第八章 函数应用章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

第八章 函数应用章末重点题型复习 题型一 求零点或方程根的个数 1．（24-25高一上·四川成都·期中）若，则关于的方程的相异实数根个数最大值为（   ） A． B． C． D．无最大值 2．（多选）（24-25高一上·辽宁大连·期中）关于的方程，以下说法正确的是（    ） A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根 B．存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 C．存在实数，使得方程恰有6个不同的实根 D．不存在实数，使得方程恰有7个不同的实根 3．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期中）高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.如，，，记函数，则（   ） A． B．的值域为 C．在上有3个零点 D．，方程有两个实根 题型二 比较零点的大小 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 求零点的和 6．（2024·广东·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A． B． C． D．0 7．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 8.（23-24高一下·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 9．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 题型四 根据零点判断函数值的符号 10．（15-16高一·吉林·期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 11．（17-18高一上·北京海淀·期中）已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（19-20高一上·浙江·期中）已知实数是函数的一个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（19-20高一·全国·课后作业）设a是函数f(x)＝2x－的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足（    ） A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0 C．f(x0)<0 D．以上都有可能 14．（多选）（21-22高二上·安徽·阶段练习）已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型五 判断零点所在区间 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 16．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 17.（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 题型六 根据零点所在区间求参数 18．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 19．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 题型七 根据零点个数求参数 20．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 21．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为 . 22．（24-25高一上·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 23．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知是定义在上的偶函数，且对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 题型八 函数零点的分布问题 24.（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 26．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 27．（24-25高一上·全国·课堂例题）讨论下列方程解的个数与分布情况： (1)； (2)． 题型九 二分法及其应用 28．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 29．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ． 30．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 题型十 不同增长的函数模型 31．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 题型十一 常见函数模型及其应用 33．（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 34．（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 35．（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 36．（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中. (1)试用表示，并标明的取值范围； (2)求的最大值，并求出取最大值时的值. 37．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 题型十二 利用给定函数模型解决实际问题 38．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）某实验室采用药熏消毒法进行消毒，如图，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间x（小时）的函数关系式为（为常数）；当药熏过程结束，药物即释放完毕，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的关系如图所示，经过5小时，实验室内药物含量为0.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不低于1毫克时，才能达到最佳消毒效果，那么一次药熏最佳消毒效果有几小时? 39．（23-24高一上·浙江·期中）中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完． (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 题型十三 确定最佳函数模型 40．（23-24高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 41．（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 题型十四 函数、方程及不等式的综合应用 42．（多选）（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（多选）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（    ） A． B． C．函数的对称轴为直线 D．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 44．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 45．（19-20高一上·江苏无锡·期末）对任意实数，定义函数，已知函数，，记. （1）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，且，求使得等式成立的的取值范围； （3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值. 46．（23-24高一下·湖南·期中）已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 47．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 48．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点的横坐标是函数的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值.（注：两个点的中点的坐标公式为） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 函数应用章末重点题型复习 题型一 求零点或方程根的个数 1．（24-25高一上·四川成都·期中）若，则关于的方程的相异实数根个数最大值为（   ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】直接分解因式求解即可. 【详解】由题可知，所以有一个根为， 当为偶数时，显然无实数根； 当为奇数时，解得； 故关于的方程的相异实数根个数最大值为2. 故选：B 2．（多选）（24-25高一上·辽宁大连·期中）关于的方程，以下说法正确的是（    ） A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根 B．存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 C．存在实数，使得方程恰有6个不同的实根 D．不存在实数，使得方程恰有7个不同的实根 【答案】BD 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】将方程化为，然后采用换元法变形为，将问题转化为的函数图象交点个数问题，通过对分类讨论从而判断出正确选项. 【详解】将化为， 令，则， 在同一平面直角坐标系中作出的函数图象，如下图所示： （1）当时，即，解得， 令，解得；令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （2）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为， 令，解得；因为，所以无解， 所以此时共有个不同实根； （3）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为， 令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （4）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为且，， 令，解得；令，解得； 令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （5）当时，即，此时两图象无交点，所以方程无解； 综上可知，BD选项正确， 故选：BD. 【点睛】思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 3．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期中）高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.如，，，记函数，则（   ） A． B．的值域为 C．在上有3个零点 D．，方程有两个实根 【答案】AD 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数新定义 【分析】根据高斯函数的概念，分段可作出函数的图象，数形结合，逐项判断即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：当时，，； 当时，，； 当时，，；… 依次类推，可得函数的图象如下： 所以函数的值域为：，故B错； 对C：根据图象，在上，只有，即在上有2个零点，故C错； 对D：，函数与的图象有两个交点，如下图： 所以，方程有两个实根，故D正确. 故选：AD 题型二 比较零点的大小 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】判断，，的零点所在的区间即可比较大小. 【详解】由函数，，的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示： 由图知，所以. 故选：B 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系、 对数函数y=log2x的图像和性质 【分析】画出图象，结合图象交点坐标即可得. 【详解】由， 画出函数与、、， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 根据图象可知. 故选：B． 题型三 求零点的和 6．（2024·广东·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】求零点的和 【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和. 【详解】由题意知，关于点对称， 函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示： 由图形可知函数，在区间上的交点为， 易知点的横坐标为, 若设的横坐标为，则点的横坐标为， 所以方程在区间上的所有实数根之和为. 故选：B 7．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 【答案】D 【知识点】求零点的和、求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数. 【详解】函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示，    由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误； 的零点，是函数和图象交点的横坐标， 由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误； 解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误； 当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确. 故选：D 8.（23-24高一下·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【答案】2025 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求零点的和 【分析】函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果． 【详解】设， 当时，， 当时，显然， 所以关于中心对称， 设，则的周期为， 且， 所以关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象与函数的图象，如图所示：    观察图象可知两函数的一个交点的横坐标为， 除此以外，这两函数图象如下区间：内，各有两个交点， 且注意到这些区间均关于对称， 故所求为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过对称性画出函数图象，通过图象得出它们交点的分布规律，由此即可顺利得解. 9．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 【答案】 / 2 【知识点】函数对称性的应用、根据零点求函数解析式中的参数、正、余弦型三角函数图象的应用、求零点的和 【分析】由结合正弦函数性质即可求解，将函数的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，树形结合作出与图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【详解】由题得， 所以即， 又，所以； 所以， 所以令，则有， 则函数的所有零点即为函数与图象上所有交点的横坐标， 作与图象如图所示， 由图可知与图象共有9个交点， 因为，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余8个交点都关于点对称， 所以所有交点的横坐标的和为， 所以函数的所有零点之和为2. 故答案为：；2. 【点睛】思路点睛：求函数多个零点之和的问题常借助函数对称性解决，在图象能作出情况下还常结合图象去解决，故求函数的所有零点之和，可将问题转化成求两个已知函数与图象上的所有交点的横坐标之和，进而借助图象和函数对称性即可求解. 题型四 根据零点判断函数值的符号 10．（15-16高一·吉林·期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据零点判断函数值的符号 【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当 时． 【详解】∵x0是函数的零点，∴， 因为是单调递减函数，是单调递增函数， 所以函数是单调减函数， 故当 时，则， 故选：C． 11．（17-18高一上·北京海淀·期中）已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据零点判断函数值的符号、比较函数值的大小关系 【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号. 【详解】由于函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，，. 故选：B. 12．（19-20高一上·浙江·期中）已知实数是函数的一个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据零点判断函数值的符号 【解析】先判断函数的单调性，再结合判断即可. 【详解】因为与在是增函数， 所以在上递增，且， 所以当时，有， 即. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点及函数的单调性，属于基础题. 13．（19-20高一·全国·课后作业）设a是函数f(x)＝2x－的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足（    ） A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0 C．