河南省新乡市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024—2025年度河南省高二上学期第三次月考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第1节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l经过点A(1,a),B(1,b),a<b,则l的倾斜角为 A.π/4 B.π/2 C.0 D.³π/4 2.关于空间向量a，b，c，下列运算错误的是 A. a·b=b·a B.(a+b)·c=a·c+b·c C.(λa)·b=λ(a·b) D.(a·b)c=a(b·c) 3.已知椭圆 的离心率为 且过点(0， )，则C的方程为 4.已知a=(0,1,2),b=(-1,1,1),c=(-1,0,m),若a,b,c共面,则m= A.0 B.1 C.2 D.-1 5.一条光线从点 P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为 A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. x-2y-2=0 D. x+2y-2=0 6.已知椭圆 过点M(-1,1)的直线l交C于A,B 两点,且M是AB 的中点,则直线l的斜率为 A. B. C. D. 7.如图,在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中,底面ABCD 是菱形,AA₁⊥平面ABCD 则点 B 到直线A₁D 的距离为 A.2 【高二数学 第1页(共4页)】 8.已知A(2,0),B(10,0).若直线 tx-4y+2=0上存在点 P,使得 则t的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆 的离心率为 ，则k 的值可以为 A. B. C.4 D. 10.圆 和圆 的交点为A,B,点M 在圆O₁上,点 N 在圆O₂上,则 A.直线AB 的方程为 B.线段 AB 的中垂线方程为y=2 D.点M 与点 N 之间的距离的最大值为8 11.若E∉平面γ,F∈平面γ,EF⊥平面γ,则称点 F 为点E 在平面γ内的正投影,记为F=tγ(E).如图,在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中， P,N 分别为AA₁,CC₁的中点, 记平面 A₁BC 为α,平面 ABCD 为β, A.若 则μ=1 B.存在点 H,使得 HK₁∥平面α C.线段HK₁长度的最小值是 D.存在点 H,使得 HK₁⊥HK₂ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线 与 互相垂直，则 13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,F 是的中点，则 14.已知圆椭圆 的左、右焦点分别为F₂，O为坐标原点，P 为椭圆C上一点，直线OP 与圆O交于点M，N，若 则|PM|·|PN|= ▲ . 【高二数学 第2页(共4页)】 ·25-163B1· cs 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知在 中,A(2,1),B(2,3),C(6,1),记 的外接圆为圆M. (1)求圆M 的标准方程； (2)求过点 A 且与圆M 相切的直线的方程. 16.(15分) 如图，长方体 的底面ABCD 是正方形,E、F、G 分别为( 的中点， (1)证明:EF∥平面AGD₁. (2)求二面角 的余弦值. 17.(15分) 在圆 上任取一点 P，过点 P 作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P 在圆上运动时，记线段 PD 的中点M 的轨迹为C. (1)求C 的方程. (2)直线l:y=x+m与C交于M,N 两点(点M,N不重合). ①求m 的取值范围； ②若m=1,求|MN|. 18.(17分) 如图,在三棱锥P-ABC 中,△PAB 为等边三角形,△ABC 为等腰直角三角形,PA=2,AC⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC. (1)证明:AB⊥PC. (2)点D 在线段 PC上，求直线AD 与平面 PBC 所成角的正弦值的最大值. 9.(17分) 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点A，B的距离之H 为定值λ(λ≠1)的点 P 的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点 T 到两个定点A(-3，0)，O(0，0)的距离之比 为定值2，则点 T 的轨迹就是阿氏圆，记为C. (1)求C 的方程; (2)若C与x轴分别交于E，F两点，不在x轴上的点H 是直线l：x=4上的动点，直线HE，HF分别与C的另一个交点为M，N，证明直线MN 经过定点，并求出该定点的坐标. 2024—2025年度河南省高二上学期第三次月考 数学参考答案 1. B 直线l 的斜率不存在，故直线l 的倾斜角为π/2. 2. D (a·b)c与a(b·c)不一定相等. 3. A 由题意可得 解得a=2，所以椭圆C的方程为 4. D 因为a,b,c共面,所以c= xa+ yb,即(-1,0,m)=x(0,1,2)+y(-1,1,1)=(--y,x+y,2x+y),则 解得x=--1,y=1,m=--1. 5. C 点 P(0,1)关于x轴对称的点为点P'(0,-1),所求方程对应的直线为 P'Q，其方程为 即x-2y-2=0. 6. A 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则两式相减可得 即 因为M是AB的中点，所以 I 直线l的斜率 所以 解得 7. D 取BC中点的F,连接AF.以A 为坐标原点,AF,AD,AA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 A₁(0,0,1),D(0,2,0),BA₁=(- ,1,1),A₁D=(0,2,-1).点B到直线A₁D的距离为 8. B 设P(x,y),则 因为 所以(2-x). 即 所以点 P 在以(6，0)为圆心，4为半径的圆上.因为点 P 在直线 tx--4y+2=0上,所以直线 tx--4y+2=0与圆( 有公共点， 则 解得 9. BD 若k>1,则 解得 若k<1,则 解得 10. ABD 将两圆的方程作差，可得 即直线AB 的方程为 A正确. 圆 圆( 圆O₁的圆心为O₁(0,2),半径 2，圆O₂的圆心为 线段AB 的中垂线经过O₁和O₂的圆心，故线段AB 的中垂线方程为y=2，B正确. 圆O₁的圆心O₁到直线 的距离为 ,故[ C错误. 点 M 与点 N 之间的距离的最大值为 D正确. 11. ABC 以A 为坐标原点,AD,AB,AA₁所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,连接PQ,BN. A₁(0,0,6),Q(3,0, ),B(0,6,0),N(6,6,3),P(0,0,3),则 所以Q,B,N,P 四点共面，若 则2--2+μ=1,解得μ=1,A正确.过点 H 作HG⊥A₁B,交A₁B 于点G,过点G作AB 的垂线，垂足即K₁，过点A 作A₁B的垂线，垂足即K₂，连接HK₁,HK₂.由题意可得 AH=6λ(0<λ<1),则H(0,0,6λ), ，则 易得 是平面α的一个法向量，若 ∥平面α，则 即3(3-3λ)+3(-6λ)=0,解得 符合题意，所以存在点 H,使得 HK₁∥平面α,B 正确. 当 时， 取得最小值，最小值为 C正确.若 则 得 无解，所以不存在点 H，使得 D'错误. 12.1 直线l₁的斜率 则直线l₂的斜率 解得a=1. 13.6 连接AD₁(图略). 【高二数学·参考答案 第2页(共6页)】 14.6 不妨设点 M 在射线OP 上,点 N 在射线 PO 上.因为|PM|=|OM|--|OP|=3-|OP|,|PN|=|ON|+|OP|=3+|OP|,所以|PM|·|PN|=9--|OP|².因为|PF₁|· 所以 即 所以△PF₁F₂是直角三角形， 所以|PM|·|PN|= 15.解:(1)(方法一)直线AB 的方程为x=2,线段AB 的中垂线方程为y=2,⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 直线AC 的方程为y=1，线段AC的中垂线方程为x=4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 直线y=2与直线x=4的交点为(4,2),即圆M的圆心为(4,2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 点(4,2)到点A(2,1)的距离为 ，即圆M的半径为 , ⋯⋯⋯ 6分 所以圆M的标准方程为( ………………… 7分 (方法二)设圆 M 的标准方程为 … … 3分 解得 … 5分 故圆 M 的标准方程为 …………………… 7分 (2)圆M的圆心为M(4,2),直线AM 的斜率为 ⋯ 10分 所求切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.…………………………………… 13分 16.解:设 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则0)…………………………………………………………………………2分 设平面 AGD₁的法向量为n=(x,y,z), 则 男 令x=2,则n=(2,-4,-1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 (1)证明:E(1,1,1), … 6分 【高二数学·参考答案 第3页(共6页)】 因为 所以 … 8分 所以EF∥平面 AGD₁. ………………………………………………………………………… 10分 (2)易知AB为平面ADD₁的一个法向量，且 ⋯ 12分 …14分 易得二面角(G-AD₁-D 为锐角,所以二面角G-AD₁-D 的余弦值为 … 15分 [注]第(1)问证法二如下： 连接EG,C₁D(图略).由题可得AD∥C₁B₁,AD=C₁B₁,所以四边形ADC₁B₁是平行四边形，所以AB₁∥C₁D,AB₁=C₁D. …………………………………………………………………1分 在△CC₁D中,( 所以 … 3分 所以四边形 EFAG 是平行四边形,所以EF∥AG. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 因为EF⊄平面AGD₁,AG⊂平面AGD₁,所以EF∥平面AGD₁. ………………………6分 17.解:(1)设点M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x₀,y₀),则点 D 的坐标为(x₀,0). 由M 是线段PD的中点，得 … ………2分 因为点 P 在圆 上，所以 ………3分 把 代入方程 得 即 所以C的方程为 …………………………………… 5分 (2)联立 得 … 7分 ①由. 解得 所以m的取值范围为( … ………………………… 10分 ②因为m=1,所以 解得 … 12分 故 … 15分 18.(1)证明:取AB的中点O,连接OP,OC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 因为△PAB 为等边三角形,所以OP⊥AB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 因为△ABC为等腰直角三角形,且AC⊥BC,所以OC⊥AB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 因为OP⊂平面 POC,OC⊂平面 POC,OP∩OC=O,所以AB⊥平面POC,⋯⋯⋯⋯ 4分 【高二数学·参考答案 第4页(共6页)】 所以AB⊥PC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 (2)解:因为平面PAB⊥平面ABC,平面 PAB∩平面ABC=AB,OP⊂平面 PAB,OP⊥AB,所以OP⊥平面ABC.⋯⋯⋯ 7分 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，--1，0)，C(1,0,0),P(0,0, ),B(0,1,0),CB=(-1,1,0),CP=(-1,0, …………………………………………………………………… 9分 设 则 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分 设平面 PBC 的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令 则x=3,y=3,所以 …… 13分 设直线AD 与平面PBC 所成的角为θ， 则 15分 当且仅当 时，等号成立. 故直线AD 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值为 ………… 17分 19.(1)解:设T(x,y),根据 得 …2分 即 所以C的方程为 ……… 4分 (2)证明:根据圆的对称性,不妨设E(-1,0),F(3,0). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 设H(4,t)(t≠0),则 …………… 6分 所以直线HE 的方程为 直线 HF 的方程为y=t(x-3).… 7分 设 联立方程 得( … 8分 所以 即 则 所以 … 9分 【高二数学·参考答案 第5页(共6页)】 联立方程 得 … 10分 所以 即 则 所以 ) 11分 所以直线MN 的方程为 化简得 …当 时 12分 14分 所以直线MN 过定点 15分 当 时， 此时直线MN 过定点( ·16分 综上，直线MN 过定点( … 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$