第七章 三角函数章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

第七章 三角函数章末重点题型复习 题型一 扇形弧长、面积公式的应用 1．（11-12高一下·浙江湖州·阶段练习）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 题型二 扇形计算中的最值问题 4．（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 题型三 三角函数的概念 6．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 题型四 三角函数线及其应用 9．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 题型五 sinα，cosα，tanα知一求二 11．（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 题型六 关于sinα，cosα的齐次式 13．（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 14．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 15．（11-12高一下·浙江湖州·阶段练习）已知，求： (1)； (2)的值. 题型七 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 16．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ． 18．（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，，则= ，= ． 题型八 诱导公式的应用 19．（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·全国·课前预习）（1） ； ； （2）计算： ． 题型九 三角函数式的化简、求值 21．（12-13高一下·湖南怀化·期末）化简： ． 22．（23-24高一下·广西梧州·期中）化简： ． 23．（24-25高一上·全国·课前预习）化简：． 24．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 25．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 题型十 三角恒等式的证明 26．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 27．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 28．（20-21高二下·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 题型十一 三角函数的图象及其应用 29.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 30．（23-24高一上·天津·期末）设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 31．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学）某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)当时，求不等式的解集． 题型十二 三角函数式的定义域、值域问题 32．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 35．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 题型十三 三角函数的周期性 37．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，则 ． 38．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 39．（23-24高一下·河南信阳·开学考试）定义在上的函数满足，且，则 ． 40．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的最小正周期． (1)； (2). 题型十四 三角函数的奇偶性 41．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 42．（22-23高一下·河南开封·阶段练习）下列函数中，以为周期的奇函数是（　　） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 题型十五 三角函数的单调性 44．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 45．（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为 ． 47．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 48．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式，，求不等式的解集． 题型十六 三角函数的对称性 49．（22-23高一下·北京·期中）函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 50．（2023·四川雅安·一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十七 三角函数图象的变换 51．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 题型十八 三角函数零点问题 54．（23-24高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 55．（23-24高一上·天津·期末）若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为 ． 题型十九 三角函数图象和性质的综合应用 56．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 57．（22-23高一下·四川内江·期中）已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 58.（多选）（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 59．（多选）（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 60．（多选）（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 61.（23-24高一上·福建福州·期末）试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为： ． 62．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴、对称中心； (3)当x取何值时，函数有最值； (4)求函数的单调区间； (5)判断函数在上的单调性； (6)求函数在上的值域； (7)求函数的解集． 63．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 64．（21-22高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型二十 三角函数模型的实际应用 65．（2023·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm. 66．（21-22高一上·浙江杭州·期中）如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数章末重点题型复习 题型一 扇形弧长、面积公式的应用 1．（11-12高一下·浙江湖州·阶段练习）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解即可. 【详解】因为扇形的面积为，半径为1，且设圆心角为， 所以，解得，故B正确. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 3．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，易知， 因此. 故选：C. 题型二 扇形计算中的最值问题 4．（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【知识点】基本（均值）不等式的应用、扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形中的最值问题、弧长的有关计算 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【知识点】扇形中的最值问题、弧长的有关计算、角度化为弧度 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 题型三 三角函数的概念 6．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 7．（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由角是第二象限角可得，，即可得解. 【详解】若角是第二象限角，则，， 则，，故A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 题型四 三角函数线及其应用 9．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、三角函数线的应用 【分析】首先证明当时，再由对数的运算性质得到，即可判断. 【详解】首先证明当时， 构造单位圆，如图所示： 则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即， 又，，， 所以. 故选：D 10．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数线的应用 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 题型五 sinα，cosα，tanα知一求二 11．（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得. 【详解】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【答案】答案见解析 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解 【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 题型六 关于sinα，cosα的齐次式 13．（10-11高一下·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先根据同角三角函数的基本关系把代换掉，再根据弦化切，最后把代入即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 14．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】由,然后用齐次化的方法求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 15．（11-12高一下·浙江湖州·阶段练习）已知，求： (1)； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）（2）合理对原式进行化简变形，构造含有的代数式，代入求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， （2）由题意得， ， 将代入其中，得到，故原式值为. 题型七 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 16．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D. 【详解】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 7故选：BD 39．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】先由得出，再结合平方关系得出的值. 【详解】 ∴. . 故答案为：. 18．（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，，则= ，= ． 【答案】 / 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】对平方即可求解，根据完全平方公式，联立方程即可求解，即可求解. 【详解】，. ，，又，； 由得： 或（舍），. 故答案为：；25． 题型八 诱导公式的应用 19．（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可. 【详解】因为，，所以， 则，， ，，则AC正确，BD错误. 故选：AC. 20．（24-25高一上·全国·课前预习）（1） ； ； （2）计算： ． 【答案】 / / 1 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）； ； （2）； ； . 故答案为： 题型九 三角函数式的化简、求值 21．（12-13高一下·湖南怀化·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式化简可得. 【详解】 故答案为： 22．（23-24高一下·广西梧州·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【详解】. 故答案为： 23．（24-25高一上·全国·课前预习）化简：． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】原式 ． 24．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可； （2）利用完全平方公式和同角三角函数的基本关系进行化简即可得解. 【详解】（1）原式=． （2）原式 ． 25．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 题型十 三角恒等式的证明 26．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 27．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 28．（20-21高二下·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】求出，，即得证. 【详解】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 题型十一 三角函数的图象及其应用 29.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值. 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 30．（23-24高一上·天津·期末）设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象可得，，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数解析式中结合可求出的值，从而可求出函数解析式. 【详解】由图象知，， 又，， 所以，得． 所以， 将点代入，得， 即，又， 所以． 所以． 故答案为：． 31．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学）某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)表格见解析， (2) 【分析】（1）利用五点作图法完善表格即可，根据表中数据求出即可求出函数解析式； （2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1）由表可知， 所以，所以， 又，所以， 所以， 表格如下： 0 0 0 （2），即， 所以，解得，， 又因，所以， 即不等式的解集为． 题型十二 三角函数式的定义域、值域问题 32．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 33．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断. 【详解】的定义域为，值域为， 则，则观察函数图象可得， 的最大值为，的最小值为， ，故不可能是. 故选：D. 34．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 35．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含tanx的二次式的最值、求正切（型）函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 即函数的定义域为． （2）令，∵， ∴由正切函数的单调性可知， ∴原函数可化为，， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ∴原函数的值域为． 故答案为：； 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】，，， 因为上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 题型十三 三角函数的周期性 37．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，则 ． 【答案】或 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得其最小正周期为， 结合题意，可得，即，解得. 故答案为：或. 38．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 【答案】2 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、特殊角的三角函数值 【分析】由题意可知以6为周期，枚举求出前项，然后计算前项和，计算周期数以及剩余项求和即可. 【详解】易知以6为周期.枚举得，，，，，， 所以.又， 所以. 故答案为： 39．（23-24高一下·河南信阳·开学考试）定义在上的函数满足，且，则 ． 【答案】 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，由条件确定函数的周期，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即，所以函数是以为周期的函数， 所以， 因为， 令，可得， 且， 所以， 所以. 故答案为： 40．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的最小正周期． (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据最小正周期的定义求解即可， （2）根据函数图象变换和余弦函数的周期求解 【详解】（1）因为， 所以自变量至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以函数的最小正周期是. （2）因为的最小正周期为π，且函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到轴上方， 并且保留在轴上方图象而得到的． 由此可知所求函数的最小正周期为. 题型十四 三角函数的奇偶性 41．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 42．（22-23高一下·河南开封·阶段练习）下列函数中，以为周期的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式即可求解. 【详解】对于A，，,函数的定义为,，所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，,函数的定义为,，所以以为周期的奇函数，故B正确； 对于C，，,函数的定义为，，所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义为，，所以为偶函数，故D错误. 故选：B. 43．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数． 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域 【分析】（1）求出函数定义域，再根据奇偶性的定义判断； （2）求出函数定义域，再根据奇偶性的定义判断． 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称． ∵， ∴为奇函数． （2）函数，由得， ∴函数的定义域为，定义域关于原点对称． 当时，，，． ∴既是奇函数又是偶函数． 题型十五 三角函数的单调性 44．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、求cosx型三角函数的单调性 【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 45．（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较余弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】首先判断，然后根据三角函数的定义和单调性判断即可得出答案. 【详解】因为是钝角，所以，，， 因为，在上是减函数， 所以， 而在上是增函数，可得， 所以，所以， 故选：A. 46．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为 ． 【答案】. 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，求得的递减区间为，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得实数的取值范围. 【详解】因为函数， 令，可得， 即函数的单调递减区间为， 又因为函数在区间上单调递减，可得， 解得， 又由，可得，即且，所以， 令，可得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 47．