精品解析：安徽省部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（人教版）

高二数学（人教版） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 3. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（ ） A. 或 B. 2或 C. 2或4 D. 或4 6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（ ） A. 1 B. －1 C. D. 7. 若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为－1 C. 不可能平行于轴 D. 与直线的距离是 10. 已知为坐标原点，，圆，则（ ） A. 圆恒过坐标原点 B. 圆与圆内切 C. 直线与圆相离 D. 圆的圆心在单位圆上运动 11. 在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 直线与直线的夹角余弦是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是函数的零点，则的值为__________. 13. 现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是________. 14. 过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是________，此时直线的方程是________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. 16. 记内角、、的对边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）若角为锐角，且的面积为，求的边长. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. （1）证明：； （2）若的角平分线恰好过点，求的面积. 18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. （1）证明：PA⊥BD； （2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值． 19. 法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. （1）求椭圆的蒙日圆方程； （2）对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学（人教版） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法求得，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由得，.在复平面内对应的点在第一象限. 故选:A. 2. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，. 故选：D. 3. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 4. 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：连接， . 故选：B. 5. 已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（ ） A. 或 B. 2或 C. 2或4 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆上得到的值，然后根据定义求“镜像距离”即可. 【详解】由题意得，， 有四种情形： ，，； ，，； ，，； ，，. 故选：C. 6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的横截式方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出值，则结果可求. 【详解】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ， 解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为， 故选：D. 7. 若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分与讨论，当时，利用换元法把问题转化成函数在上的最值问题求解. 【详解】由原不等式得，， （1）时，，不等式成立，， （2）当时，， 则原问题转化为求函数的最大值问题， 令，则，其中， 因为在单调递增，所以，因此， 综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知偶函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得周期为4，利用赋值法求出，利用周期性可得解. 【详解】，又是偶函数，则， 可得，令为， 则，因此，所以周期为4. 因为，所以. 又因为，所以. 因为，所以. 于是，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为－1 C. 不可能平行于轴 D. 与直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一般式直线方程的形式，结合斜率，截距公式，平行线距离公式，即可判断选项. 【详解】时，的斜率为，时，直线的斜率不存在，A错. 在中，令，则.B对. 当时，直线，平行于轴，C错. 与直线的距离是.D对. 故选：BD. 10. 已知为坐标原点，，圆，则（ ） A. 圆恒过坐标原点 B. 圆与圆内切 C. 直线与圆相离 D. 圆的圆心在单位圆上运动 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.代入点可判断；B.计算圆心距离与半径的大小关系；C.求圆心到直线的距离来判断.D.圆心代入单位圆计算验证. 【详解】对于A，满足，所以A对. 对于B，两圆的圆心距是1，，所以B对. 对于C，圆的圆心到直线的距离，所以C错. 对于D，圆的圆心的坐标满足方程.所以D对. 故选:ABD. 11. 在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 直线与直线的夹角余弦是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求解即可判断A、B；根据空间向量的数量积判断C；根据空间向量的夹角公式计算可判断D 【详解】因为， 所以，，. 因此A、B对. 因为， ，所以C错. 因为 ， ， ， 所以， 直线与直线的夹角余弦是.所以D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是函数的零点，则的值为__________. 【答案】##-0.75 【解析】 【分析】求得函数的零点为，从而得，由可得，根据同角商的关系及诱导公式求解即可. 【详解】解：因为， 令，则， 所以， 即， 又因为 所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况：分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者，求出每一种情况的概率，然后利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件， 则；；， 因此“恰有一名女志愿者”的概率为. 故答案为：. 14. 过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是________，此时直线的方程是________. 【答案】 ①. 48 ②. 【解析】 【分析】根据题意，直线在两坐标轴的截距均不为0，所以假设直线的截距式方程，代入点，再利用基本不等式即可得到，由此可知的面积，并求出此时的直线方程. 【详解】设，，其中，，则直线的方程为. 在直线上，. 又，即，. 所以， 当且仅当时取等号，再结合解得，，， 所以面积的最小值为48， 此时直线的方程为， 即. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最小值是，最大值是. 【解析】 【分析】（1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. 【小问1详解】 设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. 【小问2详解】 就是，其半径是4， 圆心是，. 显然在圆外，故的最小值是，最大值是. 16. 记内角、、的对边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）若角为锐角，且的面积为，求的边长. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边可求，再根据正弦定理边化角可求的值，则可求； （2）先确定的值，将的面积用表示出来，然后求解出的值，由可求结果. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由，得， 于是， 因为，所以，， 因为，且，， 所以，， 因为，故或. 【小问2详解】 由题意可知，， 因为， 且， 所以，解得， 故. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. （1）证明：； （2）若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】（1）证明：由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. （1）证明：PA⊥BD； （2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值． 【答案】18. 证明如下： ∵∠DAB=600，AB=2AD， 由余弦定理得BD=AD， 从而BD2+AD2=AB2 故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD， 故PA ⊥BD 19. . 【解析】 【详解】试题解析： （1）略 （2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系 则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1） 设平面PAB的法向量，则 ，解得 平面PBC的法向量，则 ，解得 考点：本题考查线线垂直 二面角 点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性 19. 法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. （1）求椭圆的蒙日圆方程； （2）对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 【答案】（1） （2）（i）设点是切点弦的中点，，. 当，都存在时， 两个方程相减得，， 所以，即，. （或：设所在的直线方程是，联立消去得，，，.所以点的坐标是.于是.） 而，所以，，，，三点共线， 平分切点弦. 当，有一个不存在时，显然成立. （ii）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，. 于是，，因此，故. 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆的定义求蒙日圆即可； （2）（i）利用点差法或韦达定理得到，然后结合的直线方程得到，即可证明； （ii）根据圆的性质得到，，然后结合等腰三角形的性质证明平行即可. 【小问1详解】 考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：（i）本题的解题关键在于利用点差法或韦达定理得到，然后结合的斜率得到，利用斜率相等证明三点共线，从而得到平分切点弦. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $