切线的性质与判定专题突破练-2025年九年级中考数学一轮复习

切线的性质与判定专题突破练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共9小题） 1．（2024秋•海淀区校级期中）如图，AD是⊙O的切线，点C是⊙O上的一点，连接CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝20°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．（2024秋•香洲区校级期中）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（　　） A．60° B．45° C．70° D．90° 3．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，半径为的⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，连接BC，点D为的中点，延长AB交⊙O的切线DE于点E，若BC＝4，则DE的长度为（　　） A． B．4 C． D． 4．（2024•泸州）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 5．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（　　） A．2 B． C． D． 6．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，AC是⊙O的直径，PB、PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P＝60°，PC＝3，则AB的长度为（　　） A．1 B． C． D． 7．（2023秋•滨湖区期末）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 8．（2023秋•凤台县校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是⊙O的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE 9．（2024•和平区三模）如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F．若PA＝2，则△PEF的周长为（　　） A． B．4 C． D．2 二．填空题（共8小题） 10．（2024秋•溧阳市期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝　 　°． 11．（2024秋•西城区校级期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于M、N两点，若△PMN的周长为10，则切线长PA等于 　 　． 12．（2024秋•北京期中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠P＝40°，点C是⊙O上一点，则∠ACB的度数为　 　． 13．（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　 　cm． 14．（2024秋•海淀区校级期中）如图，从⊙O外一点A引圆的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，连接AO交⊙O于点E，D为⊙O上点，∠BDE＝35°，则∠BCA＝　 　°． 15．（2024秋•玄武区期中）如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 　 　． 16．（2024秋•仓山区校级期中）如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝45°，AC＝2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值为 　 　． 17．（2023•越秀区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 　 　（直接填写序号）． ①直线DF是⊙O的切线： ②△DEF是等腰三角形； ③图中共有3个等腰三角形： ④连接OE，则tan∠AEO＝． 三．解答题（共7小题） 18．（2024秋•海安市期中）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 19．（2024秋•无锡期中）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．求证：CF＝CE； 20．（2024秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 21．（2024秋•宜兴市期中）如图，AB为⊙O 的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若0A＝2OE，DF＝3，求PB的长． 22．（2024秋•定西期中）如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（﹣1，0）的直线AB与⊙P相切于点B． （1）求AB的长； （2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积（不取近似值）． 23．（2024秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 24．（2024•新邵县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在斜边AB上取一点O，以OA为半径作⊙O，交AB于点N，交AC于点M，连接MN． （1）如图1，若∠B＝60°，MN＝2，求⊙O的半径． （2）如图2，若⊙O与BC交于点D，连接AD，MD，且AD2＝AC•AN； ①求证：BC是⊙O的切线； ②若AM＝3，CD＝2，求AN的长． 切线的性质与判定专题突破练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2024秋•海淀区校级期中）如图，AD是⊙O的切线，点C是⊙O上的一点，连接CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝20°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【解答】解：连接OD， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ODA＝90°， ∵∠C＝20°，OC＝OD， ∴∠C＝∠ODC＝20°， ∴∠AOD＝2∠C＝40°， ∴∠A＝90°﹣∠AOD＝50°； 故选：C． 2．（2024秋•香洲区校级期中）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（　　） A．60° B．45° C．70° D．90° 【解答】解：连接AO，BO，OE， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠APB＝60°， ∴∠AOB＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°， ∵PA、PB、CD是⊙O的切线， ∴∠ACO＝∠ECO，∠BDO＝∠EDO， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠COE+∠EOD＝∠AOB＝60°． 故选：A． 3．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，半径为的⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，连接BC，点D为的中点，延长AB交⊙O的切线DE于点E，若BC＝4，则DE的长度为（　　） A． B．4 C． D． 【解答】解：连接OD交BC于H，连接AC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝2，BC＝4， ∴AC＝＝2， ∵点D为的中点， ∴＝， ∴CD＝BD， ∴OD⊥BC，CH＝BH＝BC＝2， ∵AO＝BO， ∴OH＝AC＝1， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴BH∥DE， ∵∠ACB＝∠ODE， ∴△ABC∽△OED， ∴， ∴＝， ∴DE＝2． 故选：D． 4．（2024•泸州）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 【解答】解：连接AD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAE+∠BCD＝236°， ∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°， ∴∠EAD＝56°， ∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D， ∴EA＝ED， ∴∠EDA＝∠EAD＝56°， ∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°， 故选：C． 5．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：连接OD， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴∠BDO＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠C＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴， ∴． 故答案为：C． 6．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，AC是⊙O的直径，PB、PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P＝60°，PC＝3，则AB的长度为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：连接BC， ∵PB、PC是⊙O的两条切线， ∴PB＝PC， ∵∠P＝60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴BC＝PC＝3，∠BCP＝60°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ACP＝∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AB， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即AB2+32＝（2AB）2， ∴AB＝． 故选：C． 7．（2023秋•滨湖区期末）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：如图，连接DP， ∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AB＝， ∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F， ∴DE＝DF，PE⊥DE， ∵PE＝PF，PD＝PD， ∴△PED≌△PFD（SSS）， ∵⊙P的半径为， ∴DE＝， 当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×， ∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE， ∴四边形PEDF面积的最小值为． 故选：A． 8．（2023秋•凤台县校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是⊙O的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE 【解答】解：A、∵AD＝CD，AO＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； B、由A选项可知：DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； C、∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠A＝∠C， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意； D、当OD＝DE时，不能证明DE是⊙O的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 9．（2024•和平区三模）如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F．若PA＝2，则△PEF的周长为（　　） A． B．4 C． D．2 【解答】解：连接OA，OB， 由题意知：MN垂直平分PO， ∴PO是⊙Q的直径， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴PA，PB是圆的切线， ∴PA＝PB， ∵EF切圆于C， ∴AE＝CE，BF＝CF， ∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+AE+BF＝PA+PB＝2PA＝2×2＝4． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 10．（2024秋•溧阳市期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝　42　°． 【解答】解：连接OC， ∵CE与⊙O相切于点C， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∵∠CDB＝24°， ∴∠COE＝2∠CDB＝2×24°＝48°， ∴∠E＝90°﹣∠COE＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42． 11．（2024秋•西城区校级期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于M、N两点，若△PMN的周长为10，则切线长PA等于 　5　． 【解答】解：∵MA、MC分别切⊙O于A、C两点， ∴MA＝MC， 同理可得：NB＝NC，PA＝PB， ∵△PMN的周长为10， ∴PM+MN+PB＝10， ∴PM+MC+PN+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝10， ∴PA＝5， 故答案为：5． 12．（2024秋•北京期中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠P＝40°，点C是⊙O上一点，则∠ACB的度数为　70°或110°　． 【解答】解：连接OA、OB． ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， 又∵∠APB＝40°， ∴在四边形AOBP中，∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°， ∴∠ADB＝×∠AOB＝×140°＝70°， 即当C在D处时，∠ACB＝70°， 在四边形ADBC中，∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°70°＝110°． 综上，∠ACB的度数为70°或110°， 故答案为：70°或110°． 13．（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　3　cm． 【解答】解：设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB， ∵⊙O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C， ∴OB⊥AB，OA平分∠BAC， ∴∠OAB＝∠BAC， ∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAB＝60°， ∵tan∠OAB＝tan60°＝， ∴OB＝3tan60°＝3（cm）， ∴这个零件的半径是3cm． 故答案为：3． 14．（2024秋•海淀区校级期中）如图，从⊙O外一点A引圆的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，连接AO交⊙O于点E，D为⊙O上点，∠BDE＝35°，则∠BCA＝　70　°． 【解答】解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠BOE＝2∠BDE＝2×35°＝70°， ∵AB、AC是⊙O的切线， ∴OB⊥AB，AB＝AC，∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAB＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BAC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠BCA＝∠CBA＝（180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70． 15．（2024秋•玄武区期中）如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 　　． 【解答】解：作O点关于MN的对称点O′，连接O′C、O′B、O′N，如图，则ON＝O′N， 设BN＝x，则ON＝O′N＝4﹣x， ∵弧B′M与半径OA相切于点C， ∴O′C⊥AC，O′C＝OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴O′C∥OB， ∴四边形OBO′C为矩形， ∴∠OBO′＝90°，O′B＝OC， ∵C是OA的中点， ∴O′B＝OC＝2， 在Rt△O′BN中，x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， 即BN的长为． 故答案为：． 16．（2024秋•仓山区校级期中）如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝45°，AC＝2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值为 　　． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，以CF为直径作圆与CB、CA分别相交于点M、N，连接OM、ON，过点O作OE⊥MN于点E，如图， ∵CF⊥AB，此时圆的直径最小，∠MON＝2∠MCN为定值， ∴线段MN此时长度最小． ∵∠CFA＝90°，∠A＝45°，AC＝2， ∴CF＝AC＝． ∵∠BCA＝60°， ∴∠MON＝120°， ∵OE⊥MN于点E， ∴∠MOE＝60°． ∵OM＝OC＝CF＝，∠MOE＝60°， ∴ME＝OM＝， ∴MN＝2ME＝． 故答案为：． 17．（2023•越秀区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 　①②④　（直接填写序号）． ①直线DF是⊙O的切线： ②△DEF是等腰三角形； ③图中共有3个等腰三角形： ④连接OE，则tan∠AEO＝． 【解答】解：连接OD． 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AC是直径， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝∠CDF， ∴∠ODF＝∠ADC＝90°， ∴DF是⊙O的切线，故①正确， ∵∠CDF＝∠CDB＝∠CAB＝22.5°，∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵∠E＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EFD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠EDF＝∠EFD， ∴ED＝EF， ∴△EDF是等腰三角形，故②正确， 图中，△ABD，△BCD，△EDF，△CDE都是等腰三角形，故③错误， 连接OE，过点O作OH⊥AD于点H， 设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m， ∴AH＝DH＝（m+m）， ∵AO＝OC，AH＝DH， ∴OH＝DC＝m， ∴tan∠OEH＝＝＝，故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（共7小题） 18．（2024秋•海安市期中）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝， ∵CH•AB＝BC•AC， ∴CH＝＝2， 在Rt△BCH中，BH＝＝＝1， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝1． 19．（2024秋•无锡期中）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．求证：CF＝CE； 【解答】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°，∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠ACB＝90°， ∵AE是⊙O的切线， ∴∠BAE＝90°， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∴∠EAC＝∠B， ∵， ∴∠CAD＝∠B， ∴∠EAC＝∠CAD， ∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF（ASA）， ∴CE＝CF． 20．（2024秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接并且延长AO交BC于点F， ∵过A，B，C三点的⊙O与AD相切， ∴AD⊥OA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠OFB＝∠OAD＝90°， ∴OF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴AF垂直平分BC， ∴AB＝AC． （2）解：设⊙O的半径为r，连接OC，则OC＝OA＝r， ∵AB∥CE， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝， ∴AC＝BE＝9， ∵∠CFO＝90°，BF＝CF＝BC＝×6＝3， ∴AE＝＝＝6， ∵OF2+CF2＝OC2，且OF＝6﹣r，OC＝r， ∴（6﹣r）2+32＝r2， 解得r＝， ∴⊙O的半径长为． 21．（2024秋•宜兴市期中）如图，AB为⊙O 的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若0A＝2OE，DF＝3，求PB的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝∠OCP＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°， ∴∠DCA＝∠AEO， 又∵∠AEO＝∠DEC， ∴∠DCA＝∠DEC， ∴DC＝DE． （2）解：∵OA＝2OE， 设OE＝x，OA＝2x， 则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x， ∴DE＝DF+EF＝3+x， 又∵DC＝DE， ∴DC＝3+x，DO＝3+2x， 在Rt△DOC中，由勾股定理可得： （2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2， 解得：x1＝6或x2＝0（舍去）． ∴DC＝3+6＝9，OC＝2×6＝12． ∵∠D+∠DOC＝90°，OF⊥AB， ∴∠DOC+∠COP＝90°， ∴∠D＝∠COP， 又∠DCO＝∠PCO＝90°， ∴△DCO∽△OCP． ∴，即122＝CP×9， ∴CP＝16． 在Rt△OCP中，由勾股定理有： OP＝＝＝20， ∴PB＝OP﹣OB＝20﹣12＝8． 22．（2024秋•定西期中）如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（﹣1，0）的直线AB与⊙P相切于点B． （1）求AB的长； （2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积（不取近似值）． 【解答】解：（1）连接PB， ∵点A、P的坐标分别为A（﹣1，0）、（1，0）， ∴OA＝OP＝1， ∴PA＝2． ∵直线AB与⊙P相切于点B， ∴PB⊥AB， ∴∠ABP＝90° ∵⊙P与y轴相切于原点O， ∴PB＝OP＝1， ∴； （2）连接OB， ∵∠ABP＝90°，OA＝OP， ∴， ∵PB＝OP， ∴PB＝OP＝OB， ∴∠OPB＝60°， ∴＝． 23．（2024秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ACB＝ABC， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， 又∵∠ADB＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD， 即：∠BCF＝∠CBF， ∴CF＝BF； （2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF， ∵CG为O直径， ∴∠GFC＝90°， ∴∠G+∠GCF＝90•， ∵∠CDB＝∠G， ∴∠CDB+∠GCF＝90°， ∵CD＝CB ∴∠CDB＝∠CBD， ∵CF＝BF， ∴∠BCF＝∠CBD， ∴∠BCF＝∠CDB， ∴∠BCF+∠GCF＝90°， ∴∠BCG＝90°， ∴CG⊥BC，且CG为⊙G的半径， ∴CB是⊙O的切线． 24．（2024•新邵县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在斜边AB上取一点O，以OA为半径作⊙O，交AB于点N，交AC于点M，连接MN． （1）如图1，若∠B＝60°，MN＝2，求⊙O的半径． （2）如图2，若⊙O与BC交于点D，连接AD，MD，且AD2＝AC•AN； ①求证：BC是⊙O的切线； ②若AM＝3，CD＝2，求AN的长． 【解答】解：（1）∵AN是直径， ∴∠AMN＝90°＝∠C， ∴MN∥BC， ∴∠ANM＝∠B＝60°， ∴， ∴⊙O的半径为2． （2）①证明：如图2，连接OD，OM，DN， ∵AN是直径， ∴∠AMN＝90°＝∠ADN， ∴∠ACD＝∠ADN， ∵AD2＝AC•AN， ∴， ∵， ∴∠DAN＝∠CAD， ∴DM＝DN， ∴DM＝DN， 又∵OM＝ON， ∴OD是MN的垂直平分线， ∴OD⊥MN， 由（1）知，MN∥BC， ∴OD⊥BC， 又∵OD是半径， ∴BC是⊙O的切线； ②解：如图2，记OD，MN的交点为F，则四边形CDFM是矩形， ∴MF＝CD＝2， ∵OD是MN的垂直平分线， ∴MN＝2MF＝4， 由勾股定理得，， ∴AN的长为5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$