专题7.4 三角函数应用（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题7.4 三角函数应用 知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)； (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)； (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)； (4)ωx＋φ：称为相位(phase)； (5)φ： x＝0时的相位，称为初相(initial phase)． 知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 　R　 值域 [－A，A] 周期性 T＝　　 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当　φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 题型一 三角函数模型在物理中的应用 解题技巧提炼 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． 1．（22-23高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（20-21高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 5．（多选）（22-23高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 6．（多选）（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（    ）． A．小球开始时在平衡位置上方2cm处 B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处 C．经过小球重复振动一次 D．小球振动的频率为 7．（2023高一上·江苏·专题练习）若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求s时钟摆的高度． 8．（20-21高一·江苏·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：    (1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复运动一次？ (4)每秒钟小球能往复振动多少次？ 9．（20-21高一下·陕西榆林·阶段练习）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中. (1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？ (2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？ 题型二 三角函数模型在生产生活中的应用 解题技巧提炼 利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ． 10．（22-23高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 11．（23-24高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 12．（20-21高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    14．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转. (1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式； (2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？ 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 18．（22-23高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？ 题型三 三角函数模型在几何中的应用 解题技巧提炼 结合图形特征，构建三角函数模型． 19．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 21．（多选）（2023·吉林·二模）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一下·江西萍乡·期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 23．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点在单位圆上以的速度逆时针方向匀速运动，每间隔记录一次点的纵坐标，经过一小时的记录发现纵坐标始终只有两个值和，则 ． 24．（22-23高一·全国·随堂练习）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 三角函数应用 知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)； (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)； (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)； (4)ωx＋φ：称为相位(phase)； (5)φ： x＝0时的相位，称为初相(initial phase)． 知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 　R　 值域 [－A，A] 周期性 T＝　　 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当　φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 题型一 三角函数模型在物理中的应用 解题技巧提炼 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． 1．（22-23高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由正弦（型）函数的周期性求值、诱导公式一 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】三角函数在物理学中的应用、三角函数图象的综合应用 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，， ， 则， ， . 因为过点， 由，得. ∵， ∴. 因此频率，初相为. 故选：A 3．（20-21高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则， 周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A. 4．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错. 故选：BC. 5．（多选）（22-23高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 【答案】ACD 【知识点】三角函数在物理学中的应用、三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】A选项，根据图象性质得到函数的最小正周期，进而求出频率；B选项，根据，求出；C选项，结合图象，代入求出；D选项，根据题意及最小正周期得到时，第三次回到平衡位置. 【详解】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确； B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误； C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确； D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确. 故选：ACD． 6．（多选）（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（    ）． A．小球开始时在平衡位置上方2cm处 B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处 C．经过小球重复振动一次 D．小球振动的频率为 【答案】BCD 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】A选项，即判断时，s的值是否为2； B选项，即判断s的最小值是否为； CD选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误. 【详解】A选项，时，，即小球开始时在平衡位置上方cm处，故A错误； B选项，由题可知s的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处，故B正确； C选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C正确； D选项，由C选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D正确. 故选：BCD 7．（2023高一上·江苏·专题练习）若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求s时钟摆的高度． 【答案】(1)s (2)20mm． 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据函数图象可求出函数的周期； （2）利用函数的周期结合图象求解即可. 【详解】（1）由图象可知，该函数的周期为s； （2）设，因为函数的周期为s， 所以， ∴s时钟摆的高度为20mm． 8．（20-21高一·江苏·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：    (1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复运动一次？ (4)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)平衡位置上方处 (2)； (3)秒 (4)次. 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里. （2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案； （3）求出函数的周期，即得答案； （4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案. 【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，    当时，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； （2）的最大值为2，最小值为， 则小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是； （3）由于，故经过小球往复运动一次； （4）每秒钟小球能往复振动次. 