专题09 概率（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题09 概率 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 点精讲讲练 2 考点一：随机事件与概率 2 考点二：事件的相互独立性 4 考点三：频率与概率 6 实战能力训练 7 明晰学考要求 1、理解样本点和有限样本空间的含义； 2、理解随机事件与样本点的关系； 3、了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算； 4、理解古典概型，能计算古典概型中的随机事件的概率； 5、理解概率的性质，掌握随机事件的概率的运算法则 6、会用频率估计概率； 7、了解两个随机事件的独立性，并结合古典概型，利用独立性计算概率。 基础知识梳理 1、概率与频率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.  2、古典概型 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 5、互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 6、对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 7、相互独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 点精讲讲练 考点一：随机事件与概率 【典型例题】 例题1．（2022河北）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024安徽）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 例题3．（2024北京）某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5  5  6  7.5  9  11  12  13 B部门 3.5  4  5.5  7  9.5  10.5  11 C部门 5  6  6.5  7  8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论的序号是 ． 例题4．（2023安徽）用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 例题5．（2024浙江）已知是互斥事件，且，则 . 【即时演练】 1．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知与是互斥事件，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（    ） A． B． C． D． 4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 5．（多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 考点二：事件的相互独立性 【典型例题】 例题1．（2024湖北）已知事件与事件相互独立，且，则 （1） ； （2） . 例题2．（2024云南）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 例题3．（2024新疆）甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. (1)两人都投中； (2)恰好有一人投中. 例题4．（2024湖南）甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 【即时演练】 1．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 2．已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 3．（多选）有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 4．某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 . 考点三：频率与概率 【典型例题】 例题1．（2024湖北）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 例题2．（2024湖南）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 例题3．（2023新疆）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 例题4．（2023宁夏）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21 (1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数； (2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率. 【即时演练】 1．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 2．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（    ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾 3．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 4．抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是 ． 战能力训练 一、单选题 1．已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 2．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137  960  197  925  271  815  952  683  123  436  730  257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A． B． C． D． 4．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件 7．下命题中，说法错误的有（       ） A．若事件两两互斥，则有 B．若事件两两独立，则有 C．事件与事件独立，则有事件与事件独立 D．事件与事件对立，则有事件与事件对立 8．习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（    ） A．0.150 B．0.400 C．0.450 D．0.850 二、多选题 9．设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 10．对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（   ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 三、填空题 11．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是 . 12．中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为 ． 四、解答题 13．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 14．某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，，，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元． 年龄 保费 30 60 90 120 150 (1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？ (2)经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率． 15．将某中职学校高二年级某班学生的数学测试成绩（满分100分）按照，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.    (1)求a，b的值; (2)按照人数比例用分层抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率. 16．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.    (1)判断事件，是否相互独立； (2)求事件，至少一个发生的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 点精讲讲练 3 考点一：随机事件与概率 3 考点二：事件的相互独立性 7 考点三：频率与概率 11 实战能力训练 14 明晰学考要求 1、理解样本点和有限样本空间的含义； 2、理解随机事件与样本点的关系； 3、了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算； 4、理解古典概型，能计算古典概型中的随机事件的概率； 5、理解概率的性质，掌握随机事件的概率的运算法则 6、会用频率估计概率； 7、了解两个随机事件的独立性，并结合古典概型，利用独立性计算概率。 基础知识梳理 1、概率与频率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.  2、古典概型 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 5、互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 6、对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 7、相互独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 点精讲讲练 考点一：随机事件与概率 【典型例题】 例题1．（2022河北）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 例题2．