专题8.1 二分法与求方程近似解（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题8.1 二分法与求方程近似解 知识点一 函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 知识点二 函数零点的判定定理 函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 知识点三 二分法 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)： 若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]； 若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]． (4)判断是否达到精确度ε： 即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)． 3．二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解 题型一 求函数零点 解题技巧提炼 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 题型二 根据零点求解析式中参数 解题技巧提炼 利用零点定义，将零点代入解析式，令y为0． 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 根据零点判断函数值的符号 解题技巧提炼 根据函数单调性，以零点函数值0为媒介． 5．（20-21高一上·河南濮阳·期末）已知是函数的零点，若，则（    ） A． B． C． D．的符号不确定 6．（20-21高一上·江西景德镇·期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 7．（19-20高一上·吉林辽源·期中）已知是函数的一个零点，若则（   ） A． B． C． D． 题型四 零点存在性定理的应用 解题技巧提炼 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 9．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 题型五 判断零点所在区间 解题技巧提炼 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 11．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.（2022·江苏扬州·高一期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型六 根据零点所在区间求参数范围 解题技巧提炼 (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)． (2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0. 14．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 15．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 16．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 18．（22-23高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 题型七 判断零点个数 解题技巧提炼 判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 题型八 根据零点个数求参数 解题技巧提炼 依据：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 24．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 25．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数恰有两个零点，则实数a可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（21-22高一上·北京·期中）已知函数. （1）若时，集合恰有三个元素，则实数k的取值范围是 ； （2）若集合恰有两个元素，则实数a的取值范围是 . 题型九 根据零点分布求参数 解题技巧提炼 1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解． 2．二次函数零点的分布问题 二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题： (1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根． 由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究． 3.结合函数图象，应用函数零点存在性定理，构建不等式（组）． 30．（18-19高一·全国·课后作业）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 31．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 37．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的零点的个数并说明理由； (2)求函数零点所在的一个区间，使； 题型十 比较零点大小 解题技巧提炼 画出函数图象，数形结合即可判断. 38．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十一 求零点之和 解题技巧提炼 1.代数方法：求出零点，再求和； 2.数形结合，画出的大致图象，注意借助图象的对称性． 3.简单常见的对称问题结论： (1)点P(a，b)关于y轴的对称点为(－a，b)；关于x轴的对称点为(a，－b)．关于直线x＝m的对称点(2m－a，b)；关于直线y＝n的对称点为(a,2n－b)．关于原点的对称点为(－a，－b)； (2)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(2a－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． 42．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 43．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 45．（多选）（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 46．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 47．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 48．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 题型十二 二分法及其应用 解题技巧提炼 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 49．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 50．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 51．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分． 52．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 53．（24-25高一上·全国·课前预习）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆．想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 54．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点．试用二分法求出该零点的近似值．（结果精确到0.1） 55．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 二分法与求方程近似解 知识点一 函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 知识点二 函数零点的判定定理 函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 知识点三 二分法 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)： 若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]； 若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]． (4)判断是否达到精确度ε： 即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)． 3．二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解 题型一 求函数零点 解题技巧提炼 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】根据题意知函数在区间上单调递减， 函数在区间单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又因， 又因在上是连续不中断的， 所以根据零点存在定理即可得知存在使得. 故选：C 2.（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【知识点】求函数的零点、求函数值 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 题型二 根据零点求解析式中参数 解题技巧提炼 利用零点定义，将零点代入解析式，令y为0． 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 题型三 根据零点判断函数值的符号 解题技巧提炼 根据函数单调性，以零点函数值0为媒介． 5．（20-21高一上·河南濮阳·期末）已知是函数的零点，若，则（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【答案】B 【知识点】根据零点判断函数值的符号、根据解析式直接判断函数的单调性 【解析】根据题意判断得函数的定义域，分析函数的单调性，由函数零点的定义可得，利用单调性即可判断出. 【详解】函数的定义域为，已知函数，，在上是减函数，所以可判断函数在上是减函数，又因为是函数的零点，即，根据单调性可得，当，. 故选：B. 6．（20-21高一上·江西景德镇·期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 【答案】D 【知识点】根据零点判断函数值的符号 【解析】先由题中条件，判定，再举例判断可能大于0或小于0，即可得出结果. 【详解】因为函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，所以当时，对应区间内的任意实数，都有，所以； 若，满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 若，也满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 所以的值与0的大小关系无法确定. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据方程在上仅有一个实根，判断出，再结合特例法，即可得出结果. 7．（19-20高一上·吉林辽源·期中）已知是函数的一个零点，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出在区间上单调递增，根据函数的零点的位置，确定，从而得出答案. 【详解】函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增 则函数在区间上单调递增 由于，，则 即 故选：B 题型四 零点存在性定理的应用 解题技巧提炼 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 9．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】先利用对数函数与一次函数的单调性判断的单调性，再利用零点存在定理即可得解. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即. 故选：B. 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 【答案】3 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】利用零点存在性定理求解即可, 【详解】由题意得， 故由零点存在性定理知函数在区间上零点的个数至少为3， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型五 判断零点所在区间 解题技巧提炼 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 11．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由于时，；时，，利用二次函数的性质可判断方程一个解x的范围为． 【详解】∵时，；时，， 则在0.61和0.62之间有一个值能使的值为0， ∴方程一个解x的范围为． 故选：C． 12.（2022·江苏扬州·高一期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数,是单调递增函数， 当 时，， ， 故 故函数的零点所在的区间为， 故选：B 13．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据函数解析式判断出在上的单调性，再由零点存在性定理判断可得答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又因为， ， 而， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B. 题型六 根据零点所在区间求参数范围 解题技巧提炼 (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)． (2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0. 14．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 15．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、判断零点所在的区间 【分析】作出函数与的大致图象，设，求出、的正负可得答案． 【详解】作图易知函数的图象与函数的图象 在y轴两侧各有一个交点， 设， 则，， ，， 故，， 所以函数的零点所在区间是，． 故或． 故选：C.    16．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、判断零点所在的区间 【分析】根据函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 18．（22-23高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据一次函数零点的分布求参数范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 题型七 判断零点个数 解题技巧提炼 判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增， ，题意，所以. 对于方程，即， 两边除以得， 函数，在上单调递增， ，所以有唯一零点在区间， 所以方程有唯一解. 故选：B 20．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 21．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理分段求解即可. 【详解】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2. 故选：C 22．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先作出函数的图象，结合直线恒过，根据两个图象的交点情况可求答案. 【详解】关于的方程至少有两个不相等的实数根， 则直线与的图象至少两个不同的交点， 作出函数的图象如下，直线恒过， 当直线与相切时，， 由可得，此时与平行， 所以此时方程只有一个根，不合题意； 当时，与有两个交点，符合题意； 当时，与有三个交点，符合题意； 当时，经过点时，与有两个交点， 此时，若，与有三个交点， 综上可知，方程至少有两个不相等的实数根，实数的取值范围为. 故选：B. 23．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【知识点】函数图象的变换、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    题型八 根据零点个数求参数 解题技巧提炼 依据：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 24．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 25．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解. 【详解】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 26．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先求的解析式，然后画出的图象，根据图象确定正确答案. 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以 ， 当时，，所以 ， 画出、的图象如图所示， 问题转化为函数的图象与直线的至少有5个公共点， 由图可知，故的范围是B正确.    故选：B 【点睛】关键点睛： 图象的精确绘制：绘制函数的图象是解题的关键，通过准确的图象确定直线与曲线的交点个数，进而得到解的数量． 交点数量与参数的关系：通过分析图象，确定直线与函数图象的交点个数，进而得到参数的范围，这是解题的突破口． 27．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 28．（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数恰有两个零点，则实数a可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】利用函数图像的两个交点，写出结果即可． 【详解】函数有两个零点， 则的图象有两个交点， 画出函数和的图象，如图 结合图象可知. 故选：ABC 29．（21-22高一上·北京·期中）已知函数. （1）若时，集合恰有三个元素，则实数k的取值范围是 ； （2）若集合恰有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 // // 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据一次函数零点的分布求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）作出此时函数的图象，数形结合分析即得解； （2）通过数形结合分析得到必须包含，必须包含点，即得解. 【详解】（1）时，，函数的图象如图所示， 集合恰有三个元素，所以实数k的取值范围是； （2）对于函数，满足的只有； 对于函数，满足的只有； 又， 如图所示，要使集合恰有两个元素， 所以必须包含，必须包含点， 所以. 故答案为：；. 题型九 根据零点分布求参数 解题技巧提炼 1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解． 2．二次函数零点的分布问题 二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题： (1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根． 由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究． 3.结合函数图象，应用函数零点存在性定理，构建不等式（组）． 30．（18-19高一·全国·课后作业）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 【答案】D 【知识点】根据一次函数零点的分布求参数范围 【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解. 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 31．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是， 故选：C． 32．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 33．（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据一元二次方程的解法及韦达定理，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由题可得， 解得. 故选：B. 34．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据函数在上的单调性，判断唯一零点，得到不等式组，求解参数范围. 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 35．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数零点的分布求参数的范围、判断指数函数的单调性 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 37．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的零点的个数并说明理由； (2)求函数零点所在的一个区间，使； 【答案】(1)一个，理由见解析； (2) 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数、判断零点所在的区间 【分析】（1）先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理即可判断零点个数； （2）由（1）知函数零点所在的一个区间为，因，故得函数零点所在的一个区间为，又因，故得函数零点所在的一个区间为，满足，故得结果. 【详解】（1）因的定义域为，且函数在上单调递增， 故函数在上至多有一个零点. 又，由零点存在定理可知，函数在上必有一个零点. 故函数在上只有一个零点. （2）由（1）知函数在上必有一个零点.，且， 又，故函数零点所在的一个区间为， 又，故函数零点所在的一个区间为， 而，即函数零点所在的一个区间为. 题型十 比较零点大小 解题技巧提炼 画出函数图象，数形结合即可判断. 38．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 39．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果. 40．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系 【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：. 故选：B. 41．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：B 题型十一 求零点之和 解题技巧提炼 1.代数方法：求出零点，再求和； 2.数形结合，画出的大致图象，注意借助图象的对称性． 3.简单常见的对称问题结论： (1)点P(a，b)关于y轴的对称点为(－a，b)；关于x轴的对称点为(a，－b)．关于直线x＝m的对称点(2m－a，b)；关于直线y＝n的对称点为(a,2n－b)．关于原点的对称点为(－a，－b)； (2)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(2a－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． 42．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、求零点的和、求函数零点或方程根的个数 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 43．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 则， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，得， 所以的取值范围是. 故选：B. 44．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、求零点的和、判断指数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 45．（多选）（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、求零点的和 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 46．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】不妨设，根据对数的运算性质可得出，则，且，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为、， 所以，所以，即，即， 所以，，其中，所以，， 因为函数在上为减函数，当时，， 所以，，故的取值范围是. 故答案为：. 47．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【知识点】求零点的和 【分析】画出的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    【点睛】对于二次函数，它的对称轴为直线，在求解对称问题的过程中尤为重要.对于含有绝对值的对数函数，要注意绝对值的位置，如与的图象有很大的区别. 48．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、求零点的和 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 题型十二 二分法及其应用 解题技巧提炼 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 49．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 50．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、二分法求方程近似解的过程 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理，结合精确度的理解就可以确定答案. 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. 51．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分． 【答案】11 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 令，又，解得. 故答案为：11． 52．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 【答案】 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点， 又由，则， 第一次用二分法，由， 因为，可得，即，可得，所以， 所以确定函数的零点所在区间为； 第二次用二分法，由， 因为，可得，即 所以，所以确定函数的零点所在区间为， 所以第二次求得的区间的中点值为. 故答案为：. 53．（24-25高一上·全国·课前预习）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆．想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 【答案】答案见解析 【知识点】二分法求函数零点的过程 【详解】如图所示．工人首先从线路的中点C查起， 如果CB段正常，就选择CA的中点D测试； 如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试，， 像检修线路所用的这种方法称作二分法． 54．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点．试用二分法求出该零点的近似值．（结果精确到0.1） 【答案】1.6 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的思想及操作步骤求解即可. 【详解】因为, 所以, 取区间中点 , 且 , 从而可知零点在 内; 再取区间中点 , 且 ,从而可知零点在内； 同理取区间中点 , 且 0 ，从而可知零点在内； 故此函数的零点是 55．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【答案】 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示．设，由二分法的定义求解即可. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示， 可以发现方程有唯一解，记为，并且解在区间(1,2)内． 设，则的零点为． 用计算器计算得，； ，， ，， ，， ，， ∵， ∴曲线和直线的交点的横坐标约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$