专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 根据等式的性质解方程 题型二 一元一次方程的含参问题 题型三 一元一次方程的规律问题 题型四 一元一次方程的新定义问题 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 题型六 一元一次方程解的拓展问题 题型七 一元一次方程的综合应用 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·江苏·期中）解方程． (1)； (2)； (3) 2．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，．．．．．．．．．．．．第一步     去括号得，．．．．．．．．．．．．．．．第二步      得，．．．．．．．．．．．．．．．第三步    合并同类项得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步    系数化为一得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)以上求解过程中，第三步进行的是 ，这一步的依据是 (2)以上求解过程中，第 步出现错误，错误原因是 (3)该方程正确的解是 4．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）老师在黑板上写了一个等式．王聪说，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立． （1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由； （2）你能求出当时中x的值吗？ 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)以上解题过程中，第一步依据__________进行变形的，第二步是依据__________（运算律）进行变形的． (2)第__________步开始出现错误，这一步错误原因是____________________． (3)方程正确解为__________．（直接写出结果） 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式； (3)计算：． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 14．（24-25七年级上·江苏南京·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）有一组图形按下面规律排列． (1)第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形各有多少个？ (2)如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第几？ 16．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 17．（24-25七年级上·河北保定·期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 ．．． 座位数（y） 50 53 56 59 ．．． (1)上表反映的两个变量中，___________是自变量，___________是因变量； (2)按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加___________个． (3)试估计当排数6时，座位数为___________个． (4)写出座位数与排数之间的关系式； (5)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 18．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在一次数学活动中，小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图步骤如下： （1）在木杆的正中间处拴绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O． （2）在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且． （3）通过移动左右两边的重物直至木杆平衡． （4）记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B． 多次实验后，小林发现了规律：． 根据小林同学的实验解决下列问题，设木杆上中点为C (1)若，，，求． (2)当时，小林发现为定值，请你帮他求出这个定值． 19．（2025·江苏·模拟预测）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 的正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ (1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； (2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）为有理数，现规定一种新运算：，那么当时，求的值是多少？ 23．（24-25七年级上·江苏·期中）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值． 25．（24-25七年级上·山东济宁·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 26．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）【阅读材料】 对两个非零实数，定义一种新运算“”： 当时，；当时，. 例如：，. 【类比运用】 （1）填空：______； 【观察发现】 （2）若，则的取值范围为______； 【代数推理】 （3）已知，求的值. 27．（24-25七年级上·河南郑州·期中）航天创造美好生活，每年月日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小明结合中国航天日给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的一个解，且，满足，则关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”． (1)试判断关于的方程是否是关于的一元一次方程的“航天方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”，求的值． 28．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且 ，满足，则称关于 y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x－2x－99=0的解是 x=99，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程3x－2x－99=0的“友好方程” (1)已知关于y的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程3x－2x－102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． (2)若关于y的方程 是关于 x的一元一次方程的“友好方程”，请求出 a的值． 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 30．（24-25七年级上·江苏·期中）在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 31．（2025七年级上·湖南邵阳·模拟预测）（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 32．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 33．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 解：设①， 则②， 由，得． 请仿照小明的方法计算：． 34．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）运算能力  我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且2，则方程是“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是“差解方程”． (2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 35．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为重，超过（盈）的千克数记为正数，不足（亏）的千克数记为负数，称后的记录如下表： 1筐 2筐 3筐 4筐 5筐 6筐 7筐 8筐 盈亏合计 1.5 2 1 0.5 表中第六筐的盈亏数被墨水涂污了，请你根据图表中数据算出第六筐的盈亏数，并求出这8筐白菜一共多少千克？ 37．（2025·江苏泰州·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）某厂商计划生产普通牙刷和电动牙刷共500支，由于订单增加，实际生产了620支，其中普通牙刷超产，电动牙刷超产，设普通牙刷计划生产支． (1)根据题意，填写下表： 计划生产/支 实际生产/支 普通牙刷 电动牙刷 (2)该厂商普通牙刷和电动牙刷实际各生产了多少支？ 39．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）某校开展“校园献爱心”活动，准备向四川西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包，已知男款书包单价40元/个，女款书包单价35元/个． (1)原计划募捐5300元，恰好可购买两种款式的书包140个，问两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，师生积极性高，实际捐款额和书包数量都高于原计划．快递公司将这些书包装箱运送，其中每箱书包数量相同．第一次他们领走这批书包的，结果装了6箱还多12个书包；第二次他们把余下的部分领走．连同第一次装箱剩下的12个书包一起．刚好装了4箱．则实际购买书包共多少个？ 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）对于任意实数，我们规定：，例如：，． (1)填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______0；（填“”“”或“”） (2)若，且，求与的值． 41．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究，请仔细阅读并完成相应的任务． 三向环岛模型的探究 如图，该三向环岛模型是城市中常见的交通枢纽．图是未投入使用的三向环岛枢纽示意图，试运行时辆车从出入口的处进入，沿道路行进，到达点后辆车沿从出入口驶出环岛，其余车辆沿转向驶向下一个出入口，同时辆车从出入口进入，与转向车辆一同驶向出入口，出入口处车辆转向和驶入驶出的交通规则与出入口处相同，出入口处有辆车驶出，同时有辆车驶入，最终在出入口处驶出环岛．由此可知，由出入口驶入在处转向的车辆有______辆，由转向后到达点处的车辆有_____辆． 任务： (1)材料中“”处应填___________，“”处应填___________．（用含有字母的代数式表示） (2)若出入口处有辆车驶出环岛，求出入口处进入的车辆数． 42．（24-25七年级上·江苏南京·期中）常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得．其中，秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）方程得出和．根据任务一，用含得代数式表示． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（24-25七年级上·广东韶关·期中）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表： 型号 进价（元只） 售价（元只） A型 10 12 B型 15 23 若该店购进这100只文具共花费1300元，则A，B两种型号的文具各有多少只？若全部售出，总利润是多少？ 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某校七年级班组织生活小常识模拟预测，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 45．（24-25七年级上·河南新乡·期中）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 索材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 46．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 47．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 48．（24-25七年级上·江苏南京·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 49．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 50．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据给出的数轴及已知条件，解答下面问题： (1)已知、、三点在数轴位置如图所示，则到点的距离为3的点表示的数是______． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，若在此数轴上，两点之间的距离为2025，（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． (3)点在数轴上，点到、、三点的距离和为15，求点对应数轴上的数是多少？ 51．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_______； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么_______； (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是_______，最小距离是_______． (4)若数轴上表示数的点位于与5之间，则_______． 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知数轴上两点所表示的数分别为和，且满足为原点． (1)________，_______． (2)点从点出发向右运动，经过秒后点到点的距离是点到点距离的倍，求点的运动速度？ (3)点以个单位每秒的速度从点向右运动，同时点从点出发以个单位每秒的速度向左运动，点从点出发，以个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，分别为的中点，求与之间的数量关系．（乘法分配律的逆用：多项式，如：） 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，在一条数轴上，O为原点，点A对应的数为，点对应的数为，且有，是数轴上的两个动点． (1)求出点A，点对应的数： ， ； (2)当点到的距离是点A到点距离的2倍时，求点所表示的数？ (3)若动点分别从点出发，点每秒向右运动3个单位长度，点每秒向右运动2个单位长度，当点运动后点开始出发，且点之间的距离是3个单位长度时，求此时点分别对应的数． 54．（24-25七年级上·陕西西安·期中）【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是－4，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离PQ为1？（请写出求解过程） 55．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点． 