专题01 观察 抽象重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 观察 抽象重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体的识别 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱、面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 题型七 截一个几何体 题型八 平面图形形状的识别 知识点一：丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点二：图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【经典例题一 几何体的识别】 【例1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列说法不正确的是（    ） ①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）有下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别： ①所含平面数量不同． 是存在于一个平面上的图形 是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同． ②性质不同． 平面图形是由 的点组成的，而立体图形是由不同的 构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础． ③观察角度不同． 平面图形只能从 角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同． ④具有属性不同． 平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性． 3．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 【经典例题二 组合几何体的构成】 【例2】（23-24九年级下·河北承德·阶段练习）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【经典例题三 立体图形的分类】 【例3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（ ） A．球 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有（     ） ①圆锥和圆柱的底面都是圆                    ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形    ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）（1）如图，写出几何体的名称； （2）柱体有 ，锥体有 ，球体有 3．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下列几何体进行分类．    【经典例题四 几何体中的点、棱、面】 【例4】（23-24七年级上·广东河源·期中）关于长方体，下列说法中正确的有（    ） ①任一条棱都与两个面垂直； ②任一个面都与两条棱垂直； ③如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直； ④相交于同一顶点的三条棱两两垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 2．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）我们知道，如图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面． (1)其他木块是图①的正方体被截去一部分后得到的图形，请你将它们的顶点数、棱数、面数填入下表： 图 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 12 6 ④ 8 13 ⑤ 10 7 (2)上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系有一定规律．请你写出顶点数、棱数、面数之间满足的关系式是______； (3)有一个几何体，它有12个顶点，20个面，则这个几何体的棱数为______． 【经典例题五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例5】（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【经典例题六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例6】（23-24七年级上·山东济南·期中）长方形的长为厘米，宽为厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（    ）立方厘米． A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）以长，宽的长方形的边所在的直线为轴，旋转一周得到一个圆柱体，则它的体积是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为3cm，宽为2cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，所得到的圆柱体的体积是 cm3．（结果保留π） 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，． (1)旋转后得到的几何体是第 个几何体； (2)请计算这个几何体的体积．（不作近似计算） 【经典例题七 截一个几何体】 【例7】（2023上·四川成都·七年级校考期末）一个正方体的截面不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形 1．（23-24上·河南郑州·七年级校考阶段练习）若将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），则其表面积增加了（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 2．（2023上·全国·七年级专题练习）一个长方体的所有棱长之和为米，长、宽、高的比是．把这个长方体截成两个小长方体，表面积最多可以增加 平方米． 3．（2023上·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）如果用平面截掉一个长方体的一个角（切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有 顶点． 4．（23-24上·广东茂名·七年级校联考阶段练习）如图的圆柱体，它的底面半径为2cm，高为6cm (1)该圆柱的截面图有几种？ (2)你能截出最大的长方形吗？ (3)截得的长方形面积的最大值是多少？ 【经典例题八 平面图形形状的识别】 【例8】（23-24上·江西九江·七年级校考期中）一个正方形切去一个角后，剩余的图形有角（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．3个或4个或5个 1．（23-24上·七年级课时练习）下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤球；⑥正方形．其中平面图形有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24上·江苏无锡·七年级统考期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 3．（23-24上·北京·七年级统考期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：米），用式子表示这所住宅的建筑面积 . 4．（23-24上·浙江湖州·七年级校联考期中）在如图所示的 3×3 的方格中，画出 3 个面积小于 9 的不同的正方形，而且所画正方形的顶点都在方格的顶点上． 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）用一个平面截正方体，所得截面是三角形，剩下较大的几何体一定有（   ） A．7个面 B．15条棱 C．14条棱 D．10个顶点 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，一个直角梯形，绕着它的高旋转一周，形成的立体图形的体积是（　　）立方厘米．（单位：厘米）（结果保留π） A． B． C． D． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 5．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 6．（24-25七年级上·江西九江·期中）小明用一个平面去截正方体，得到一个棱柱，则这个棱柱侧棱的条数有 条． 7．（24-25六年级上·山东泰安·期中）给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有 个． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 9．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 ． 10．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 11．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 13．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 14．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 15．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 观察 抽象重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体的识别 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱、面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 题型七 截一个几何体 题型八 平面图形形状的识别 知识点一：丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点二：图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【经典例题一 几何体的识别】 【例1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列说法不正确的是（    ） ①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的性质、截一个几何体，根据柱体、棱柱的性质、截一个几何体的特点逐个判断即可得． 【详解】解：①长方体一定是柱体，则原说法正确； ②七棱柱有个面，则原说法正确； ③五棱柱有个顶点，则原说法正确； ④反例：正方体的面都是正方形，但用一个平面去截正方体，得到的图形可能是三角形，则原说法不正确； 综上，说法不正确的是④， 故选：B． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）有下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2．（23-24七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别： ①所含平面数量不同． 是存在于一个平面上的图形 是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同． ②性质不同． 平面图形是由 的点组成的，而立体图形是由不同的 构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础． ③观察角度不同． 平面图形只能从 角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同． ④具有属性不同． 平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性． 【答案】 平面图形 立体图形 不同 平面图形 一个 3．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 【答案】见解析 【分析】本题考查基本立体图形的认识，以及立体图形分类，根据立体图形的特点进行分类即可． 【详解】解：按锥体柱体、锥体，球体划分： 柱体：①②⑤⑦⑧； 锥体：④⑥； 球体：③． 【经典例题二 组合几何体的构成】 【例2】（23-24九年级下·河北承德·阶段练习）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 【答案】A 【分析】由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和， ∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形， ∵小正方体的棱长为 a， ∴该图形的表面积为 36a2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何图形与同底数幂的乘法，熟练掌握正方体的表面积及同底数幂的乘法是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【答案】(1)64个 (2)8个 (3)24个 (4)24个 (5)有，8个 【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个． 【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3）， 棱长为2cm的小正方体体积为8cm3， ∴共得到512÷8=64个小正方体． （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体， ∵立方体共有8个顶点， ∴三面涂色的小正方体有8个， （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体， ∵立方体共有12条边，每边有2个正方体， ∴二面涂色的小正方体有24个， （4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体， ∴一面涂色的小正方体有24个， （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个， 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征． 【经典例题三 立体图形的分类】 【例3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（ ） A．球 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 【答案】C 【分析】根据每个几何体的特点可得答案. 【详解】解：A. 球，只有曲面，不符合题意； B. 三棱锥，面是4个平面，还有4个顶点，不符合题意；     C. 圆锥，是一个曲面，一个顶点，符合题意；     D. 圆柱，是一个曲面，两个平面，没有顶点，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征． 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有（     ） ①圆锥和圆柱的底面都是圆                    ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形    ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题抓住圆柱、圆锥、棱锥、棱柱的结构特征进行判断． 【详解】解：①由圆柱和圆锥的特征可以得知：圆柱、圆锥的底面都是圆形．故①正确； ②棱锥底面边数与侧棱数相等．故②正确； ③棱柱的上下底面是全等的多边形，则棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形．故③正确； ④正方体是四棱柱，但是四棱柱不一定是正方体．故④错误． 综上所述，正确的说法是：①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的认识，熟记常见立体图形的结构特征是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）（1）如图，写出几何体的名称； （2）柱体有 ，锥体有 ，球体有 【答案】（1）分别是圆柱，球，四棱锥，圆锥，长方体，三棱锥，三棱柱；（2）①⑤⑦；③④⑥； ②. 【分析】按照几何体相关定义以及分类即可解答. 【详解】（1）分别是圆柱，球，四棱锥，圆锥，长方体，三棱锥，三棱柱. （2）①⑤⑦；③④⑥； ②. 【点睛】本题考查了常见几何体的定义及分类. 3．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下列几何体进行分类．    【答案】见详解 【分析】根据分类首先要确定标准，可以可以按柱、锥、球来划分，进而得出答案； 【详解】分类首先要确定标准，按可以按柱、锥、球来划分： ①②长方体和正方体，属于柱体； ③球体，属于球体； ④圆锥，属于锥体； ⑤六棱柱，属于柱体； ⑥五棱锥，属于锥体； ⑦三棱柱，属于柱体； ⑧圆柱，属于柱体； 按柱、锥、球来划分：①②⑤⑦⑧是一类，即柱体； ④⑥是一类，即锥体； ③是球体； 【点睛】此题主要考查了认识立体图形，正确确定分类依据是解题关键． 