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 【答案】函数的单调递增区间为． 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】利用正切函数的性质，通过整体角的范围解出范围即可得. 【详解】由题意，得，， 即，， 所以，， 故函数的单调递增区间为． 48．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式，，求不等式的解集． 【答案】 【知识点】解正弦不等式 【分析】利用三角不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，则， 因为不等式在上的解集为， 所以当时，不等式的解集为． 题型十六 三角函数的对称性 49．（22-23高一下·北京·期中）函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【知识点】正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据选项，采用代入法，判断选项. 【详解】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误； B. ，所以函数关于直线对称，故B正确； C. ，所以函数不关于点对称，故C错误； D. ，所以函数不关于点对称，故D错误； 故选：B 50．（2023·四川雅安·一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则当，可得，为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立； 若函数的图象关于直线对称， 则，解得， 不一定成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：A. 题型十七 三角函数图象的变换 51．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 52．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 53．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先求出平移后的函数图象，再依据图象重合列出方程求解即可. 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 题型十八 三角函数零点问题 54．（23-24高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用 【分析】由直接求解在内的零点即可. 【详解】由，得， 解得， 由，得， 因为，所以， 所以区间内的零点个数为4. 故选：C 55．（23-24高一上·天津·期末）若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围、求cosx(型)函数的值域 【分析】由题意可得存在，使得函数在区间上有零点，分情况讨论，若不是函数的零点则转化为在的值域与有交集，然后分，和三种情况求的值域，然后由值域与有交集可求得a的取值范围. 【详解】存在，使得函数在区间上有零点， 若为函数的零点，则， 若不是函数的零点，则，由， 得，则在的值域与有交集， ①若，则由对勾函数的性质可知在上递增，在上递增， 所以其值域为，此时无交集，舍去； ②若，则由对勾函数的性质可知在和上递减，在和上递增， 所以其值域为，则，故； ③若，则在和上递减， 所以其值域为，则，故． 综上． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查对勾函数的性质的应用，考查余弦函数的性质，解题的关键是将问题转化为函数在的值域与有交集，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 题型十九 三角函数图象和性质的综合应用 56．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx型三角函数的单调性、诱导公式二、三、四 【分析】由图象分析取，，得，结合诱导公式，三角函数的单调性，奇偶性分别判断即可． 【详解】对于A，由图象可知，取，，即，则，取 ，即，取， 所以，故A错误； 对于B，当时，设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：C． 57．（22-23高一下·四川内江·期中）已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据函数的最小正周期为可求出，从而可得，根据函数图象关于点对称可得出，根据，可得或，根据单调性，可得的值. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，解得， 则，因为函数图象关于点对称， 所以，解得， 因为，所以或. 令，解得：， 所以的单调递增区间为， 又函数在区间上单调递增， 所以，， 解得：， 因为，所以，故， 故选：D 58.（多选）（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 【答案】AC 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性 【分析】对于AC：根据对称性的定义分析判断；对于B：根据A中结论根据周期性的定义分析判断；对于D：换元令，构建函数，结合单调性和奇偶性分析值域即可. 【详解】对于选项A：令，解得， 可知的定义域为， 且， ， 可得，所以关于对称，故A正确； 对于选项B：因为， 所以不是的周期，故B错误； 对于选项C：因为， 所以是的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：令，则， 且在单调递增，则， 可知在上的范围为， 且，可知为奇函数， 则在上的范围为， 所以的值域为，故D错误. 故选：AC. 59．（多选）（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 60．（多选）（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间. 【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则， 所以的对称中心为， 当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，由上的最小正周期为，故B错误； 对于C，当，，故，故C正确； 对于D，令，所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令即，所以即， 所以函数的零点为，    所以函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD. 61.（23-24高一上·福建福州·期末）试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦函数的对称性求单调性 【分析】结合三角函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】由条件可设， 由函数的周期为，可知，可以为2， 因为函数的图象关于直线对称，则，,所以可以为0， 则， 又函数在上单调递减，，，所以， 则可以为， 所以满足条件的一个函数 故答案为：（答案不唯一） 62．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴、对称中心； (3)当x取何值时，函数有最值； (4)求函数的单调区间； (5)判断函数在上的单调性； (6)求函数在上的值域； (7)求函数的解集． 【答案】(1) (2)对称轴，对称中心 (3)时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值 (4)增区间为，减区间为 (5)减区间为，增区间为 (6) (7) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期公式，即可求得答案； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心，利用整体代换的方法，即可求得答案； （3）根据正弦函数的最值，利用整体代换的方法，即可求得答案； （4）根据正弦函数的单调性，利用整体代换的方法，求解不等式，即可求得答案； （5）根据x的范围，确定，结合正弦函数单调性，即可求得答案； （6）根据x的范围，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （7）由可得，结合正弦函数性质，解三角不等式，即可得答案. 【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为． （2）令，求得， 可得函数图象的对称轴为； 令，求得， 可得函数图象的对称中心为； （3）令，求得， 可得当时，函数取得最大值为2； 令，求得， 可得当时，函数取得最小值为-2． （4）令，求得， 可得函数的增区间为． 令，求得， 可得函数的减区间为． （5）在上，， 故当时，即时，函数单调递减； 当时，即时，函数单调递增， 故函数在上的减区间为，增区间为； （6）在上，， 故当时，函数取得最小值为-2； 当时，函数取得最大值为， 故函数的值域为； （7）函数，即，故有， 求得， 故函数的解集为. 63．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【答案】(1)； (2)（）； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【详解】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 64．（21-22高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【详解】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 题型二十 三角函数模型的实际应用 65．（2023·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm. 【答案】 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据已知可得、且求解析式，将代入求值即可. 【详解】由题意，且最小正周期，即，故， 所以，且，即， 不妨令，故， 当，则. 故答案为： 66．（21-22高一上·浙江杭州·期中）如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 . 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解. 【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为， 设在时，距离地面的高度为，其中， 则，可得，则， 由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以， 即， 当时，可得，即， 因为，解得， 所以， 令，可得. 所以，游客进舱时他距离地面的高度为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$