又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 知识运用： (1)如图，点是【，】的好点吗？ 填是或不是； (2)如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为，现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止，的运动时间为秒，当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？ 56．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离， 如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．    【学以致用】 （1）计算：_______，若，则_______； （2）若，则_______； （3）当整数x取_______时，的值最小，且其最小值为_______； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点M、N、P所表示的数分别为1、4、5，此时，因此点N是M、P的“三倍点”． （4）若点A表示的数是1，点B表示的数是，问题（3）中整数x所对应的点有哪几个是A、B的“三倍点”？请说明理由． （5）若点C表示的数是，点D表示的数是6，请直接写出点C、D的“三倍点”所对应的数值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 根据等式的性质解方程 题型二 一元一次方程的含参问题 题型三 一元一次方程的规律问题 题型四 一元一次方程的新定义问题 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 题型六 一元一次方程解的拓展问题 题型七 一元一次方程的综合应用 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·江苏·期中）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，．．．．．．．．．．．．第一步     去括号得，．．．．．．．．．．．．．．．第二步      得，．．．．．．．．．．．．．．．第三步    合并同类项得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步    系数化为一得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)以上求解过程中，第三步进行的是 ，这一步的依据是 (2)以上求解过程中，第 步出现错误，错误原因是 (3)该方程正确的解是 【答案】(1)移项，等式的性质1 (2)三，移项没有变号 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据解一元一次方程的步骤移项，该步骤是利用等式的性质1； （2）根据移项，两边应该同时减去，在方程右边没有变号； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据解一元一次方程步骤可知，第三步为移项，是利用的等式的性质1； 故答案为：移项，等式的性质1 （2）解：以上求解过程中，第三步出现错误，错误原因是移项没有变号； 故答案为：三，移项没有变号 （3）解方程： 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，； 故答案为： 4．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）老师在黑板上写了一个等式．王聪说，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立． （1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由； （2）你能求出当时中x的值吗？ 【答案】（1）王聪的说法不正确，见解析；（2） 【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可． （2）利用代入法求解即可． 【详解】（1）王聪的说法不正确． 理由：两边除以不符合等式的性质2，因为当时，x为任意实数． 刘敏的说法正确． 理由：因为当时，x为任意实数，所以当时，这个等式也可能成立． （2）将代入，得，解得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的性质、等式的性质是解题的关键． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)以上解题过程中，第一步依据__________进行变形的，第二步是依据__________（运算律）进行变形的． (2)第__________步开始出现错误，这一步错误原因是____________________． (3)方程正确解为__________．（直接写出结果） 【答案】(1)等式的基本性质2 ， 乘法分配律 (2)三，移项没有改变符号 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解题的关键． （1）根据等式的性质和乘法分配律判断即可； （2）根据解一元一次方程的方法检查即可； （3）根据解一元一次方程的方法解出正确答案． 【详解】（1）解：第一步依据等式的基本性质2，等式两边同时乘以一个数，结果仍然相等；第二步是依据乘法分配律进行变形的； （2）解：第三步开始出错，在进行移项时没有进行变号； （3）解：， 解： ， ， ， ． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式； (3)计算：． 【答案】(1)等式的性质 (2)； (3)； 【分析】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，等式的性质，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的方法是解题的关键： （1）根据等式的性质求解即可解答； （2）仿照题目中的方法列方程求解即可得到答案； （3）仿照题目中的方法令，则，两式相减即可解答． 【详解】（1）解：由①得到②等式两边乘以了， 故答案为：等式的性质； （2）解：由题意可得， 设， 则， 得， ， 解得： ， ∴； （3）解：设， 则 两式相减得， ， ∴． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出的值， （2）将的值代入方程，得，结合是这个方程的解，得，再分别代入①中的和②中的进行求解，即可作答． 本题考查了求一个数的平方根，已知式子的值 求代数式的值，一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次是次的整式方程即为一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程， ∴， 解得， （2）解：由（1）得， ∴ ∵是这个方程的解， ∴， ∴， ①； ②． ∴k的平方根是． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 【答案】(1) (2)1，3（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法及注意事项是解题的关键． （1）代入后解方程即可； （2）只需满足即可； （3）将代入方程◇：得，整体代入即可； 【详解】（1）解：当，时，方程◇为：， 解得：． 故答案为：； （2）解：方程◇的解为， ，．（只需满足即可） 故答案为：1，3（答案不唯一）； （3）依题意：， ， ． 解关于的方程：， ． 解得：． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 14．（24-25七年级上·江苏南京·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）有一组图形按下面规律排列． (1)第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形各有多少个？ (2)如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第几？ 【答案】(1)第10个图形中白色小正方形有26个，黑色小正方形有10个 (2)如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第16 【分析】该题是图形规律类题，分析图形找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键． （1）根据题意得出第个图形一共有个小正方形，有个黑色小正方形，有个白色小正方形； （2）把白色小正方形的个数代入表示白色小正方形含有字母的式子，求出的值即可． 【详解】（1）解：第1个图形一共有个小正方形，有1个黑色小正方形，有个白色小正方形； 第2个图形一共有个小正方形，有2个黑色小正方形，有个白色小正方形； 第3个图形一共有个小正方形，有3个黑色小正方形，有个白色小正方形； ， 第个图形一共有个小正方形，有个黑色小正方形，有个白色小正方形； 当时，白色小正方形的个数：（个），黑色小正方形的个数有10个， 答：第10个图形中白色小正方形有26个，黑色小正方形有10个． （2）解：由题意可知，， 解得：， 答：如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第16． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 【答案】第⑩个图案用的“”个数是51个 【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，由题意可得第个图案用了个“”，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， …， 第个图案用了个“”， 由题意可得：, 解得：， 故第⑩个图案用的“”个数是51个． 17．（24-25七年级上·河北保定·期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 ．．． 座位数（y） 50 53 56 59 ．．． (1)上表反映的两个变量中，___________是自变量，___________是因变量； (2)按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加___________个． (3)试估计当排数6时，座位数为___________个． (4)写出座位数与排数之间的关系式； (5)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【答案】(1)排数，座位数 (2)3 (3)65 (4) (5)不可能，见解析 【分析】本题考查了变量、数字规律、列函数关系式、一元一次发出的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据自变量、因变量的定义求解即可； （2）根据表格即可解答； （3）第5排比第4排多3个，第6排比第5排多3个，据此即可解答． （4）从第一排开始，每一排比它前面一排多3个座位，则第x排比第1排多3个座位，据此列出y与x的关系式即可； （5）利用y与x的关系式，计算对应的x的值，若x为正整数，则可能；若x不为正整数，则不可能． 【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，排数是自变量，座位数是因变量． 故答案为：排数，座位数． （2）解：按照上表所示的规律，当排数每增加1排时，座位数增加3个． 故答案为：3． （3）解：当排数为6时，此时座位数为个． 故答案为65． （4）解：由题意可得：，即． 所以座位数与排数之间的关系式为． （5）解：不可能．理由如下： 当时，，解得， 因为不是正整数， 所以某一排不可能有90个座位． 18．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在一次数学活动中，小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图步骤如下： （1）在木杆的正中间处拴绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O． （2）在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且． （3）通过移动左右两边的重物直至木杆平衡． （4）记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B． 多次实验后，小林发现了规律：． 根据小林同学的实验解决下列问题，设木杆上中点为C (1)若，，，求． (2)当时，小林发现为定值，请你帮他求出这个定值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的定义，解一元一次方程，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）当，时，可得，得到关于的方程，求出的长，再根据线段中点的定义，即可求得答案； （2）当时，可证明，再根据线段中点的定义，即可化简，从而得到答案． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 解得， 中点为C， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 中点为C， ， ． 19．（2025·江苏·模拟预测）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 的正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ (1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； (2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 【答案】(1)①9；②14；③6；④20 (2)3；8（或2；15答案不唯一） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意数出对应图形中对应边长的正方形个数即可得到答案； （2）在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……，则不妨设，然后讨论m的值，再建立关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在的正方形中，边长为1的正方形有9个， ∴在的正方形中正方形总数为个； 在的长方形中，边长为2的正方形有6个， ∴在的长方形中正方形总数为个； （2）解：在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……， 不妨设， 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得，不符合题意； 当时，正方形总数为，不符合题意； 随着m的最大，正方形的总数增大， ∴当时，正方形总数一定比44多， 综上所述，，或，． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）； （2）； （3）需要方砖423块． 【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）为有理数，现规定一种新运算：，那么当时，求的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程． 根据新定义列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 23．（24-25七年级上·江苏·期中）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， ， ， 解得． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义． （1）根据新定义解答即可； （2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为， ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴的解为， 将代入方程得，． ； （2）由题意，另一解为． 则或， 或． 25．（24-25七年级上·山东济宁·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据新定义的法则，进行计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可． 理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由图可知：，， ∴ ∴； （3）∵，， ∴转化为：， ∴． 26．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）【阅读材料】 对两个非零实数，定义一种新运算“”： 当时，；当时，. 例如：，. 【类比运用】 （1）填空：______； 【观察发现】 （2）若，则的取值范围为______； 【代数推理】 （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）或；（3）8或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力． （1）根据新定义列式计算即可得； （2）由已知等式，分两种情况进行讨论，解之可得； （3）分和两种情况，依据新定义列出方程求解可得． 【详解】解：（1）由题意得． （2）∵当时，；当时，． ∴当时，两种运算结果都为， 当，即时，，符合原运算，故； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，x的取值范围为：或． （3）当，即时， ， 解得：， 当，即时， ， ∴， 解得：， 综上或． 27．（24-25七年级上·河南郑州·期中）航天创造美好生活，每年月日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小明结合中国航天日给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的一个解，且，满足，则关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”． (1)试判断关于的方程是否是关于的一元一次方程的“航天方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】（1）分别解2个方程，根据“航天方程”的定义即可求解． （2）分别解方程，，根据“航天方程”的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下， ，即或， 解得：或， ， 即， 解得：， 当时，， ∴方程是关于的一元一次方程的“航天方程”； （2）， ， ， ， 解得：， ，解得：或， ∵关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”， ∴或 解得：或． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 28．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且 ，满足，则称关于 y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x－2x－99=0的解是 x=99，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程3x－2x－99=0的“友好方程” (1)已知关于y的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程3x－2x－102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． (2)若关于y的方程 是关于 x的一元一次方程的“友好方程”，请求出 a的值． 【答案】(1)② (2)95或97 【分析】（1）分别解出方程、、，将解出的x的值，分别与解出的y值相加，得数为100的y值所属的方程既符合“友好方程”的定义，即可确定答案； （2）解出的解，再根据“友好方程”的定义，即可确定的解，代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：解方程， 得：． 解方程， 得：． ∵102+3=105， ∴方程不是一元一次方程的“友好方程”； 解方程， 得：或． 当时，102+2=104，不符合“友好方程”的定义； 当时，102+(-2)=100， ∴是一元一次方程的“友好方程”； 故答案为：②； （2）解方程， 得：或 由关于y的方程 是关于 x的一元一次方程的“友好方程” 可分类讨论①当时，的解为：， ∴， 解得：； ②当时，的解为：， ∴， 解得：． 综上可知a的值为95或97． 【点睛】本题考查解一元一次方程的应用．读懂题意，理解“友好方程”的定义是解答本题的关键． 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】本题涉及同解方程的概念，需先求出其中一个方程的解，再代入另一个方程求参数，最后将代入关于的方程求解． 【详解】解：解方程，得． 因为两个方程的解相同， 所以将代入方程，得，解得． 将代入方程，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程的概念及一元一次方程的解法，解题关键是利用同解方程的性质，先求出共同的解和参数，再代入求解目标方程． 30．（24-25七年级上·江苏·期中）在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 31．（2025七年级上·湖南邵阳·模拟预测）（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 【答案】（1）见解析；（2）当时，原方程有唯一解；当时，原方程的解为任意有理数；当时，原方程无解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出方程的解即可； （2）先将方程化简变为，分两种情况：当，当，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，方程的解为； 当时，方程的解为任意实数； 当时，方程无解 （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，并合并同类项得：， ①当，即时，方程有唯一解，解为； ②当，即时，方程可化为； 若，即时，方程总成立，方程的解为任意实数； 若，即时，方程不成立，方程无解； 综上所述：当时，原方程有唯一解； 当时，原方程的解为任意实数； 当时，原方程无解 32．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 33．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 解：设①， 则②， 由，得． 请仿照小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键．模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】解：设①， 则②， 由②－①， 得 原式． 34．（25-26七年级上·江苏镇江·课后作业）运算能力  我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且2，则方程是“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是“差解方程”． (2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解差解方程的定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据差解方程的定义得出，即可求出的值． 【详解】（1）解：，两边同时除以3，得． 因为，所以是“差解方程”． （2），两边同时除以5，得． 因为关于的一元一次方程是“差解方程”， 所以，即， 两边同时减，得，两边同时除以4，得． 35．