f(x0)<0 D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】根据零点判断函数值的符号 【分析】由a是函数f(x)＝2x－的零点，可知a是函数y＝2x与y＝的图像交点的横坐标，所以画两函数的图像，找到a的位置，从而可得答案，或者利用零点存在性定理和函数的单调性可得答案 【详解】画出y＝2x与y＝的图像，可知当x0>a时，，故f(x0)>0. 故选：B 另解：因为a是函数f(x)＝2x－的零点，所以 因为函数f(x)＝2x－在单调递增，x0>a 所以， 故选：B 14．（多选）（21-22高二上·安徽·阶段练习）已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】判断零点所在的区间、根据零点判断函数值的符号 【分析】首先根据函数的单调性可得出，然后由可得到中有一个函数值为负或三个函数值都为负，从而可判断选项. 【详解】因为函数是定义在R上的减函数，且，所以， 又，所以中有一个函数值为负或三个函数值都为负， 若中有一个函数值为负时， 则，此时，故选项C正确； 若中三个函数值都为负，则，此时，选项A正确. 若，则，此时不满足,故选项B错误； 若，则只能得到，不满足，故选项D不正确. 故选：AC. 题型五 判断零点所在区间 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可. 【详解】设，由表格中的数据得， ，， ，，， 所以， 又的图象是连续不断的， 所以在内有零点． 故选：. 16．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 17.（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点. 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 故选：B. 题型六 根据零点所在区间求参数 18．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【知识点】函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可. 【详解】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，， 则， 由零点存在性定理知， 在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或， 故选：C. 19．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 题型七 根据零点个数求参数 20．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 21．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据一次函数零点的分布求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用 【分析】由已知可求得当时，有2个实数解，将问题转化为，当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得或 当时， 由关于x的方程恰有3个实数解，所以当时，有唯一实数解， 所以，解得或 所以实数a的取值范围为 故答案为： 22．（24-25高一上·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】把原方程的解转化为在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有四个不同的实数根， 故在上有两个不同的正数解， 故，解得. 故答案为：. 23．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知是定义在上的偶函数，且对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 题型八 函数零点的分布问题 24.（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论． 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 26．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果. 【详解】因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 27．（24-25高一上·全国·课堂例题）讨论下列方程解的个数与分布情况： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的解只有一个，且此解在区间内 (2)原方程有两个解，且分别位于区间内 【知识点】求函数零点或方程根的个数、判断零点所在的区间 【分析】（1）构建函数，根据单调性以及零点存在性定理分析判断； （2）构建函数，根据图象以及零点存在性定理分析判断. 【详解】（1）由题得， 令，可知的定义域为， 且在内单调递增， 可知函数是增函数， 且，，即， 所以原方程的解只有一个，且此解在区间内． （2）作函数的图象，如图所示， 所以方程的解有两个． 令， 所以，， 所以原方程有两个解，且分别位于区间内． 题型九 二分法及其应用 28．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【详解】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 29．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ． 【答案】1 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的原理可解. 【详解】第一次经计算可知， 说明该函数在区间内存在零点， 下次计算，. 故答案为：1 30．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 题型十 不同增长的函数模型 31．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】当底数大于1，指数函数呈爆炸增长． 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 32．（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【知识点】指数函数图像应用、指数、对数、幂函数模型的增长差异、幂函数图象的判断及应用、 对数函数y=log2x的图像和性质 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 题型十一 常见函数模型及其应用 33．（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解． 【详解】， 当时，， 当时，，解得， 当时， 故选：C 34．（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为， ， ， ， ， 结合选项，选择C． 故选：C 35．（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 36．（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中. (1)试用表示，并标明的取值范围； (2)求的最大值，并求出取最大值时的值. 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）先由题意得且，再结合图形即可求解所求； （2）由（1）结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意可得且， 所以，， 所以由图 . （2）由（1）， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为，此时. 37．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【知识点】分式型函数模型的应用、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）前面墙的长度为米， 总报价，其中. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 题型十二 利用给定函数模型解决实际问题 38．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）某实验室采用药熏消毒法进行消毒，如图，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间x（小时）的函数关系式为（为常数）；当药熏过程结束，药物即释放完毕，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的关系如图所示，经过5小时，实验室内药物含量为0.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不低于1毫克时，才能达到最佳消毒效果，那么一次药熏最佳消毒效果有几小时? 【答案】(1) (2)3小时 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、指数函数模型的应用（2）、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据图象过点求出，当，设，根据点在函数图象上求出可得答案； （2）令，解不等式可得答案. 