专题02 运动 想象重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 运动 想象重难点题型专训（大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体展开图的认识 题型二 由展开图计算几何体的表面积 题型三 由展开图计算几何体的体积 题型四 正方体几种展开图的识别 题型五 正方体相对两面上的字 题型六 含图案的正方体的展开图 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 题型八 补一个面使图形围成正方体 知识点一：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【经典例题一 几何体展开图的认识】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两直线，且有公共点， 故选：． 1．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为 ． 【答案】68或16 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点分类讨论是解题关键．分类讨论，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由长方体的展开图可分类讨论：①当点M的位置如图，且为所在线段中点时，连接，， ∴， ∴； ②当点M的位置如图，且为线段中点时，连接， ∴， ∴． 故答案为：16或68． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）仔细观察下面几何体的展开图，然后解答下列问题． (1)请写出对应几何体的名称：图1_____，图2_____，图3____； (2)图1中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图1所对应几何体的体积．（π取3） 【答案】(1)圆柱，圆锥，三棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，求圆柱的体积． （1）根据图形即可解答； （2）根据圆柱的体积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，图1为圆柱，图2为圆锥，图3为三棱柱， 故答案为：圆柱，圆锥，三棱柱； （2）解：． 【经典例题二 由展开图计算几何体的表面积】 【例2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新长方体中，表面积最大是(   ). A．158cm2 B．164cm2 C．176cm2 D．188cm2 【答案】B 【分析】结合题意可知，把宽为4，高为3的面叠在一起组成一个新的长方形表面积最大，即可根据长方体的表面积公式进行计算. 【详解】根据以上分析，表面积最大的为4（5×4+4×3+5×3）-2×3×4=164 cm2 故选B 【点睛】此题主要考查长方体的表面积计算，解题的关键是根据题意得出表面积最大的情况. 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在第二届昆明国际旅游节前，为美化城市，需在绿化带上放置一定数量的圆柱形花柱，花柱底面直径米，高为米，则一个花柱的侧面积是（ ） A．1.8π米2 B．3.6π米2 C．4.32π米2 D．7.2π米2 【答案】B 【分析】根据圆柱侧面积=底面周长×高,即可解题. 【详解】解：π×1.2×3=3.6π米2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）一个棱柱有7个面，它的底面边长都是4cm，侧棱长3cm，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是 cm2． 【答案】60 【分析】棱柱有7个面，除了上下底面还有5个面为侧面，所以是五棱柱，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得：该棱柱是五棱柱， ∴侧面积的和为：4×5×3＝60（）， 故答案为：60． 【点睛】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱； 【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形； 【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？ 【答案】[观察判断]：8；[动手操作]：见解析；[解决问题]：所用的包装纸材料最小是264． 【分析】本题主要考查了几何展开图， [观察判断]：根据图形回答即可； [动手操作]：根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； [解决问题]：根据题意，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少求解即可，． 【详解】解：[观察判断]： 小明总共剪开了条棱； 故答案为：； [动手操作]：如图，有四种情况： [解决问题]：因为长方体的高为，宽为，长为， 所以装个这样的长方体纸盒，应该尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，侧面积分别为： （）， （） （） 纸箱的表面积为：（）． 【经典例题三 由展开图计算几何体的体积】 【例3】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）相同规格（长为，宽为）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，则，求出，得值，然后求出体积即可，同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可． 【详解】设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴； 设乙方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为， 根据题意得：，解得：， ∴，即有：． 故选：． 【点睛】此题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用，解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为 16cm   的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从 2 cm  变为 4cm后，长方体纸盒的容积（ ）cm3 A．减少了 32 B．减少了 80 C．增加了 32 D．增加了 80 【答案】A 【分析】根据长方体的容积=底面积×高分别求出两种剪法的体积，作出即可解答． 【详解】解：由题意，剪去的正方形的边长为2 cm时，长方体容积为（16－2×2）2×2=288 cm3， 剪去的正方形的边长为4 cm时，长方体容积为（16－2×4）2×4=256cm3， 288－256=32 cm3， ∴当剪去的正方形的边长从 2 cm  变为 4cm后，长方体纸盒的容积减少了32 cm3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，理解题意，能根据长方体的体积公式正确列出算式是解答的关键． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，一块长方形铁皮的宽是50cm，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是22000cm3的无盖长方体容器，则这块铁皮的长为 cm ． 【答案】120 【分析】折成的长方体盒子的高是5厘米，长是50-5×2=40厘米，根据长方体的体积公式：V=sh可知h=V÷s可求出长方体的底面积，再除以长可求出长方体的宽，再加剪去的长度，就是原来的宽．据此解答． 【详解】解：22000÷5=4400（平方厘米） ， 4400÷（50-5×2） =4400÷（50-10） =4400÷40 =110（厘米）， 110+5×2 =110+10 =120（厘米）， 答：原来这块铁皮的宽是120厘米． 【点睛】本题主要考查了长方体体积和长方形面积公式，解决本题的关键是要熟练灵活运用长方体体积和长方形面积公式． 3．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③ (3)表面积为，体积为 【分析】（）直接根据几何体的展开图判断即可； （）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，据此即可求解； （）利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可； 本题考查了长方体的展开图及其表面积与体积的计算，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③； （3）解：表面积， 体积． 【经典例题四 正方体几种展开图的识别】 【例4】（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列图形中，不是正方体展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图即可得出结论． 【详解】 解：由题意知，图形  不能折叠成正方体， 故选：D． 1．（23-24七年级上·四川成都·期中）在下面的图形中是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”“凹”字的不是正方体的平面展开图，选项C折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图． 【详解】解：由正方体的展开图的特征可知，图形中D是正方体的展开图；图形中A出现了“田”字，不能围成正方体，图形中B出现了“凹”字，选项C折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知图1的小正方形和图2中所有小正方形都完全一样，将图1的小正方形放在图2中的①、②、③、④的某一个位置，放置后所组成的图形不能围成一个正方体的位置是 ． 【答案】① 【分析】根据正方体展开图判断即可． 【详解】根据正方体展开图，可知道：②、③、④位置都是可以的，只有①不行， 故答案为：①． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的方式是解题的关键． 3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是正方体表面展开图的是__________（填写序号）； (2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出它的表面展开图． 【答案】(1)①②③ (2)见详解 【分析】考查了正方体展开图与拆剪，从实物出发，再从特殊的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形是解题关键． （1）根据特殊图形判断即可； （2）根据已知标记的线逐条剪开即可． 【详解】（1）解：图①②③符合正方体表面展开图的特点，图④中含有“田”，无法正方体表面展开， 故答案为：①②③； （2） 解： 【经典例题五 正方体相对两面上的字】 【例5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，对面上的两个数（或式子）的值相等，则x的值为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图，一元一次方程的实际应用．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，确定出相对面，然后列出方程求解即可． 【详解】解：由正方体的平面展开图可知， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “6”与“”是相对面． 因为对面上的两个数（或式子）的值相等， 所以， 解得：． 故选：C． 1．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，将图沿虚线折起来，得到一个正方体，那么“我”的对面是（    ） A．伟 B．大 C．祖 D．国 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图形，熟练掌握根据正方体的表面展开图找对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可． 【详解】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， 在此正方体上与“我”相对的面上的数字是“大”． 故答案为：B． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 【答案】绿 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的颜色，由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝，可得绿色所在面相对的面上的颜色是黄色，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝， ∴绿色所在面相对的面上的颜色是黄色， 即和黄色所在面相对的面上的颜色是绿色， 故答案为：绿． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3) 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． （1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）先求出所折叠成长方体纸盒的底面是边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 【经典例题六 含图案的正方体的展开图】 【例6】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【详解】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 1．（2014·江苏南京·一模）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断． 【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面． 故选：B． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．解题的关键是掌握基本图形的展开图． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体(如图)，那么长方体下底面有 朵花. 【答案】17 【分析】通过分析可知红色面对绿色面，白色面对蓝色面，黄色面对紫色面，所以长方体下底面依次是紫色面、黄色面、绿色面、白色面，然后将对应的花的朵数相加即可. 【详解】长方体下底面依次是紫色面、黄色面、绿色面、白色面，然后将对应的花的朵数相加即可. 即 故答案为17 【点睛】本题主要结合正方体的展开图考查逻辑推理能力，能够找到以最后一个小正方体为突破口是解题的关键. 3．（23-24七年级下·福建三明·开学考试）已知图1为一个正方体，其棱长为12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题： （1）若正方体相对面上的数互为相反数，则_________； （2）用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是（  ）； A．①②B．①④C．①②④D．①②③④ （3）图1中，为所在棱的中点，请在图2标出点的位置，并求出的面积． 【答案】（1）﹣12；（2）B；（3）图见解析，36或180． 【分析】（1）根据相对面上的数互为相反数，找出与x，y相对的数即可求出； （2）根据平面截正方体的特点即可判断； （3）根据M在正方体上相对的位置，可知点M所在的棱被剪开，因此有两个位置，再根据三角形的面积公式即可计算得出． 【详解】解：（1）由展开图可知x的对面为2，∴x=-2， y的对面为-6，∴y=6 ∴ 故答案为：-12． （2）用一个平面去截这个正方体，当平面截去正方体的一个角时，则截面为锐角三角形， 当平面沿着棱AB截时，截面为平行四边形， ∴截面可能是锐角三角形，平行四边形， ∴①④正确， 故答案为：B． （3）如图所示 S△ABM1=×12×6=36 S△ABM2=×12×30=180 所以S△ABM的面积为36或180． 【点睛】本题考查了正方体及正方体的展开图，解题的关键是能够将正方体和展开图对应起来． 【经典例题七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】（23-24上·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 1．（23-24上·七年级单元测试）图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=1， 则小虫从点A沿着正方体的棱长爬行到点B的长度为1． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 2．（23-24下·九年级课时练习）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【答案】②④ 【分析】将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错. 【详解】把展开图，折叠为正方体如图，依据正方体展开图的特征，②④是正确的， 故答案为②④. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的展开图，我们将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错. 3．（23-24上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 4．（23-24上·七年级单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】 要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】 此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 【经典例题八 补一个面使图形围成正方体】 【例8】（2023上·山东枣庄·七年级统考阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 1．