精品解析：广东省广州市第十六中学2025届高三上学期11月教学质量检测（二）数学试题

2024学年广州市第十六中学高三年级教学质量检测（二） 数学（问卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案. 【详解】因为， 所以， 故其非空真子集的个数为． 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数，再平方，即可求解. 【详解】因为，故，故 故选：A. 3. 下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，，故不是偶函数，不符题意； 对于B，因为幂函数满足，且其定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意； 对于C，，故不是偶函数，不符题意； 对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意. 故选：B. 4. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. 【详解】设事件为“第一次取红球”，事件为“第白次取红球”，则， ，故 ． 故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题. 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积. 【详解】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式：. 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为：. 故选：C 8. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解. 【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图， 若甲为真命题，则； 若乙为真命题：则的周长为，即； 若丙为真命题，则离心率为； 若丁为真命题，则四边形的面积为； 当甲乙都为真时，有，解得，则， 此时，，则丙和丁都是假命题； 所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真； 若甲、丙和丁为真，则，解得， 此时满足，且，符合题意； 若乙、丙和丁为真，则，解得， 此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立； 综上，乙命题为假命题. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若a是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C. 若角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），则 D. 若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数的定义可判断；对于B，利用象限角的定义判断；对于C，利用任意角三角函数的定义判断即可；对于D，利用弧长公式求解判断 【详解】解：对于A，由三角函数的定义可知，，其中，因为，所以，所以，所以，所以A正确； 对于B，由于a是第二象限角，所以，所以，当时，，则 为第一象限的角；当时，，则 为第三象限的角，综上为第一象限或第三象限角，所以B正确；、 对于C，由于角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），所以，所以C错误； 对于D，设扇形的圆心角为，则由题意得，得，所以D正确， 故选：ABD 10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出经过，，三点的截面，判断A的真假；作出异面直线与所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点到平面的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 直线交直线于，设. 因为， 因为三点共线，所以，因为，所以. 所以点在线段上. 设射线与射线交于点，连接交于点. 在线段上取点，使；在线段上取点，使. 依次连接，可得经过，，三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误； 对B：如图： 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，所以，故B正确； 对C：易知平面平面，平面，所以平面. 点，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确； 对D：如图 将绕旋转，使共面，则. 过作与直线垂直，垂足为. 在中，，，，所以，，， 所以.故D正确. 故选：BCD 11. 设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C. 数列中没有最大项 D. 若对任意，成立，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】先由数列递推式求得，再由求得，由与的关系式求出，代值即可判断A项；对于B，由通项分析项的符号特征即可判断；对于C，分析数列的项的单调性特点可判断其由最大项，排除C；对于D，利用C项结果将不等式恒成立转化成求解不等式即得. 【详解】当时，，得，因①， 当时，②， 由①②，，即，取时，满足题意， 故数列的通项公式为，又因，故. 当时，；当时，， 因时，符合题意 ，故， 则，故A正确； 对于B，由A已得，，则， 因时，时，，而， 故的最大值为或，有最小值，故B错误； 对于C，由，可得， 易得,且，故的最大项为，故C错误； 对于D，由，可得，由C项分析已得为的最大项， 故得，解得或，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义数列的项与和的性质的应用，属于难题. 解题的思路在于，由递推和式采用赋值相减法求出通项，可得,再由与的关系式求出通项，再分析项的符号以及单调性特征，逐一判断选项可得. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，令，求出并代入函数式计算即得. 【详解】依题意，令，解得， 所以. 故答案为：1 13. 在的展开式中，含的项的系数是________. 【答案】-15. 【解析】 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数, 所以含的项为. 所以展开式中，含的项的系数是-15. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题（共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【小问1详解】 中，， 由正弦定理得， 又， 则有，由，， 则，得， 由，则，得. 【小问2详解】 ，则，由，得， 由余弦定理， 得，得， 所以的周长为. 16. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2） 当时，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，， 令，，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解； （2）构造函数，，利用导数证得，再利用函数单调性及不等式性质推理即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，依题意，恒成立，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 于是，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 17. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 【答案】（1） （2）万辆 【解析】 【分析】（1）利用所提供数据求，代入参考公式求即可； （2）结合公式求，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测. 【小问1详解】 ， ， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 所以关于的线性回归方程是， 当时，（万辆）， 该地区年新能源汽车购买数量约为万辆. 18. 如图，三棱锥中，，平面平面，，，为棱的中点，为棱上的点. （1）证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以, 又，所以，所以， 因为平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用已知二面角的正弦值，结合空间向量法求得平面的法向量，进而可得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 由（1）知，平面，又平面，所以， 在直角中，，则， 又，所以， 所以， 则， 设，则，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，，所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 此时为的中点，，平面的法向量， 所以点到平面距离为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【小问1详解】 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年广州市第十六中学高三年级教学质量检测（二） 数学（问卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若a是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C. 若角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），则 D. 若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 11. 设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C. 数列中没有最大项 D. 若对任意，成立，则或 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 13. 在的展开式中，含的项的系数是________. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题（共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 17. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 18. 如图，三棱锥中，，平面平面，，，为棱的中点，为棱上的点. （1）证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求点到平面的距离. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $