精品解析：河北省石家庄十七中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

石家庄市第十七中学高二年级阶段一考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有错选的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，，长半轴为2，短半轴为，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ） A. 与短轴所成角为 B. 与直线所成角取值范围为 C. 与平面所成角最大值为 D. 存在某个位置，使得与垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆的切线，切点为，则________. 13. 设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______； 14. 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． 16. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程 （2）一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第十七中学高二年级阶段一考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解． 【详解】由题意得直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，得， 故选：B． 2. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 3. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，可得，从而算出，然后在正中算出，进而利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值． 【详解】根据题意得，所以， 等边中，， 因此，． 故选：B． 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解． 【详解】取的中点，连接， 四边形为菱形，， 所以， 由于平面平面，且两平面交线为，，平面， 故平面，又四边形为正方形， 故以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2， 则， 故， 则， 故直线，所成角的余弦值． 故选：D． 8. 设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得，设直线与x轴交于点D，从而得，再结合离心率公式和范围解该不等式即可得解. 【详解】由题意可得， 设直线与x轴交于点D，则， 所以即，即，故， 又，所以.， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有错选的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断. 【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误； 对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误； 对于D，如图所示： 设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确； 故选：BD 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，作出与圆的图象求最值判断D即可. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆，由此分析选项： 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B正确； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，设，作出图象为正方形，作出圆，如图， 由图象可知，正方形与圆有公共点A时，有最小值， 即的最小值为，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，，长半轴为2，短半轴为，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ） A. 与短轴所成角为 B. 与直线所成角取值范围为 C. 与平面所成角最大值为 D. 存在某个位置，使得与垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形翻折的特征判断A；建立空间直角坐标系求出线线角、线面角的余弦表达式判断BCD. 【详解】依题意，椭圆长短半轴长，则椭圆半焦距，，， 对于A，翻折过程中，与短轴所成的角大小不变，为，A正确； 对于B，翻折过程中，原来的点用A表示，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 不妨取，与平行的一个单位向量为，设与所成的角为， 则，由，得， 因此，当或，即在平面上时，是最小， 当翻折到平面与垂直时，即时，所成的角最大为，B正确； C．翻折过程中，由于始终与平面垂直，平面， 从而平面与平面垂直，因此在平面上的射影是， 与平面所成的角为，设翻折过程中，则， ， 当且仅当时等号成立，因此，C正确； D．在选项B的图形中，，显然， ，即与不可能垂直，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆的切线，切点为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆的圆心为，半径为，再利用勾股定理求解. 【详解】由题得，所以圆的圆心为，半径为. 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，考查切线长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据四边形OMNP为正方形，设出点的坐标，代入椭圆的方程中，再结合点的坐标特点，得到与的关系，最后结合的关系，求椭圆的解离心率即可. 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设， 则，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，以点为原点建立空间直角坐标系，设球心，利用向量法求出球心到平面的距离进而可得出答案. 【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设球心， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则球心到平面的距离为， 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距定义，结合代入法进行求解即可； （2）利用椭圆定义进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的焦距为6，所以， 又因为该椭圆过，所以， 由解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 的周长为： 16. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程 （2）一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【小问1详解】 设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； 【小问2详解】 光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）直角梯形中， 由相似可得， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）相似可得，，结合勾股定理逆定理得到，以及折叠后，，即可证明;（2）证明点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，运用等体积法即可求解；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PBC法向量，再用向量夹角余弦值公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. 【小问3详解】 由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解； （2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得； ②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点， 从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围． 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则， ， ，，， 又，化简得， 为圆上任意一点，， 又，，解得，常数. ②由①知，，，点，圆， 设，是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $