB P 平面DEF B．若  ，则 1D P与 1 1AC 所成角的取值范围为 π π, 4 2      C．若 1 2    ，则 1PD ∥平面 1 1AC E D．若 3 2    ，则线段PF长度的最小值为 6 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．函数   ln 2f x x x ax   在点  )1(,1 f 处的切线与直线 2 2 0x y   相互垂直，则实数a  13．在等比数列 na 中, 73 ,aa 是函数   3 21 5 16 23f x x x x    的极值点，则 5a 14．在边长为 4的正方形 ABCD中，如图甲所示， MFE ,, 分别为 BECDBC ,, 的中点，分别沿 EFAFAE ,, 所在直线把 ADFAEB, 和 EFC 折起，使 DCB ,, 三点重合于点 P ,得到三棱锥 AEFP  ,如图乙所示，则三棱锥 AEFP  外接球的体积是 ；过点M 的平面截三棱锥 AEFP  外接球所得截面的面积的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆心为C的圆经过    1,3 , 1,1A B 两点，且圆心C在直线 : 0l x y  上. (1)求圆C的方程； (2)求过点  3, 1 且与圆C相切的直线方程. 16. 已知在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 ,,, cba 且 ca BA ba C     sinsinsin (1)求角 B； (2)若点D在 AC上， BD为 ABC 的角平分线， 32BD ，求 ca 2 的最小值． 17．已知数列 na 满足 nnn naaa 2222 2 21   .数列 nb 满足 1log-log 313  nn bb ，且 11 ab  (1)求数列 na ， nb 的通项公式; (2)求 nnba 的前 n项和 nT . 18．如图，在三棱台 DEFABC  中， 2AB BC AC   ， 1AD DF FC   ，N 为DF的中点， 二面角D AC B  的大小为 ． (1)求证： AC BN ； (2)若 π 2   ，求三棱台 DEFABC  的体积； (3)若 A到平面 BCFE的距离为 6 2 ，求 cos 的值． 19. 在高等数学中，我们将 ( )y f x 在 0x x 处及其附近用一个多项式函数近似表示，具体形式为：                  '' 20 0 0 0 0 0 02! ! n nf x f xf x f x f x x x x x x x n           （其中 ( )( )nf x 表示 ( )f x 的 n次导数），以上公式我们称为函数 ( )f x 在 0x x 处的秦勒展开式． 例如 xsin 在 0x  处的泰勒展开式为： 1 3 5 2 11 1 ( 1)sin 3! 5! (2 1)! n nx x x x x n         ； (1)分别求 xcos 和 xe 在 0x 处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的 x可以推广至复数域，试证明： 01ei  ．（其中 i为虚数单位）； (3)当 30, 2 x      时，求证： sine 1x x  ．（参考数据 5ln 0.9 2  ）