（23-24上·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 2．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知． 3．（23-24上·河南南阳·七年级统考期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 4．（23-24上·吉林长春·七年级校考期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 【答案】画图见解析 【分析】正方体的展开图一共有种，其中型有种，型有种，型有种，型有种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键． 1．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体等知识点，熟练掌握各种几何体的定义和特征是解题的关键． 根据几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体的方法逐项判断即可． 【详解】解：（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数），故原来的说法错误； （2）正方体有个面，条棱，要将其展开成一个平面图形，必须要有条棱连接，因此需要剪开条棱才能实现展开，故该说法正确； （3）圆锥的侧面展开图是一个扇形，故原来的说法错误； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，故该说法正确； 说法正确的有个， 故选：． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， 故选：． 3．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，找出一个面的四个相邻面是判断其对面的关键． 根据图形可知，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：根据图形的相邻面，因为4与1、6、3、5相邻， 所以4与2是相对面， 因为3与1、2、4、5相邻， 所以3与6是相对面，1与5是相对面． 故选：A. 4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个长方体纸盒的展开图，若长方体相对面上的两个数字之和相等，则的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方体的侧面展开图，根据长方体的侧面展开图可得，解得，代值求解即可得到答案，熟记长方体的侧面展开图是解决问题的关键． 【详解】解：由图，结合题意可知，， 解得， ， 的倒数是， 故选：D． 5．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点，根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可． 【详解】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意． ②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意． ③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意． ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符合题意． 综上所述，说法正确的有2个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，倒数的定义及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数进行解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“”是相对面， 相对的面上的两个数互为倒数， ，，， ． 故答案为． 7．（24-25六年级上·山东泰安·期中）将图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和都为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，有理数减法运算，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， ∵相对面上的两个数之和都为， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 【答案】绿 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的颜色，由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝，可得绿色所在面相对的面上的颜色是黄色，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝， ∴绿色所在面相对的面上的颜色是黄色， 即和黄色所在面相对的面上的颜色是绿色， 故答案为：绿． 9．（23-24六年级下·全国·单元测试）把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的空间图形，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面是3，与标有点数3的面垂直的面所标的点数分别是：，解题的关键是从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是： ， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，则长方形纸板的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查整式的运算，认识立体图形，一元一次方程的应用，设长方体底面的另一边长为，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．掌握长方体的体积公式是解题的关键． 【详解】解：设长方体底面的另一边长为， 依题意，得：， 解得：， ∴长方形纸板的长为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)这个三棱柱有 个面，有 条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)当，，这个三棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)，； (2)图见解析； (3)三棱柱的侧面积． 【分析】本题考查认识立体图形，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （2）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知，这个三棱柱共有个面，共有棱：（条）， 故答案为：，； （2）解：三棱柱的展开图为： （3）解：三棱柱的侧面积． 12．（24-25七年级上·重庆·期中）下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 【答案】(1)③ (2)见解析 (3)11 【分析】本题主要考查的是正方体的展开图，有理数乘方的应用等知识，解题的关键是： （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行补图即可； （3）根据“各个面都没有涂色的小正方体有个”可求出原大正方体去掉外面一层正方体后所得正方体的边长，即可求解． 【详解】（1）解：将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，则展开图为： 故答案为：③； （2）解：如图， （3）解：∵， ∴大正方体的边长为， 答：大正方体的边长为． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积．熟练掌握长方体的展开图，长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体的展开图判断作答即可； （2）根据长方体的表面积为展开图的6个面的面积的和求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，这个包装盒的几何体名称为长方体． （2）解：由图可知，这个包装盒底面的边长为， 高为， ∴这个包装盒的表面积为， ∴这个包装盒的表面积为． 14．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3) 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． （1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）先求出所折叠成长方体纸盒的底面是边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 15．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 运动 想象重难点题型专训（大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体展开图的认识 题型二 由展开图计算几何体的表面积 题型三 由展开图计算几何体的体积 题型四 正方体几种展开图的识别 题型五 正方体相对两面上的字 题型六 含图案的正方体的展开图 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 题型八 补一个面使图形围成正方体 知识点一：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【经典例题一 几何体展开图的认识】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为 ． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）仔细观察下面几何体的展开图，然后解答下列问题． (1)请写出对应几何体的名称：图1_____，图2_____，图3____； (2)图1中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图1所对应几何体的体积．（π取3） 【经典例题二 由展开图计算几何体的表面积】 【例2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新长方体中，表面积最大是(   ). A．158cm2 B．164cm2 C．176cm2 D．188cm2 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在第二届昆明国际旅游节前，为美化城市，需在绿化带上放置一定数量的圆柱形花柱，花柱底面直径米，高为米，则一个花柱的侧面积是（ ） A．1.8π米2 B．3.6π米2 C．4.32π米2 D．7.2π米2 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）一个棱柱有7个面，它的底面边长都是4cm，侧棱长3cm，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是 cm2． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱； 【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形； 【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？ 【经典例题三 由展开图计算几何体的体积】 【例3】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）相同规格（长为，宽为）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D．无法判断 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为 16cm   的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从 2 cm  变为 4cm后，长方体纸盒的容积（ ）cm3 A．减少了 32 B．减少了 80 C．增加了 32 D．增加了 80 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，一块长方形铁皮的宽是50cm，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是22000cm3的无盖长方体容器，则这块铁皮的长为 cm ． 3．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【经典例题四 正方体几种展开图的识别】 【例4】（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列图形中，不是正方体展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级上·四川成都·期中）在下面的图形中是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知图1的小正方形和图2中所有小正方形都完全一样，将图1的小正方形放在图2中的①、②、③、④的某一个位置，放置后所组成的图形不能围成一个正方体的位置是 ． 3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是正方体表面展开图的是__________（填写序号）； (2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出它的表面展开图． 【经典例题五 正方体相对两面上的字】 【例5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，对面上的两个数（或式子）的值相等，则x的值为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．12 1．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，将图沿虚线折起来，得到一个正方体，那么“我”的对面是（    ） A．伟 B．大 C．祖 D．国 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【经典例题六 含图案的正方体的展开图】 【例6】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 1．（2014·江苏南京·一模）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体(如图)，那么长方体下底面有 朵花. 3．（23-24七年级下·福建三明·开学考试）已知图1为一个正方体，其棱长为12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题： （1）若正方体相对面上的数互为相反数，则_________； （2）用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是（  ）； A．①②B．①④C．①②④D．①②③④ （3）图1中，为所在棱的中点，请在图2标出点的位置，并求出的面积． 【经典例题七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】（23-24上·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24上·七年级单元测试）图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24下·九年级课时练习）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 3．（23-24上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 4．（23-24上·七年级单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【经典例题八 补一个面使图形围成正方体】 【例8】（2023上·山东枣庄·七年级统考阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24上·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 3．（23-24上·河南南阳·七年级统考期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 4．（23-24上·吉林长春·七年级校考期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 1．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个长方体纸盒的展开图，若长方体相对面上的两个数字之和相等，则的倒数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 7．（24-25六年级上·山东泰安·期中）将图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和都为，则 ． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 9．（23-24六年级下·全国·单元测试）把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是 ． 10．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，则长方形纸板的长为 ．    11．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)这个三棱柱有 个面，有 条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)当，，这个三棱柱的侧面积是多少？ 12．（24-25七年级上·重庆·期中）下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 14．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 15．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$