第八章 函数应用（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

第八章 函数应用 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法即可判断. 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 3．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B 4.（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据题意，转化为方程在上有实数根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由二次函数有零点，即方程在上有实数根， 则满足，解得， 即二次函数有零点的充要条件为. 故答案为：B. 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求结果. 【详解】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C 6．（北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 故选：C． 7.（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 8．（23-24高一上·四川广安·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 【答案】CD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的值域或最值、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据分段函数的解析式，偶函数定义判断A,求解不等式判断交点个数判断B,根据函数的值域及单调性判断C，D. 【详解】，不是偶函数，故A错误； 函数图象与直线有一个交点， 或，解得， 所以的图象与直线有1个交点，故B错误； 当当，函数的值域为， 当是减函数，即C、D正确. 故选：CD. 10．（23-24高一下·云南曲靖·期中）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的图象没有对称中心 C．的增区间为 D．方程有5个实数解 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、由对称性研究单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数和的图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】因，则有， 用替换，可得， 即2为函数的周期. 当时，，当时，. 结合函数的周期性，可作出函数的图象如下图. 由图知，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，即A正确； 由图知，函数的图象关于和，都对称，故B错误； 由图知，函数的单调增区间为，故C正确； 由图中作出的图象，可见其与函数的图象有且仅有5个交点， 故方程有5个实数解，即D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【答案】2 【知识点】求函数的零点 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 13.（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出的图象，根据对称性求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示， 当时，令，解得， 依题意，互不相等的三个实数满足， 不妨设，由图可知， 而，所以. 故答案为： 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【知识点】画出具体函数图象、求函数的零点、求零点的和 【分析】（1）根据二次函数与幂函数的性质作图即可； （2）直接解方程求和即可. 【详解】（1） （2）若，则或， 若，则， 即的实数根为或或 综上所有实数根之和为. 16．（15分）（24-25高一上·广东河源·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额） 【答案】方案二更合理，理由见解析 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件得到总盈利额，平均盈利额为，分别利用二次函数的性质和基本不等式，求出总盈利额，并比较需要年限，即可求解. 【详解】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利额为万元 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 17．（15分）（24-25高一上·北京·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】(1) (2)5千件 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利润=销售收入-生产成本，据此列出关系式即可； （2）当时，利用配凑法及均值不等式，即可求出最大值；当时，由一次函数的图象性质即可得到最大值，比较两个最大值即可得到结论. 【详解】（1）设商品的利润为（万元）， 依题意得 （2）当时， ． 所以 ，    当且仅当，即时取等号， 所以，当时，有最大值（万元）． 当时，．   综上，当时，取得最大值（万元）．   因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元． 18．（15分）44．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【答案】(1)1，或 (2) (3) 【知识点】对数函数图象的应用、求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【详解】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 19．（15分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设的不动点为，可得，解出方程即可； （2）结合韦达定理，由条件可得，，进而结合基本不等式求出所求最值. 【详解】（1）由题知，设的不动点为， 则，即， 解得或， 即的不动点为或. （2）由题知，设的不动点为， 则，即， 所以，， 因为，所以，，解得 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 函数应用 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 6．（北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 8．（23-24高一上·四川广安·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 10．（23-24高一下·云南曲靖·期中）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的图象没有对称中心 C．的增区间为 D．方程有5个实数解 11．（24-25高一上·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 13.（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是 . 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 16．（15分）（24-25高一上·广东河源·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额） 17．（15分）（24-25高一上·北京·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 18．（15分）44．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 19．（15分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$