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为重，超过（盈）的千克数记为正数，不足（亏）的千克数记为负数，称后的记录如下表： 1筐 2筐 3筐 4筐 5筐 6筐 7筐 8筐 盈亏合计 1.5 2 1 0.5 表中第六筐的盈亏数被墨水涂污了，请你根据图表中数据算出第六筐的盈亏数，并求出这8筐白菜一共多少千克？ 【答案】第六筐白菜亏2千克，这8筐白菜一共197千克 【分析】本题考查有理数加减运算的实际应用，相反意义的量，一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意列式． 设第六筐白菜为x千克，根据题意建立方程求出，进而即可得到第六筐的盈亏数，再结合8筐白菜的标准质量与盈亏合计，即可求出8筐白菜总共重量． 【详解】解：设第六筐白菜的盈亏数为x千克， 依题意得：， 解得：， 即第六筐白菜亏2千克，实际重量为23千克； 8筐白菜共重（千克）， 答：这8筐白菜一共197千克． 37．（2025·江苏泰州·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棒数，数形结合找到规律即可． （1）根据图形的规律进行推导即可得到答案； （2）由（1）得到第n个图形用的木棒根数是，根据和为正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由图可知：第1个图形用了根木棒， 第2个图形用了根木棒， 第3个图形用了根木棒， 第4个图形用了根木棒， 第5个图形用了根木棒， 故答案为： （2）不存在，理由如下： 由（1）可知，第n个图形用的木棒根数是， 由解得， ， 与为正整数矛盾， 即不存在某个图形，共用了根木棒． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）某厂商计划生产普通牙刷和电动牙刷共500支，由于订单增加，实际生产了620支，其中普通牙刷超产，电动牙刷超产，设普通牙刷计划生产支． (1)根据题意，填写下表： 计划生产/支 实际生产/支 普通牙刷 电动牙刷 (2)该厂商普通牙刷和电动牙刷实际各生产了多少支？ 【答案】(1)见解析 (2)普通牙刷实际生产了500支，电动牙刷实际生产了120支 【分析】本题主要考查列代数式和一元一次方程的应用，理解题意，正确找出等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据实际生产了620支，结合（1）中代数式可列方程，求解即可． 【详解】（1）解：补全表格如下表所示： 计划生产/支 实际生产/支 普通牙刷 电动牙刷 （2）解：由（1）可知，普通牙刷实际生产支，电动牙刷实际生产支， 根据题意，得 解得， ． 答：该厂商普通牙刷实际生产了500支，电动牙刷实际生产了120支． 39．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）某校开展“校园献爱心”活动，准备向四川西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包，已知男款书包单价40元/个，女款书包单价35元/个． (1)原计划募捐5300元，恰好可购买两种款式的书包140个，问两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，师生积极性高，实际捐款额和书包数量都高于原计划．快递公司将这些书包装箱运送，其中每箱书包数量相同．第一次他们领走这批书包的，结果装了6箱还多12个书包；第二次他们把余下的部分领走．连同第一次装箱剩下的12个书包一起．刚好装了4箱．则实际购买书包共多少个？ 【答案】(1)购买男款书包80个，则购买女款书包60个 (2)实际购买书包共180个 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设购买男款书包x个，则购买女款书包个，根据两种款式的书包共需5300元列出方程并解答． （2）设实际购买书包共a个，根据每一箱所装书包的个数相等列出方程并解答． 【详解】（1）解：设购买男款书包x个，则购买女款书包个， 依题意得：， 解之得：， （个）， 答：购买男款书包80个，则购买女款书包60个． （2）解：设实际购买书包共a个， 依题意得：， 解得， 答：实际购买书包共180个． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）对于任意实数，我们规定：，例如：，． (1)填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______0；（填“”“”或“”） (2)若，且，求与的值． 【答案】(1)①10；②3；③； (2)，． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，-6，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，整理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）（1）①由题意知，10， 故答案为：10； ②由题意知，， 解得，， 故答案为：3； ③由题意知，， 故答案为：； （2）解：∵， ，整理得，， ， ， ， ∴的值为，的值为1． 41．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究，请仔细阅读并完成相应的任务． 三向环岛模型的探究 如图，该三向环岛模型是城市中常见的交通枢纽．图是未投入使用的三向环岛枢纽示意图，试运行时辆车从出入口的处进入，沿道路行进，到达点后辆车沿从出入口驶出环岛，其余车辆沿转向驶向下一个出入口，同时辆车从出入口进入，与转向车辆一同驶向出入口，出入口处车辆转向和驶入驶出的交通规则与出入口处相同，出入口处有辆车驶出，同时有辆车驶入，最终在出入口处驶出环岛．由此可知，由出入口驶入在处转向的车辆有______辆，由转向后到达点处的车辆有_____辆． 任务： (1)材料中“”处应填___________，“”处应填___________．（用含有字母的代数式表示） (2)若出入口处有辆车驶出环岛，求出入口处进入的车辆数． 【答案】(1)，． (2)辆 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）根据图形列得代数式即可； （2）由题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：由出入口驶入在处转向的车辆有：（辆）， 由转向后到达点处的车辆有：（辆）． 故答案为：，． （2）解：根据题意得，， 解得， （辆）， 出入口处进入的车辆数为辆． 42．（24-25七年级上·江苏南京·期中）常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得．其中，秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）方程得出和．根据任务一，用含得代数式表示． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）建立的方程组得出的解代入杠杆原理公式即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）由题意得：，， ∴， ∴； （3）由（1）（2）得出和， ， ． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（24-25七年级上·广东韶关·期中）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表： 型号 进价（元只） 售价（元只） A型 10 12 B型 15 23 若该店购进这100只文具共花费1300元，则A，B两种型号的文具各有多少只？若全部售出，总利润是多少？ 【答案】该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，总利润为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是关键． 根据题意，设该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，由此列方程求解即可． 【详解】解：设该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只， 依题意得， 解得， ∴ ， 利润为： （元）， 答：该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，总利润为元． 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某校七年级班组织生活小常识模拟预测，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分成为解答本题的关键． 根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分，进而列方程求解即可； 【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 45．（24-25七年级上·河南新乡·期中）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 索材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】任务一：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套；任务二：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿．根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据定价=成本利润率即可求解． 【详解】解：（1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． 由题意，得， 解方程，得． ． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套． （2）（元）． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 46．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 47．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 【答案】(1)5 (2)①3 ②1 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）已知的四个数的和为； （2）①由题意可知， ； ②由①知， 这四个数的平均数为 48．（24-25七年级上·江苏南京·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买16人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购16张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得： 解得： 学生人数为人，成人人数为8人． 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用： 元 所以，购团体票更省钱． （3）若成人和学生分开买票，费用：（元）， 若购买团体票，费用：（元） 最省的购票方案为：买16人的团体票，再买4张学生票． 49．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【答案】（1）143 （2）①该商品的成本价为500元；②按七五折（即）出售则可获得利润25元 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，找出等量关系并列出方程是解题的关系． （1）设右下方两个相等的正方形的边长为x，用含x的代数式分别表示这些正方形的边长，再根据长方形的对边相等建立方程求解； （2）①根据营销问题的等量关系列方程求解；②根据利润=售价-成本求解即可． 【详解】解：（1）设右下方两个相等的正方形的边长为x， ， ， ， 则这个长方形色块图的面积为， 故答案为：143； （2）①设商品的成本价为x， ， ， 答：该商品的成本价为500元； ②． 答：按七五折（即）出售则可获得利润25元． 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 50．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据给出的数轴及已知条件，解答下面问题： (1)已知、、三点在数轴位置如图所示，则到点的距离为3的点表示的数是______． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，若在此数轴上，两点之间的距离为2025，（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． (3)点在数轴上，点到、、三点的距离和为15，求点对应数轴上的数是多少？ 【答案】(1)4或 (2)；1011 (3)或3 【分析】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）根据对称的性质可得对称点的坐标； （3）根据数轴上两点之间的距离，分情况进行讨论，求解即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知：点A、B、C表示的数分别是1，，， 与点A的距离为3的点表示的数是或． （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折叠处的点表示的数为：， ∵在此数轴上，两点之间的距离为2025，（在的左侧）， ∴M表示的数是：， N表示的数是：． （3）解：当在之间，， 不可能等于15； 当在点右侧时，， ∴， ∴点对应的有理数是； 当在点左侧时，， ∴， ∴点对应的有理数是， 综上分析可知：点对应的有理数是或3． 51．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_______； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么_______； (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是_______，最小距离是_______． (4)若数轴上表示数的点位于与5之间，则_______． 【答案】(1)3 (2)1或 (3)12；2 (4)8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴，结合两点之间的距离公式即可解决； （2）根据绝对值的定义可得或，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据题意可得，，据此化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 故答案为：3； （2）解：， 则或， 解得或． 故答案为：1或； （3）解：∵， ∴， 解得或； ∵， ∴， 解得或． 当，时，、两点间有最大距离； 当，时，、两点间有最小距离． 故答案为：12；2； （4）解：∵表示数的点位于与5之间， ∴，， ∴． 故答案为：8． 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知数轴上两点所表示的数分别为和，且满足为原点． (1)________，_______． (2)点从点出发向右运动，经过秒后点到点的距离是点到点距离的倍，求点的运动速度？ (3)点以个单位每秒的速度从点向右运动，同时点从点出发以个单位每秒的速度向左运动，点从点出发，以个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，分别为的中点，求与之间的数量关系．（乘法分配律的逆用：多项式，如：） 【答案】(1)； (2)个或个单位每秒 (3) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，一元一次方程的应用，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由，可得，，解之即可； （2）设的速度为每秒个单位，可得：，解出即可； （3）设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，由分别为的中点，有表示的数是，表示的数是，故，，，所以得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设的速度为每秒个单位，则运动后表示的数是， 根据题意得：， 或， 解得：或； （3）解：设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是， 分别为的中点， 表示的数是，表示的数是， ，，， ， ． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，在一条数轴上，O为原点，点A对应的数为，点对应的数为，且有，是数轴上的两个动点． (1)求出点A，点对应的数： ， ； (2)当点到的距离是点A到点距离的2倍时，求点所表示的数？ (3)若动点分别从点出发，点每秒向右运动3个单位长度，点每秒向右运动2个单位长度，当点运动后点开始出发，且点之间的距离是3个单位长度时，求此时点分别对应的数． 【答案】(1)3， (2)或13 (3)点P，Q分别对应的数为33，30或15，18． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质、绝对值方程等知识点，熟练掌握并能根据数轴上点的移动规律列出方程是解题的关键． （1）依据题意，由，可得，然后求解即可； （2）依据题意，设P对应的数为m，又，且A对应的数是3，B对应的数是，据此列绝对值方程求解即可； （3）依据题意，设P运动了t秒后，点P，Q之间的距离是3个单位长度，则此时P对应的数为，Q对应的数为：，从而，进而求出t后，再判断其即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 故答案为：3，． （2）解：∵． ∴A对应的数是3，B对应的数是， 设P对应的数为m， 又∵， ∴． ∴或． ∴或． 答：点P所表示的数为或13． （3）解：设P运动了t秒后，点P，Q之间的距离是3个单位长度， ∴此时P对应的数为，Q对应的数为：， ∴． ∴或． ∴或4． 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为； 综上，点P，Q分别对应的数为33，30或15，18． 54．（24-25七年级上·陕西西安·期中）【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是－4，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离PQ为1？（请写出求解过程） 【答案】（1） （2）或9 （3）或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由数轴上数x到原点的距离为3，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x在原点左边，即可确定x的值； （2）根据数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点A，B之间的距离结合点A表示的数，可找出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：或， 又∵x在原点左边， ∴x的值为． 故答案为：； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：a表示的数为或9； （3）∵点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是， 当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：运动或秒时． 55．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点． 又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 知识运用： (1)如图，点是【，】的好点吗？ 填是或不是； (2)如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为，现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止，的运动时间为秒，当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)是 (2)当为、、时，、和中恰有一个点为其余两点的好点 【分析】（）分别求出点到点的距离和到点的距离，然后根据好点的定义即可求解； （）根据好点的定义可知分四种情况：①若是【，】的好点；②若是【，】的好点；③若是【，】的好点；④若是【，】的好点，根据好点的定义列出方程，进而求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，运用分类讨论思想解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点是【，】的好点， 故答案为：是； （2）解：①若是【，】的好点，则， ∵点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∴， 即， 解得； ②若是【，】的好点，则， ∴， 即， 解得； ③若是【，】的好点，则， ∴， 即， 解得； ④若是【，】的好点，则， ∴， ∴， 即， 解得； 综上所述：当为、、时，、和中恰有一个点为其余两点的好点． 56．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离， 如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．    【学以致用】 （1）计算：_______，若，则_______； （2）若，则_______； （3）当整数x取_______时，的值最小，且其最小值为_______； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点M、N、P所表示的数分别为1、4、5，此时，因此点N是M、P的“三倍点”． （4）若点A表示的数是1，点B表示的数是，问题（3）中整数x所对应的点有哪几个是A、B的“三倍点”？请说明理由． （5）若点C表示的数是，点D表示的数是6，请直接写出点C、D的“三倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4，或；（2）或；（3）、、、、、、；；（4）和是A、B的“三倍点”，理由见解析；（5）或或或． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离公式，一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义和“三倍点”的定义是解题关键． （1）根据绝对值的几何意义和两点间距离公式解答即可； （2）根据绝对值的几何意义和两点间距离公式解答即可； （3）根据的几何意义可知，当在和之间时（包含和），的值最小，即可求解； （4）根据“三倍点”的定义列方程求解，再结合问题（3）中整数x的求值确定即可； （5）设点C、D的“三倍点”所对应的数值为，根据“三倍点”的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离为3， ，， 即时，或， 故答案为：4，或； （2）表示数轴上表示x的点与表示和的点之间的距离之和为10， 当在的左侧时，， 解得； 当在和之间时（包含和），此时，不符合题意； 当在的右侧时，， 解得； 故答案为：或； （3）表示数轴上表示x的点与表示和的点之间的距离之和， 当在和之间时（包含和），的值最小，为， 此时整数x取、、、、、、； 故答案为：、、、、、、；； （4）和是A、B的“三倍点”，理由如下： 点A表示的数是1，点B表示的数是，问题（3）中整数x是A、B的“三倍点”， 若，解得：或（舍）； 若，解得：或（舍）； 即和是A、B的“三倍点”； （5）设点C、D的“三倍点”所对应的数值为， 若点C表示的数是，点D表示的数是6， 则或， 解得：或或或， 即点C、D的“三倍点”所对应的数值为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $