精品解析：北京市十一学校顺义学校杨镇一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024—2025学年北京十一学校顺义学校杨镇一中 高二年级期中考试数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线斜率的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，再结合倾斜角的范围即可求解． 【详解】解：设直线的倾斜角为， 则由题意知：， 又， ． 故选：B． 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 3. 经过点且与直线平行的直线方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线平行设出直线方程，再代入点即可求解． 【详解】由直线经过点且与直线平行， 可设直线方程为：， 将代入，即，解得：， 故直线方程为：． 故选：B． 4. 如图是某班50名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，，，，，，则图中的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质列式即可解出答案. 【详解】根据已知频率分布直方图， 可得：，解得， 故选：D. 5. 甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解. 【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和， 所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为： . 故选：D． 6. 从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有情况，找到符合条件的情况，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】从三人中任选两名代表，所有的情况共甲乙、甲丙和乙丙3种， 其中甲被选中的有2种，所以甲被选中的概率为. 故选：C 7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.则下列四个结论中，正确的是（ ） A. 甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】求出极差判断A；求出中位数判断B；求出平均数判断D；求出方差判断C． 【详解】将数据按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47； 乙：17，19，19，26，27，29. 对于A，甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为， 且，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A错误； 对于B，甲运动员得分的中位数是，乙运动员得分的中位数是， 且，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B错误； 对于CD，甲运动员的得分平均值为， 乙运动员的得分平均值为， 且，所以甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故D正确； 甲运动员得分的方差为 ， 乙运动员得分的方差为 ， 显然乙的方差小于甲的方差，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故C错误. 故选：D. 8. 已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出． 【详解】∵， ∴，又平面的一个法向量为， ∴点A到平面的距离为 故选：B 9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可 【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确； 对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：A 10. 如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱上的中点.若点为侧面正方形内（含边）动点，且存在使成立，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面判断出平面，由面面平行得到P点的轨迹，在直角三角形中求出边长即可. 【详解】 因为成立，所以共面，即平面， 如图，取中点，连接、、， 根据正方体的性质得，，， 且，，所以平面平面， 所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，， 由勾股定理得， 故选：C. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判断及性质，求点的轨迹的问题，考查了推理能力. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______. 【答案】8 【解析】 【分析】 假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果. 【详解】设样本容量为，则 高二所抽人数为. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题. 12. 经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____． 【答案】0.74 【解析】 【详解】试题分析：表示人数，. 考点：互斥事件的概率. 13. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名，将其物理成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如图所示的频率分布直方图. 观察图中的信息，设估计这次考试的物理成绩的平均分为和中位数，则与大小关系是____（用“或或”作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计中位数和平均数的方法可求得，进而得到大小关系. 【详解】物理成绩在对应的频率为， 物理成绩在对应的频率为， 中位数在之间，，； 又平均数， . 故答案为：. 14. 已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线平行求出直线，再求出点，再根据直线与直线绕点逆时针旋转所得直线垂直设出直线方程，再根据直线过点即可求解． 【详解】解：由题意可设：， 又直线过点， ， 解得：， 故直线：， 令， 解得：， 故， 设直线绕点逆时针旋转所得直线为， 则易知， 故设直线：， 将代入， 即， 解得：， 故直线：． 故答案为：． 15. 如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【详解】如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2） ∵点P到直线AA1和CD的距离相等，，即x2=y2+1． ∴A1P= ∴当P（，1）时，A1P最小为.故填. 点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁. 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. （1）不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. （2）有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过列举法，写出不放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； （2）通过列举法，写出有放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； 【小问1详解】 从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 【小问2详解】 有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 17. 已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点． （1）求点D的坐标； （2）求直线BD的方程． （3）求△ABD的面积． 【答案】(1) 点D的坐标为（0，1）;(2) 2x+y–1=0;(3)12. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求得点的坐标.（2）利用点斜式求得直线的方程.（3）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积. 【详解】（1）设D（x，y）， 则，， ∴点D的坐标为（0，1）． （2）∵直线BD的斜率为． ∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0． （3）∵， ∴A到直线BD的距离为． ∴△ABD的面积为． 