9．（20-21高一下·陕西榆林·阶段练习）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中. (1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？ (2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？ 【答案】(1)1.5cm； (2). 【知识点】特殊角的三角函数值、由余弦（型）函数的周期性求值、三角函数在物理学中的应用 【分析】（1）根据给定条件，把代入直接计算作答. （2）利用余弦型函数周期公式，列式计算作答. 【详解】（1）在函数中，当时，， 所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm. （2）依题意，，而周期，又，则，即，解得()， 所以线的长度l应该为. 题型二 三角函数模型在生产生活中的应用 解题技巧提炼 利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ． 10．（22-23高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】由三角函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B 11．（23-24高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】先求出函数的单调递增区间，根据选项进行判断即可. 【详解】令，得， 因为， 所以当 时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数的单调递增区间为． 因为， 所以车流量在时间段 内是增加的， 故选：C. 12．（20-21高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数与解三角形 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 13．（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    【答案】 4 【知识点】三角函数在生活中的应用、解余弦不等式 【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可； （2）解不等式即得. 【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径， 风车转动一圈为秒，则角速度， 如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系， 设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设， 以为始边，为终边的角不妨取， 那么经过（秒）后，运动到点， 于是，以为始边，为终边的角为， 由三角函数定义知， 则， 所以. （2）令， 所以, 所以. 当时，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒. 故答案为：；.    14．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    【答案】 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】依题意设，再根据题意和函数的周期求出，即可得到函数解析式； 【详解】依题意设，则，周期，又，解得，所以. 故答案为：. 15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      【答案】 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据题意求得，由区间的区间长度个周期，分区间在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得，所以， 又由，可得，解得 因为，所以，所以， 由区间的区间长度为，即区间长度为个周期， 当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得 则， 因为，可得，当或时，取最小值； 当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得， 此时函数在上先增后减，此时， 不妨设，则 ， . 综上可得，最小值为. 故答案为：. 16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转. (1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式； (2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？ 【答案】(1) (2)分钟. 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、解正弦不等式、几何中的三角函数模型 【分析】（1）建立以圆心为坐标原点的坐标系，根据任意角三角函数的概念表示出的纵坐标即可求解；（2）令，解三角不等式即可求解. 【详解】（1） 以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴， 过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系. 以轴非负半轴为始边，为终边的角为； 点时刻所转过的圆心角为：. 若时刻时蚂蚁爬到圆环点处， 那么以轴非负半轴为始边， 为终边的角为， 则点纵坐标为， 所以 （2）令， 即所以， 解得， 所以在一周范围内，距离地面超过持续时间为： 分钟. 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2),. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得； （2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得. 【详解】（1） 如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为， 因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：； （2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为， 则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为， 故， 由可知：，故当或时，， 即在或时，两人距离地面的高度差最大，为. 18．（22-23高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？ 【答案】(1)； (2)在0时至4时或12时至16时进出港. 【知识点】三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式 【分析】（1）根据给定的数表，依次求出，写出解析式作答. （2）由（1）的结论，解不等式即可作答. 【详解】（1）由表格知，，则，， 函数的周期，则，即有，又， 即，而，则， 所以． （2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港， 由，得，解得， 即，而，因此当时，；当时，， 所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港. 题型三 三角函数模型在几何中的应用 解题技巧提炼 结合图形特征，构建三角函数模型． 19．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式. 【详解】根据题意可设， 因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点， 所以， 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数， 由，得， 又因为， 所以，，， 所以该函数的单调递增区间是，，，. 故选：B 20．（多选）（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 【答案】AC 【知识点】三角函数在生活中的应用、几何中的三角函数模型、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据角速度的概念、任意角的三角函数定义以及三角函数的周期公式计算. 【详解】由题可知，质点的角速度为， 因为点P为起始点，沿逆时针方向运动， 设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有： ，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误； 因为，所以的最小正周期为，故C正确，D错误. 故选：AC. 21．（多选）（2023·吉林·二模）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、几何中的三角函数模型 【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角， 设t时刻两点重合，则,即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合. 故选：ABD. 22．（22-23高一下·江西萍乡·期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 【答案】 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】   令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 23．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点在单位圆上以的速度逆时针方向匀速运动，每间隔记录一次点的纵坐标，经过一小时的记录发现纵坐标始终只有两个值和，则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数在生活中的应用 【分析】由余弦函数的取值和诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得，点每间隔转过的角度为， 设点从开始转动，记录的纵坐标为， 所以纵坐标的可能取值为， 所以. 故答案为：. 24．（22-23高一·全国·随堂练习）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    【答案】轨迹见解析，是周期为4的函数. 【知识点】几何中的三角函数模型、函数周期性的应用 【分析】分析的运动过程并判断是否存在周期，再画出其轨迹，即可确定是否为周期函数. 【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4. 考查正方形向右滚动时，点运动情况： 首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：      由图知：是周期为4的函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$