专题08 统计（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题08 统计 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：随机抽样 4 考点二：用样本估计总体 6 实战能力训练 10 明晰学考要求 1、了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性； 2、了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法； 3、会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系； 4、了解分层随机抽样的特点和使用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差； 5、能用样本估计总体的集中趋势参数，理解集中趋势参数的统计含义； 6、能用样本估计总体的取值规律； 7、能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义。 基础知识梳理 1、简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2、总体平均数与样本平均数 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,,,，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为,,,，其中出现的频率（）则总体均值还可以写成加权平均数的形式 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； （2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）； （3）一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3、分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 4、统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 （3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 5、总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 6、样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 考点精讲讲练 考点一：随机抽样 【典型例题】 例题1．（2023广西）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 例题2．（2024新疆）一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取（    ） A．9人 B．12人 C．15人 D．18人 例题3．（2024北京）某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（    ） A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生 C．最少有618名学生 D．最少有617名学生 例题4．（2024福建）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 例题5．（2024湖南）某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的 ． 例题6．（2024广东）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 【即时演练】 1．从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（    ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A．24 B．36 C．42 D．52 2．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 3．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 4．某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 5．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 6．下列调查中，适合用普查的是（    ） A．了解我省初中学生的家庭作业时间 B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量 C．了解一批电池的使用寿命 D．了解某市居民对废电池的处理情况 7．某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 . 8．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 考点二：用样本估计总体 【典型例题】 例题1．（2024北京）下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.      记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024福建）已知x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5，则它们的中位数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题3．（2022河北）若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 例题4．（2024湖北）向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下： 2107 4165 5467 5678 5705 6542 8358 8592 8666 8722 8726 9986 10575 11558 11736 12121 12386 12400 13039 16530 则这组数据的第50百分位数为（    ） A．8720 B．8722 C．8724 D．8726 例题5．（2024江苏）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 例题6．（2023安徽）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 例题7．（2024云南）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 例题8．（2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 【即时演练】 1．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 2．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．68 B．70 C．72 D．74 3．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 ． 5．样本数据的极差和第75百分位数分别为 ． 6．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 7．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为 ；样本方差为 . 8．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和. (1)求，，，； (2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 10．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 实战能力训练 一、单选题 1．一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 2．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 3．在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度（单位：），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（    ）    A．样本花卉高度的极差不超过 B．样本花卉高度的中位数不小于众数 C．样本花的高度的平均数不小于中位数 D．样本花升高度小于的占比不超过 4．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（   ） A．16，20 B．16，80 C．18，20 D．18，80 5．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（   ） A． B． C． D． 6．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（    ） A．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变 B．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变 C．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变 D．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变 7．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 8．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 二、多选题 9．某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．参赛成绩的众数约为75分 B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D．参赛成绩的平均分约为72.8分 10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据，下列说法正确的是（    ） A．的下四分位数为 B．的中位数为 C．的平均数小于的平均数 D．的方差是的方差的4倍. 三、填空题 11．已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个.女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的平均数为 ；方差为 . 12．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 四、解答题 13．新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；    (1)试估计这名学生成绩的第百分位数； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 14．从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数； 15．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. (1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； (2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； 16．为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 17．从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的500名男生的身高的平均数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 统计 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：随机抽样 4 考点二：用样本估计总体 9 实战能力训练 17 明晰学考要求 1、了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性； 2、了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法； 3、会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系； 4、了解分层随机抽样的特点和使用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差； 5、能用样本估计总体的集中趋势参数，理解集中趋势参数的统计含义； 6、能用样本估计总体的取值规律； 7、能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义。 基础知识梳理 1、简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2、总体平均数与样本平均数 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,,,，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为,,,，其中出现的频率（）则总体均值还可以写成加权平均数的形式 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； （2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）； （3）一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3、分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 4、统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 （3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 5、总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 6、样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 考点精讲讲练 考点一：随机抽样 【典型例题】 例题1．（2023广西）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先求出抽样的比例，在计算女运动员的人数即可. 【详解】总人数有, 抽样比例为, 所以女运动员应抽取人. 故选：B. 例题2．（2024新疆）一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取（    ） A．9人 B．12人 C．15人 D．18人 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用分层抽样的等比例列式即可得解. 【详解】依题意，设男运动员应抽取人， 则，解得， 所以男运动员应抽取12人. 故选：B. 例题3．（2024北京）某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（    ） A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生 C．最少有618名学生 D．最少有617名学生 【答案】D 【知识点】总体与样本 【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可. 【详解】, ，即研学人数最多的地点最少有617名学生， ，即研学人数最多的地点最多有名学生. 故选：D 例题4．（2024福建）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层比可求男生人数. 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 例题5．（2024湖南）某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的 ． 【答案】/ 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据题意，结合分层抽样的概念可得这个班男生人数是班级总人数的，进而计算即可． 【详解】依题意可得这个班男生人数是班级总人数的． 故答案为：． 例题6．（2024广东）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 【答案】32 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据比例求得正确答案. 【详解】依题意，乙应交元. 故答案为： 【即时演练】 1．从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（    ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A．24 B．36 C．42 D．52 【答案】A 【知识点】随机数表法 【分析】利用随机数表法可得结果. 【详解】从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、， 选出的第4个同学的编号为24. 故选：A． 2．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的性质分析求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 3．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得. 【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为. 故选：C 4．某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【知识点】总体与样本、普查与抽样的合理选择 【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可. 【详解】上述调查属于抽样调查，故A项错误; 每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误； 200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确； 1200名学生的视力是总体，故D项错误. 故选：C 5．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】D 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 6．下列调查中，适合用普查的是（    ） A．了解我省初中学生的家庭作业时间 B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量 C．了解一批电池的使用寿命 D．了解某市居民对废电池的处理情况 【答案】B 【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果没有普查准确，但相对节约人力，物力和时间． 【详解】A、了解我省初中学生的家庭作业时间，适合抽样调查，故此选项错误； B、了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况，适合用普查，符合题意； C、华为公司一批某型号手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故此选项错误； D、了解某市居民对废电池的处理情况，适合抽样调查，故此选项错误； 故选：B． 7．某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 . 【答案】28 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可； 【详解】由题意可得，要抽取的男生人数为人. 故答案为：28. 8．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、分层抽样的特征及适用条件、设计分层抽样过程 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 考点二：用样本估计总体 【典型例题】 例题1．（2024北京）下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.      记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可. 【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即； 标准差时反应一组数据的波动强弱的量， 由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即. 故选：B 例题2．（2024福建）已知x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5，则它们的中位数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据平均数定义求出，再根据中位数定义即可求解. 【详解】x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5， 则，即， 解得，所以它们的中位数为. 故选：. 例题3．（2022河北）若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】由均值的定义求解． 【详解】由题意， 所以 ， 故选：C． 例题4．（2024湖北）向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下： 2107 4165 5467 5678 5705 6542 8358 8592 8666 8722 8726 9986 10575 11558 11736 12121 12386 12400 13039 16530 则这组数据的第50百分位数为（    ） A．8720 B．8722 C．8724 D．8726 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果. 【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下： ； 又，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为. 故选：C. 例题5．（2024江苏）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计 【分析】计算位置指数，代入数据可得位置，根据已知可求得. 【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 例题6．（2023安徽）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】数据在的概率为， 数据在的概率为， 故样本数据的第25百分位数所在的区间为， 故选：B 例题7．（2024云南）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 【答案】68 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 例题8．（2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 【答案】(1)中位数为88，极差为62； (2)100千克 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据中位数和极差公式即可； （2）根据题意直接计算即可. 【详解】（1）将所有数据从小到大排列： ， ， 中位数为第15，16个数的平均数，即， 极差为. （2），数据从小到大排列，第24,25个数据分别为99,101，. 每天应该进100千克苹果. 【即时演练】 1．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 【答案】C 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、总体百分位数的估计 【分析】根据图表数据可直接判断选项A，利用第百分位数的解法直接判断选项B，根据图表的分散程度即可判断选项C，根据极差的求法直接判断选项D. 【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是环，次环， 其余都是环以下，所以盛李豪平均射击环数低于，故A错误； 由于，故第百分位数是从小到大排列的第个数，故B错误； 由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确； 黄雨婷射击环数的极差为， 盛李豪的射击环数极差为，故D错误. 故选：C 2．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．68 B．70 C．72 D．74 【答案】C 【知识点】由频率分布直方图估计平均数 【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可. 【详解】依题意，，解得， 则平均分为. 故选：C. 3．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均值和方差的计算公式，可得答案. 【详解】均值：， 方差：. 故选：A. 4．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】将数据从小到大排列后，按中位数的定义求解即可. 【详解】解：将数据从小到大排列为：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84. 所以中位数为：. 故答案为： 5．样本数据的极差和第75百分位数分别为 ． 【答案】18，83.5 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据极差和百分位数的定义计算即可. 【详解】将这组数据从小到大排列为：72，74，77，79，80，82，85，90，共8个， 极差为， 因为，所以这组数据的第75百分位数为． 故答案为：． 6．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数的众数 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 7．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为 ；样本方差为 . 【答案】 7； 8. 【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】由期望、方差性质直接计算即可. 【详解】因为数据的样本平均数为3，方差为2， 所以数据的样本平均数为，方差为. 故答案为：7；8 8．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 【答案】37 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和. (1)求，，，； (2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 【答案】(1)7；7；4；1.2 (2)答案见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可； （2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果. 【详解】（1）， ， ， . （2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙. 10．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数的众数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可. 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 实战能力训练 一、单选题 1．一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、根据方差、标准差求参数 【分析】根据题意，设甲的分数为，求得五位同学本次考试成绩的平均数，然后再由方差的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设甲的分数为， 则这五位同学本次考试成绩的平均数为：， 所以这五位同学本次考试成绩的方差为： ，解得， 所以甲的分数为. 故选：C 2．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解； 【详解】因为，所以. 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内， 设为，则， 解得5，即第75百分位数为85， 故选：C. 3．在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度（单位：），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（    ）    A．样本花卉高度的极差不超过 B．样本花卉高度的中位数不小于众数 C．样本花的高度的平均数不小于中位数 D．样本花升高度小于的占比不超过 【答案】D 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数和众数的定义可判断B选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C选项；计算出样本花升高度小于的占比，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为，A错； 对于B选项，样本花卉高度的众数为， 设样本花卉高度的中位数为， 前三个矩形的面积和为， 前四个矩形的面积和为，故， 由中位数的定义可得，解得，则， 所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B错； 对于C选项，由频率分布直方图可知， 样本花卉高度的平均数为， 且，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C错； 对于D选项，由B选项可知，样本花升高度小于的占比为，D对. 故选：D. 4．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（   ） A．16，20 B．16，80 C．18，20 D．18，80 【答案】D 【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为， 方差为， 故选：D． 5．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽人，人，人， 抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、， 所以该校学生的平均身高为. 故选：B 6．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（    ） A．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变 B．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变 C．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变 D．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变 【答案】B 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】根据题意设出裁判的评分，根据数字特征计算即可. 【详解】若7个裁判的评分分别为：10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，9.9，9.9，9.9，9.8， 去掉前后的中位数都为9.9，故错误； 去掉一个最高分和一个最低分前平均数为 去掉一个最高分和一个最低分后平均数为 ，故错误； 若7个裁判的评分分别为：10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，众数为：10和9.9， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，10，9.9，9.9，9.9，众数为9.9，故错误； 若七个裁判的评分为：10，10，10，10，10，10，10，则去掉一个最高分和一个最低分前后均值都为10，方差都为0，则正确； 故选：. 7．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得. 【详解】依题意，估计总体平均数为. 故选：B 8．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断. 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 二、多选题 9．某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．参赛成绩的众数约为75分 B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D．参赛成绩的平均分约为72.8分 【答案】AC 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】对于A，由频率分布直方图的最高小长方形中点值即可得解；对于B，由分数在内的频率和样本容量可求解；对于C，根据频率分布直方图的数据结合百分位数的定义和求解步骤计算求解即可；对于D，根据频率分布直方图中的平均数定义的求解方法即可计算得解. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得众数为，故A正确； 对于B：由频率分布直方图可得内应抽取人，故B错误； 对于C：分数在）内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确； 对于D：平均数为，故D错误. 故选：AC. 10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据，下列说法正确的是（    ） A．的下四分位数为 B．的中位数为 C．的平均数小于的平均数 D．的方差是的方差的4倍. 【答案】BCD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、各数据同时乘除同一数对方差的影响、总体百分位数的估计 【分析】对于A：根据百分位数的定义分析判断；对于B：根据中位数的定义分析判断；对于C：根据平均数的定义分析判断；对于D：根据方差的性质分析判断. 【详解】对于选项A：下四分位数为第25百分位数，且， 所以的下四分位数为，故A错误； 对于选项B：共有21个数据， 所以中位数是这组数据的第11项为，故B正确； 对于选项C：因为数据是从小到大排列，则， 所以的平均数小于的平均数，故C正确； 对于选项D：因为，的方差是的方差的倍， 所以的方差是的方差的4倍，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个.女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的平均数为 ；方差为 . 【答案】 72.5 148 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可. 【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， 则有， . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 故答案为：72.5；148 12．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【答案】507 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【详解】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 四、解答题 13．新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；    (1)试估计这名学生成绩的第百分位数； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案. （2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得 成绩小于的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为 （2）因为成绩在，，的学生人数所占比例为, 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人． 记抽取成绩在的人为，成绩在为，，． 从这人中随机抽取人的所有可能为： ， ，共种， 抽取的人成绩都在的是，共种， 抽取的人成绩都在的概率为· 14．从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数； 【答案】(1) (2)， 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【详解】（1）第六组的频率为， ∴第七组的频率为. （2）由直方图得， 身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为， 因为身高在第五组的频率最高，人数最多， 所以众数为. 平均数为： . 所以估计该校的500名男生的身高的众数为，平均数为. 15．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. (1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； (2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； 【答案】(1)30 (2)众数为55；第80百分位数为66 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案； （2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数； 【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为： 所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：； （2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55； 年龄在区间上的频率为： 年龄在区间上的频率为：， 故第80百分位数位于之间，设为， 所以，解得， 所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66. 16．为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【答案】(1) (2)5000 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案； （2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果. 【详解】（1）因为 所以这批零件的直径的中位数在内． 设这批零件的直径的中位数为，则， 解得， 即这批零件的直径的中位数为． （2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为， 则可估计这批零件中优等品的件数为． 17．从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的500名男生的身高的平均数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率. 【答案】(1)0.06 (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先计算第六组的频率，根据频率和为1，可得第七组频率. （2）根据频率分布直方图中求平均数的方法即可求解. （3）用列举法写出基本事件的总数和两名男生来自同一组包含的基本事件，即可求解. 【详解】（1）第六组的频率为， ∴第七组的频率为. （2）由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第八组的频率为， 则平均数为： . （3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$