【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查直线方程点斜式，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，. （1）求直线与直线所成角； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得结果； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用即可求解. 【小问1详解】 底面，平面，， 则直线与直线所成的角为. 【小问2详解】 由题意，底面是正方形，侧棱底面， 则以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则， 又平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面的夹角为. 19. 2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）写出5座城市中随机选取2座城市的所有可能，找出选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的所有可能，根据古典概型公式计算即可； （2）选取的城市“综合下载速率”大于800的概率，选取的城市“综合下载速率”不大于800的概率，根据对立事件与互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】解：（1）5座城市中“综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为， “综合下载速率”不大于800的有2座，设为. 随机选取2座城市所有可能为：，，，，，，，，，共10种. 其中2座城市“综合下载速率”都大于800的有，，共3种. 设两个城市“综合下载速率”都大于800为事件， 所以 （2）设甲选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，乙选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，恰有1家运营商选取的城市“综合下载速率”大于800为事件. 依题意，事件， 所以 . 【点睛】1.古典概型的概率求解步骤： （1）求出所有基本事件的个数； （2）求出事件包含的所有基本事件的个数； （3）代入公式求解. 2.基本事件个数的确定方法 （1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型； （2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； （3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求； （4）运用排列组合知识计算. 20. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； （3）点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 【答案】（1） （2） 是的中点，证明如下： ，，，，为的中点， 所以，设， 则， 若点是在平面内，则， 则，解得，所以是的中点. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设出点的坐标，利用向量法来确定点的位置. （3）利用向量法来求得点到直线的距离最大值. 【小问1详解】 直角梯形中，由已知可得，， ∴，即， 又是以为斜边的等腰直角三角形，∴， 取中点，连接，则，， 则，∴， 又，∴， ∴，，而，平面， ∴平面， 因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 又， ， 直线PB与平面PAC所成角为，则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，， ，， 所以点到直线的距离为 ，所以点到直线的距离最大值为. 【点睛】方法点睛：在空间中求解直线和平面的位置关系、点和平面的位置关系等问题时，可以考虑利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，利用坐标来表示点、线、面，由此来对问题进行求解. 21. 我们知道，在平面中，给定一点和一条直线的法向量可以唯一确定一条直线. 如点在直线上，为直线的一个法向量，则直线上任意一点满足，则，化简可得，即为直线的方程. 类似的，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面. （1）若在空间直角坐标系中，，请利用平面的法向量求出平面的方程； （2）试写出平面（不同时为0）的一个法向量（无需证明），并求出点到平面的距离. 【答案】（1） （2）平面的法向量可取． 证明如下： 设为平面的任意两个点， 则，， 两式相减得， 即，即， 所以平面的法向量可取． 因为A，B，C不同时为0，所以不妨令， 平面上可取点， 所以， 则点H到平面的距离. 【解析】 【分析】（1）先求出平面的法向量，然后利用法向量的定义得到，化简即可； （2）取出平面上一点，求出，求出平面的法向量运算得证．即可得证. 【小问1详解】 在平面中，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以． 设平面内任意一点，则． 所以，化简得． 所以平面的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年北京十一学校顺义学校杨镇一中 高二年级期中考试数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线斜率的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过点且与直线平行的直线方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图是某班50名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，，，，，，则图中的值等于（ ）． A. B. C. D. 5. 甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.则下列四个结论中，正确的是（ ） A. 甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 8. 已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱上的中点.若点为侧面正方形内（含边）动点，且存在使成立，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______. 12. 经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____． 13. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名，将其物理成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如图所示的频率分布直方图. 观察图中的信息，设估计这次考试的物理成绩的平均分为和中位数，则与大小关系是____（用“或或”作答） 14. 已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程______. 15. 如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____． 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. （1）不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. （2）有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 17. 已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点． （1）求点D的坐标； （2）求直线BD的方程． （3）求△ABD的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，. （1）求直线与直线所成角； （2）求平面与平面的夹角. 19. 2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 20. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； （3）点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 21. 我们知道，在平面中，给定一点和一条直线的法向量可以唯一确定一条直线. 如点在直线上，为直线的一个法向量，则直线上任意一点满足，则，化简可得，即为直线的方程. 类似的，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面. （1）若在空间直角坐标系中，，请利用平面的法向量求出平面的方程； （2）试写出平面（不同时为0）的一个法向量（无需证明），并求出点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $