第七章 三角函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

第七章 三角函数 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（22-23高一下·江苏常州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高一上·江苏连云港·期中）已知，则点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．2 D． 5．（22-23高一上·山东青岛·期末）下述正确的是（    ） A．若为第四象限角，则 B．若，则 C．若的终边为第三象限平分线，则 D．“”是“”的充要条件 6．（22-23高一下·江苏盐城·期中）设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·江苏南京·期中）如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（19-20高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·江苏南京·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A．该函数的解析式为 B．点是该函数图象的一个对称中心 C．该函数的减区间是， D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，可得到该函数图象 11．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（18-19高一上·福建福州·期末）函数的定义域是 . 13．（22-23高一下·江苏镇江·期中）若点是函数图象的对称中心，则的最小正周期是 ． 14．（23-24高一上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，若角的终边与角的终边关于轴对称，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）若角，且 求：（1）的值； （2）的值. 16．（15分）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17．（15分）（22-23高一下·江苏苏州·期中）如图，一个直径为的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心距离水面的高度为，水车上的盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计时，则与时间（单位：）之间的关系为. (1)求与的函数解析式； (2)求在一个旋转周期内，盛水筒在水面以上的时长. 18．（15分）（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 19．（15分）（22-23高一下·山东聊城·期中）已知函数，满足______． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为，求实数的最小值． 在①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为； ③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（22-23高一下·江苏常州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 2．（19-20高一上·江苏连云港·期中）已知，则点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、确定已知角所在象限 【分析】首先判断位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】解：因为，所以为第四象限角， 所以，， 所以点位于第四象限； 故选：D 3．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的基本关系式求得，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】因为，且，所以， 又因为． 故选：D． 4．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 5．（22-23高一上·山东青岛·期末）下述正确的是（    ） A．若为第四象限角，则 B．若，则 C．若的终边为第三象限平分线，则 D．“”是“”的充要条件 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、充要条件的证明、已知三角函数值求角、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可 【详解】对于A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得，故不正确； 对于B，若，则，故不正确； 对于C，若的终边为第三象限平分线，则， 此时，故不正确； 对于D，由可得，即，满足充分性； 由可得，所以，满足必要性，故正确 故选：D 6．（22-23高一下·江苏盐城·期中）设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 7．（22-23高一下·江苏南京·期中）如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】法一、设正方形边长，再利用的三角函数表示弦图中的对应边，化简计算即可； 法二、直接设边，计算其比例即可. 【详解】法一、设，则，同理， 所以， 平方得， 同除得，解得. 法二、设直角三角形的斜边为，两直角边为，显然. 则由题意可得：， 解之得：，而，故 故选：D 8．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数的最值求参数 【分析】化简可得，设，可判定为奇函数，根据奇函数的性质即可得出，求解即可得出答案. 【详解】因为， 设，则， 所以，为R上的奇函数. 根据奇函数的性质可知，， 所以， 所以，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（19-20高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解. 【详解】因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； 又由， 所以，所以D正确； 联立方程组 ，解得，所以B正确； 由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 10．（22-23高一下·江苏南京·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A．该函数的解析式为 B．点是该函数图象的一个对称中心 C．该函数的减区间是， D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，可得到该函数图象 【答案】BD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求cosx型三角函数的单调性、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由振幅得到，再由对称轴和零点得到周期，进而得到，再由，求得解析式，然后逐项判断. 【详解】解：由振幅得，由对称轴和零点得，即，所以， 由题意得，即， 因为，所以， 所以，故A错误； ，故B正确； 令，解得， 所以该函数的减区间是，故C错误. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到， 纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到，故D正确. 故选：BD 11．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 【答案】ACD 【知识点】三角函数定义的其他应用、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（18-19高一上·福建福州·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，所以. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（22-23高一下·江苏镇江·期中）若点是函数图象的对称中心，则的最小正周期是 ． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用对称中心的性质求得，进而求得最小正周期. 【详解】∵点是函数图象的对称中心， ∴， ∴，∴,又∵，∴， ∴，∴的最小正周期为， 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，若角的终边与角的终边关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义及诱导公式求解即可． 【详解】已知角的终边经过点，则. 若角的终边与角的终边关于轴对称， 则， 则， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）若角，且 求：（1）的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）由同角三角函数平方关系可求得，进而确定，由此可知，利用可求得结果； （2）由已知和（1）中结果可构造方程组求得，由同角三角函数商数关系可求得，利用可求解正余弦的齐次式，进而求得结果. 【详解】（1）由得：， ，又，， ，，. （2）由得：，， . 16．（15分）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解. 【详解】，令， 可得：, 由可得， 由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 . 17．（15分）（22-23高一下·江苏苏州·期中）如图，一个直径为的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心距离水面的高度为，水车上的盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计时，则与时间（单位：）之间的关系为. (1)求与的函数解析式； (2)求在一个旋转周期内，盛水筒在水面以上的时长. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、解正弦不等式 【分析】（1）依题意可得，，由周期求出，再结合图形可得，即可求出，从而得到函数解析式； （2）令，即，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意，， ，即，则， 由给定的图形知，，又，即有， 所以与的函数解析式是； （2）令，即 所以，解得， 所以水车在一个旋转周期内，盛水筒在水面以上的时长为． 18．（15分）（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）利用函数对称轴以及可解得，再由正弦函数单调性可得结果； （2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数在区间上的最值. 【详解】（1）∵函数的图象关于直线对称， 所以，； 又，所以时，， 因此； 令，解得； ∴函数的单调递减区间为 （2）由（1）得， 因为，得， ，得 函数在区间上的最大值为，最小值为 19．（15分）（22-23高一下·山东聊城·期中）已知函数，满足______． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为，求实数的最小值． 在①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为； ③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． 【答案】(1)任选两条件，解析式为，单调递减区间为 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据所选条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质从而得到不等式，解得即可. 【详解】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为． 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为． 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即． 因为，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为． （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移个单位得到， 即， 由得， 因为在区间上的最大值为， 所以在区间上的最大值为1． 所以，所以，所以的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$