【详解】（1）依题意，当时， 可设，图象过点，所以，解得， 当，设， 则有， 所以； （2）令，解得，令，解得，， 所以一次药熏最佳消毒效果有3小时. 39．（23-24高一上·浙江·期中）中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完． (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)，最大利润为万元 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可. 【详解】（1）由题意知利润收入总成本， 所以利润， 故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号; 综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 题型十三 确定最佳函数模型 40．（23-24高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 【答案】(1)答案见解析 (2)5.54min 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2）、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式； （2）根据（1）的解析式，求解方程. 【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型． 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 故应选择②（，，） 将表中前的数据代入，得， 解得， 所以函数模型的解析式为：； （2）由（1）中函数模型，有， 即，所以， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感． 41．（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 【答案】(1)第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为 (2)该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可； （2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答. 【详解】（1）函数模型在上都是增函数， 的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢， 所以第二个函数模型满足要求， 由题意知，解得， 所以； （2）由题意，解得， 所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍. 题型十四 函数、方程及不等式的综合应用 42．（多选）（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】画出具体函数图象、对数的运算性质的应用、比较零点的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】AB选项，变形得到，，构造，由函数单调性得到，故AB正确；C选项，同一坐标内画出的图象，得到；D选项，结合ABC选项，利用图象得到. 【详解】AB选项，由题意得，， 因为可变形为， 令，显然为单调递增函数，故， 故，，AB正确； C选项，由题意得， 在同一坐标内画出的图象， 可以看出，C错误； D选项，由AB选项可知，而，故 又，故， 由图象可得，，所以， 故，D正确. 故选：ABD 【点睛】函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形为，从而构造，结合单调性进行求解.. 43．（多选）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（    ） A． B． C．函数的对称轴为直线 D．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 【答案】BCD 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据函数过点得，再利用当时，对应的函数值确定即可判定A、C；根据相应函数值确定的关系可判定B；利用二次函数根的分布可判定D. 【详解】将代入得， 解得，所以二次函数， 当时，对应的函数值，所以， 解得，所以， 所以，所以，故A错误； 当时，， 当时，，所以， 因为，所以，故B正确； 因为二次函数过，所以其对称轴为， 又当时，对应的函数值，根据二次函数的对称性知， 当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与轴负半轴的交点横坐标在利0之间， 所以关于的方程一定有一正、一负两个实数根， 且负实数根在和0之间，故CD正确. 故选：BCD 44．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，令和，并在上讨论它们的取值情况，进而结合图象可得是方程的一个根，从而解方程可求的值. 【详解】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示：    所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 故答案为： 45．（19-20高一上·江苏无锡·期末）对任意实数，定义函数，已知函数，，记. （1）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，且，求使得等式成立的的取值范围； （3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值. 【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，具体见解析 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、函数综合 【解析】(1)由题意恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可. (2)由题,再分和两种情况讨论即可. (3) 由(2)知,且,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可. 【详解】解：（1）据题意知,恒成立, 即有对于任意的恒成立. ∴由得,∴. （2）∵, ∴, 又由知,, ∴, ∴有时,. ①当时,, ∴, 又,∴. ②当时,, ∴, ∵,∴, ∴上式不成立. 综上①②知,使等式成立的的取值范围是. （3）由（2）知,且 ∴ ∴当时,,∴. 当时,, ①当时,又,即时, ； ②当时,即时,； ∴综上知,. 由时,； 由无实数解； 由时,. 46．（23-24高一下·湖南·期中）已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数对称性的应用、对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可； （2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可. 【详解】（1） ， 若为定值则应，解得，即. 当时，，当时，. 所以存在符合要求. （2）时，方程即为，整理得，即， 因为方程有两个根，由图象可知，，即， 且，得，同理有，得， 所以， 由，得，所以的取值范围是. 47．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 【详解】（1）由可得，所以， 即，解得． （2）①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 48．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点的横坐标是函数的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值.（注：两个点的中点的坐标公式为） 【答案】(1)0或-2 (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）根据不动点的定义，解方程，即可求得答那； （2）对任意的实数，函数恒有两个不动点，即得恒有两个不等实数根，结合判别式，即可求得答案； （3）设，由题意得出，结合根与系数的关系可得，继而利用二次函数知识，即可求得答案. 【详解】（1）当时，, 令,即,则或, 即函数的不动点为0或-2； （2）令，即，即， 由于对任意的实数，函数恒有两个不动点， 即恒有两个不等实数根，即恒成立， 即恒成立，故； （3）由题意可设， 而的中点在函数的图象上， 故，则， 又是的两个不等实数根，则， 故，则 ， 由于，故，则当，即时，取最小值2， 此时取到最小值. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，解答时要理解不动点的含义，并由此解决问题；解答的关键是（3）中求解参数的范围是，要根据题意结合根与系数的关系式，得出b的表达式，进而结合二次函数的最值求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$