（2024安徽）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 例题3．（2024北京）某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5  5  6  7.5  9  11  12  13 B部门 3.5  4  5.5  7  9.5  10.5  11 C部门 5  6  6.5  7  8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，部门员工运动时间存在比部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案. 【详解】①部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工， ∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为，故①正确； ②、两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有种情况， 其中运动时间相同的情况只有1种， ∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为，故②正确； ③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时， 此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确. 故答案为：①② 例题4．（2023安徽）用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 例题5．（2024浙江）已知是互斥事件，且，则 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算即可求得结果. 【详解】根据概率的基本性质，若是互斥事件，则. 故答案为： 【即时演练】 1．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为. 故选：A 2．已知与是互斥事件，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率性质可得，即可根据互斥的性质求解. 【详解】由可得， 由于与是互斥事件，故, 故选：D 3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数、计算古典概型问题的概率 【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解. 【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况： ①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为或； 综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为， 故选：D. 4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 5．（多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 【答案】BD 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 考点二：事件的相互独立性 【典型例题】 例题1．（2024湖北）已知事件与事件相互独立，且，则 （1） ； （2） . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可. 【详解】； . 故答案为：； 例题2．（2024云南）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】(1)0.56 (2)0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式进行求解； （2）先求出甲､乙两人均未命中的概率，从而利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲､乙两人都命中的概率为； （2）甲､乙两人均未命中的概率为， 故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 例题3．（2024新疆）甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. (1)两人都投中； (2)恰好有一人投中. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解； （2）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，分“甲中乙不中”和“甲不中乙中”两种情况运算即可得解. 【详解】（1）设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”， 由于两个人投篮的结果互不影响， 所以与相互独立，与，与，与都相互独立， 由已知可得，，则，； “两人都投中”，则. （2）“恰好有一人投中”，且与互斥， 则 . 例题4．（2024湖南）甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲猜对2个乙猜对1个，甲猜对1个乙猜对2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 【即时演练】 1．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误. 【详解】依题意，，，，， 对于A，，，和互相不独立，A错误； 对于B，，，和互相不独立，B错误； 对于C，，，和互相独立，C正确； 对于D，，，和互相不独立，D错误； 故选：C 2．已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 3．（多选）有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可； 【详解】对于A，和可以同时发生，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 4．某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】由该同学在三个不同的位置至少投中一次的概率与全不中的概率和为1，结合概率的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 考点三：频率与概率 【典型例题】 例题1．（2024湖北）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【知识点】用频率估计概率 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 例题2．（2024湖南）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断. 【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况， 故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误； 对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误； 对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误； 对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确. 故选：D. 例题3．（2023新疆）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【知识点】计算频率 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 例题4．（2023宁夏）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21 (1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数； (2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率. 【答案】(1)中位数11；平均数12 (2) 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用频率估计概率 【分析】（1）根据所给数据，利用中位数和平均数的定义即可求出结果； （2）利用题设所给数据，知10名同学中有3人在15个以上，即可求出结果. 【详解】（1）这组数据为：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21. 所以，中位数为中间两个数10，12的平均数11. 平均数. （2）在抽查的10名同学中有3人在15个以上，所以估计该校的优秀率为. 【即时演练】 1．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【知识点】计算频率 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在（50，60]范围内的频率为. 故选：D. 2．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（    ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾 【答案】C 【知识点】计算频率 【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解. 【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的， 所以品种A约所占比为：， 所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾， 故选：C 3．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 【答案】；/；. 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算频率 【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率. 【详解】正面向上的频率为：； 因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：. 故答案为：；. 4．抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是 ． 【答案】/ 【知识点】计算频率 【分析】由频率计算公式计算即可. 【详解】由题意，出现“钉尖朝上”的频率是. 故答案为：. 战能力训练 一、单选题 1．已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以. 故选：D． 2．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过. 【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的， 那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为 故选：A. 3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137  960  197  925  271  815  952  683  123  436  730  257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用古典概型计算即得. 【详解】依题意，该运动员三次投篮恰有两次命中的结果有：137，271，436，共3个， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 4．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】符合要求的随机数有6组，根据古典概型的概率公式即可求出结果. 【详解】事件包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1， 随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组， 故所求概率为. 故选：A. 5．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项. 【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件， 由，，，有， 所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A 7．下命题中，说法错误的有（       ） A．若事件两两互斥，则有 B．若事件两两独立，则有 C．事件与事件独立，则有事件与事件独立 D．事件与事件对立，则有事件与事件对立 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件、独立事件、对立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若事件两两互斥，根据互斥事件的知识可知， ，所以A选项正确. B选项，例如：从中随机选出个数字，记事件“取出的数字为或”， “取出的数字为或”，“取出的数字为或”， 则“取出的数字为”， ，， 满足， 所以事件两两独立，但是, 所以B选项错误. C选项，若事件与事件独立，则事件与事件独立，所以C选项正确. D选项，若事件与事件对立， 则，所以事件与事件对立，所以D选项正确. 故选：B 8．习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（    ） A．0.150 B．0.400 C．0.450 D．0.850 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案. 【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于的概率为： ， 故选：D 二、多选题 9．设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 【答案】BC 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】对于AC：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B：根据事件间关系分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：若A和互斥，则， 显然，所以A和一定不相互独立，故A错误； 对于选项B：若事件，则，故B正确； 对于选项C：若A和相互独立，则， 所以A和一定不互斥，故C正确； 对于选项D：因为， 若A和互斥，则，则，故D错误； 故选：BC. 10．对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（   ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 【答案】ABD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用两事件的互斥定义和互斥事件的概率加法公式易判断A,B；根据两事件的包含关系易求得积事件的概率，可判断C；利用独立事件的概率乘法公式可判断D. 【详解】对于A，当与互斥时，，故，即A正确； 对于B，当与互斥时，，故，即B正确； 对于C，当时，，故，故C错误； 对于D，若与相互独立，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】确定基本事件空间为，根据古典概型计算求解，即可. 【详解】满足题意的所有两位数有，共15个. 其中能被4整除的两位数有，共5个. 所以概率 故答案为： 12．中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为 ． 【答案】0.94 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求，即可得结果. 【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件，， 则， 可得， 所以该科研院攻克这项技术难题的概率为. 故答案为：0.94. 四、解答题 13．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】(1)， (2) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得，根据中位数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【详解】（1）解：根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为，则，， 根据中位数的定义，可得， 所以； （2）因为第四组与第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，， 从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，； 则选出的人中来自同一组的概率为． 14．某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，，，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元． 年龄 保费 30 60 90 120 150 (1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？ (2)经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率． 【答案】(1)盈利 (2)． 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质求的值，再利用加权平均数的算法求收取的费用，和支出的费用比较，可得问题答案. （2）先根据分层抽样的概念确定选取的6人中年龄分别在和的人数，从中选2人，列出所有可能，找出保险费用超过150元的所有情况，根据古典概型的计算公式求相应的概率. 【详解】（1）由，解得 保险公司每年收取的保费为： ． 因为， 所以2023年度公司为盈利. （2）选取的6人中，有2人来自年龄在，记这2人分别为，，有4人来自年龄在，记这4人分别为，，，， 从这6人中任取2人的所有基本事件有： ，，，，，，，，， ，，，，，共15种， 其中保费超过150元的有，，，，，共6种， 所以被免去保费超过150元的概率为． 15．将某中职学校高二年级某班学生的数学测试成绩（满分100分）按照，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.    (1)求a，b的值; (2)按照人数比例用分层抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出a，b的值； （2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可知 解得 （2）由（1）可知成绩在和内的人数之比为3：1，按分层抽样， 抽取的4人中成绩在内的有3人，记为，成绩在内的有1人，记为. 则4人中任选2人，样本空间包含的样本点有， 则样本点总数 其中两人成绩都在内有，样本点数， 故从4人中任选2人成绩都在内的概率. 16．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.    (1)判断事件，是否相互独立； (2)求事件，至少一个发生的概率. 【答案】(1)事件，相互独立 (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）求出基本事件总数，分别求得事件，事件发生所包含的基本事件数，进而计算可，可得结论； （2）法一：根据计算即可；法二：利用对立事件的概率公式可求结论. 【详解】（1）由题意可得相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555，基本事件总数为8个， 能被3整除的数有111，555共2个，故事件包含的基本事件数为2， 能被5整除的数有115，155，515，555共4个，故事件包含的基本事件数为4， 所以包含的基本事件数为1. ，，，则， 事件与事件相互独立； （2）法一：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 法二：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$