【经典例题四 几何体中的点、棱、面】 【例4】（23-24七年级上·广东河源·期中）关于长方体，下列说法中正确的有（    ） ①任一条棱都与两个面垂直； ②任一个面都与两条棱垂直； ③如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直； ④相交于同一顶点的三条棱两两垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用长方体的特点判断解答． 【详解】解：任一条棱都与两个面垂直，①正确； 任一个面都与四条棱垂直，②错误； 如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直，③正确； 相交于同一顶点的三条棱两两垂直，④正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的性质，解题的关键是掌握长方体的性质． 1．（23-24七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【答案】C 【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答． 【详解】解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确； B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确； C.一个长方体有无数条高，C选项错误； D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键． 2．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 【答案】 32 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索： （1）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，据此规律求解即可； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个，则一共有个顶点，一共有条棱，根据（1）的结论可得，则，再由每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻，得到，据此列出方程求解即可． 【详解】解（1）， ， ， ， ……， 以此类推可得， 故答案为：； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个， ∵每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面， ∴一共有个顶点， ∴一共有条棱， ∵， ∴， ∴； ∵每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个， 故答案为：32． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）我们知道，如图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面． (1)其他木块是图①的正方体被截去一部分后得到的图形，请你将它们的顶点数、棱数、面数填入下表： 图 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 12 6 ④ 8 13 ⑤ 10 7 (2)上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系有一定规律．请你写出顶点数、棱数、面数之间满足的关系式是______； (3)有一个几何体，它有12个顶点，20个面，则这个几何体的棱数为______． 【答案】(1)，，； (2) (3)30 【分析】本题考查了立体图形，图形类规律探索，找顶点数，棱数，面数的时候做到不重不漏是解题关键． （1）观察图形即可得到答案； （2）根据表格数据分析即可得到答案； （3）根据（2）所得关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：观察图③可知，图形的顶点数为； 观察图④可知，图形的面数为7； 观察图⑤可知，图形的棱数为； 即，，； （2）解：图①：， 图②：， 图③：， …… 观察发现：顶点数面数棱数，即， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，顶点数面数棱数， 若一个几何体，它有12个顶点，20个面， 则这个几何体的棱数为：顶点数面数， 故答案为：30． 【经典例题五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例5】（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可. 【详解】解：根据面动成体结合常见立体图形的形状得出只有A选项符合， 故选A. 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，掌握常见几何体的形成是解题的关键. 2．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比 【经典例题六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例6】（23-24七年级上·山东济南·期中）长方形的长为厘米，宽为厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查点、线、面、体问题，将长为厘米，宽为厘米的长方形绕它的一边旋转一周可得到两个不同的圆柱底面半径是厘米、高是厘米，要求它们的体积，可利用圆柱的体积公式列式解答即可，解题的关键是正确理解以长方形的长或宽为轴旋转一周得到的是两个不同的圆柱体． 【详解】解：由题意得，（立方厘米）， 故选：． 1．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）以长，宽的长方形的边所在的直线为轴，旋转一周得到一个圆柱体，则它的体积是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】将长为4厘米，宽为3厘米的长方形绕它的一边旋转一周可得到两个不同的圆柱，分别以长和宽为轴旋转；要求它们的底面积，依据圆的面积公式S=πr2即可；要求它们的体积，可利用圆柱的体积公式V=Sh，列式解答即可． 【详解】解：以长方形的长为轴旋转， 底面积：π×32=9π， 体积：9π×4=； 以长方形的宽为轴旋转， 底面积：π×42=16π， 体积：16π×4=； 所以这个圆柱的体积是或， 故选D． 【点睛】本题考查了圆柱体积公式的运用．关键是牢记圆柱的体积公式V=Sh．解答此题要注意：以长方形的长或宽为轴旋转一周得到的是两个不同的圆柱体． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为3cm，宽为2cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，所得到的圆柱体的体积是 cm3．（结果保留π） 【答案】12π或18π/18π或12π 【分析】分绕长边旋转和绕宽边旋转两种情况，分别求出对应圆柱的底面半径和高，再根据旋转的体积=底面积×高求解理解 【详解】解：若绕长边3cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为2cm，高为3cm， 所以圆柱的体积为π·22×3=12π(cm3)； 若绕宽边2cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为3cm，高为2cm， 所以圆柱的体积为π·32×2=18π(cm3)， 故答案为：12π或18π． 【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形、圆柱体的体积，熟记圆柱的体积公式，利用分类讨论求解是解答的关键． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，． (1)旋转后得到的几何体是第 个几何体； (2)请计算这个几何体的体积．（不作近似计算） 【答案】(1)（1） (2) 【分析】本题考查了点、线、面、题，准确熟练地进行计算是解此题的关键． （1）根据圆柱和圆锥的特征即可解答； （2）根据这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积列式计算即可得解． 【详解】（1）解：旋转后得到的几何体是第（1）个几何体， 故答案为：（1）； （2）解：由题意得： 这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积 ， ∴这个几何体的体积． 【经典例题七 截一个几何体】 【例7】（2023上·四川成都·七年级校考期末）一个正方体的截面不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形 【答案】D 【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可． 【详解】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形， 故选D． 【点睛】本题考查正方体的截面，正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或者多于七边形． 1．（23-24上·河南郑州·七年级校考阶段练习）若将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），则其表面积增加了（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】把圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了个圆柱的底面积，由此根据圆柱的底面半径求出圆柱的底面积，再乘以4，即可解决问题． 【详解】解：把圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了个圆柱的底面积， 表面积增加了：平方厘米， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆柱底面积计算，明确将圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积是解题的关键． 2．（2023上·全国·七年级专题练习）一个长方体的所有棱长之和为米，长、宽、高的比是．把这个长方体截成两个小长方体，表面积最多可以增加 平方米． 【答案】 【分析】根据长、宽、高的比是分别求出长、宽、高，再求出横切增加的面积和纵切增加的面积，最后增加的面积进行比较即可得到答案． 【详解】解：求一条长、宽、高的长度和：（米）； 求一条长、宽、高的长度份数：； 求长方体的长：（米）；求长方形的宽：（米）； 求长方形的高：（米）； 如果把这个长方体横切，表面积可增加：（平方米）；如果纵切，表面积可增加：（平方米）， 平方米平方米， 故答案为：． 【点睛】本题考查长方体的分割，清楚把一个大长方体截成两个小长方体，表面积增加个面是解题的关键． 3．（2023上·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）如果用平面截掉一个长方体的一个角（切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有 顶点． 【答案】10个 【分析】分当截面过长方体的三个顶点，当截面由一棱上一点和长方形两顶点组成；当截面由2条棱上一点和长方体一顶点组成；当截面由三条棱上的点组成时四种情况，分别求出顶点个数，即可得答案． 【详解】①如图，当截面过长方体的三个顶点时，剩下的几何体有7个顶点，    ②当截面由一棱的一点和两顶点组成时，剩下的几何体有8个顶点，    ③如图，如图，当截面由2条棱上一点和长方体一顶点组成时，剩下的几何体有9个顶点，    ④当截面由三条棱上的点组成时，剩下的几何体有10个顶点，    综上所述：剩下的几何体最多有10个顶点， 故答案为：10个 【点睛】本题考查了截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏是解题关键，有一定的难度． 4．（23-24上·广东茂名·七年级校联考阶段练习）如图的圆柱体，它的底面半径为2cm，高为6cm (1)该圆柱的截面图有几种？ (2)你能截出最大的长方形吗？ (3)截得的长方形面积的最大值是多少？ 【答案】(1)5； (2)能； (3)24． 【分析】（1）根据圆柱的几何特点从不同的角度去截取可以得出5种不同的图形； （2）过上下底面圆的直径得到的截面图形为面积最大的长方形； （3）根据长方形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，可得出以下5种图形； （2）解：如图2，截面最大的长方形，长为6cm，宽是4cm； （3）解：截面长方形的面积最大是：； 故截得的长方形面积最大为． 【点睛】此题考查了几何体被截能得到的形状，主要根据截面的形状不仅与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，得出截面最大的长方形是要经过上下底面圆的直径是解决本题的关键． 【经典例题八 平面图形形状的识别】 【例8】（23-24上·江西九江·七年级校考期中）一个正方形切去一个角后，剩余的图形有角（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．3个或4个或5个 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，注意各种情况，不要漏解． 【详解】如图所示： ， 故选D． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是考虑全面，分类讨论． 1．（23-24上·七年级课时练习）下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤球；⑥正方形．其中平面图形有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑥正方形，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；③正方体；⑤球；属于立体图形． 故选D． 【点睛】本题考查认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2．（23-24上·江苏无锡·七年级统考期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 【答案】9 【分析】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解． 【详解】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有： ，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20， 那么满足条件的有：，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 故这样的5张长方形纸片共有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了认识平面图形，解题的关键是找到5张满足条件的纸片，其面积之和正好为20． 3．（23-24上·北京·七年级统考期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：米），用式子表示这所住宅的建筑面积 . 【答案】 【分析】分别表示4部分的面积进行计算即可解题. 【详解】解：2x+x2+15+6=. 【点睛】本题考查用代数式表示图形的面积,属于简单题,熟悉面积公式是解题关键. 4．（23-24上·浙江湖州·七年级校联考期中）在如图所示的 3×3 的方格中，画出 3 个面积小于 9 的不同的正方形，而且所画正方形的顶点都在方格的顶点上． 【答案】见解析. 【分析】根据正方形的性质结合题目的要求作图即可． 【详解】如图所示： 【点睛】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程． 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）用一个平面截正方体，所得截面是三角形，剩下较大的几何体一定有（   ） A．7个面 B．15条棱 C．14条棱 D．10个顶点 【答案】A 【分析】本题主要考查空间图形的截面图形，考虑截面过顶点和不过顶点两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解： A．正方体有六个面，截取一个三角形后，增加了一个面，剩余的体积较大的几何体一定有7个面，结论正确，故符合题意； B．若截面过三个顶点，则剩余的体积较大的几何体有12条棱，结论错误，故不符合题意； C．若截面过三个顶点，则剩余的体积较大的几何体有12条棱，结论错误，故不符合题意； D．若截面过三个顶点，则剩余的体积较大的几何体有7个顶点，结论错误，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，一个直角梯形，绕着它的高旋转一周，形成的立体图形的体积是（　　）立方厘米．（单位：厘米）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点、线、面、体，组合图形的体积，根据题意可知，图形沿虚线旋转一周，形成的图形为一个圆台，用大锥体积-小圆锥体积=圆台体积，运用圆锥体积公式把数代入，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴圆台体积=大锥体积-小圆锥体积 故选： C 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可使搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键．若要搭成的长方体表面积最小，则依据把较大的面重叠在一起这一原则可解决问题． 【详解】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建： 将三块长方体按面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为，，． 再用两个大长方体（即6个小长方体）按面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即12个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即24个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 此时大长方体的表面积为：． 故选：D． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了立体几何图形的定义，旋转体的定义，理解棱柱、圆柱、圆锥、棱锥、旋转体的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体是四棱柱，四棱柱不一定是长方体，故此项错误； ②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，此项正确； ③棱锥底面边数与侧棱数相等，此项正确； ④直角三角形绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故此项错误； ⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，此项正确； ⑥圆锥和圆柱的底面都是圆，此项正确； ⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，是旋转体，一定不是多面体，此项正确； ⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，此项正确； 故选：D． 5．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；再由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数． 【详解】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； 由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：（个）， 故选B． 6．（24-25七年级上·江西九江·期中）小明用一个平面去截正方体，得到一个棱柱，则这个棱柱侧棱的条数有 条． 【答案】3或4或5 【分析】本题主要考查了截一个几何体，正方体被一个平面可以截成三棱柱，四棱柱和五棱柱，据此求解即可． 【详解】解：正方体被一个平面可以截成三棱柱，四棱柱和五棱柱，则用一个平面去截正方体，得到一个棱柱，则这个棱柱侧棱的条数有条或条或条， 故答案为；3或4或5． 7．（24-25六年级上·山东泰安·期中）给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征逐项判断即可，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：当截面与圆柱的底面垂直时可以截得长方形，当截面截取正方形两条平行的面对角线组成的面时，可以截得长方形，球和圆锥都不能截出长方形， ∴能截出长方形的几何体共有个， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：∵是质数， ∴只能是的无红色， ∴原来大小是， 把它看成三层：第一层：棱块有（个）， 第二层：只有个； 第三层：同第一层个， ∴两面带红色的小正方体的个数共个， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查正方体表面的涂色问题，掌握两面涂色的正方体是原正方体各条棱上中间的小正方体，是解题的关键． 根据题意可知一共分成了27个小正方体，两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的部分． 【详解】两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的小正方体， 每个中间层有4个，3个中间层共有：（个）， 故答案为：12． 10．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：14． 11．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 【答案】得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大 【分析】本题考查旋转平面图形形成几何体，长方形旋转一周得到圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：将长方形分别绕它的长和宽旋转一周，得到都是圆柱体， 将长和宽分别为和的长方形绕它的长旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 将长和宽分别为和的长方形绕它的宽旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 所以得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体： （1）由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆锥；圆柱；面动成体； （2）解：小红的说法正确，理由如下： 甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． 13．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 【答案】(1)12 (2)18，96 (3)144 【分析】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是个，侧面是n个，棱是条，顶点是个，熟练掌握是解决问题的关键． （1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点； （2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和； （3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积． 【详解】（1）∵上下两个底面各有6个顶点， ∴（个）， ∴这个棱柱共有12个顶点， 故答案为：12个； （2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱， ∴（条）， ∴（）， ∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96， 故答案为：18，96； （3）∵侧面积等于底面周长乘高 ∴（）， ∴这个棱柱的侧面积是144． 故答案为：144． 14．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱，2，1 (2)或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，进而可得出平面和曲面的个数； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，有2个平面，1个曲面， 故答案为：圆柱，2，1； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 15．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由见解析 【分析】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键． （1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可； （3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可． 【详解】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：． （2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下： 如图：∵， ∴， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为； 所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为， ∵， ∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 学科网（北京）股份有限公司 $$