第十二章全等三角形 模型探究（一）对角互补模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形 模型探究（一）对角互补模型 【基本模型】 基本模型:如图,在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,DE⊥BC于点E.下列结论:①BD平分∠ABC;②AD=CD;③AB+BC=2BE;④BC-AB=2EC.若已知其中一个结论,可推出其余三个结论成立,即“知一推三”. 【题型剖析】 1.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，，求证：平分． 2.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在四边形中，已知平分，，求证：。 3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，在四边形中，，平分，于点求证：． 4.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，四边形中，，平分，于点，若，，求四边形的周长． 5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于，交的延长线于． 求证：≌； 若，，求的长． 6.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，四边形中，平分，，于． 求证：； 若：：，，求四边形的面积． 7.（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分． 求证：； 求证：． 8.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，平分，，于点，于点． 若，求； 若，，，求四边形的面积． 9.（23-24八年级·河北石家庄·期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明≌，通过判断的形状，可以得出结论． 在图中按要求完成作图，的形状为________，________； 如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：； 如图，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 10.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． 求证：； ． 11.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，且． 求证：； 求证：平分； 如图，设是的边上的高，求证：． 12.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，，求证：； 求四边形的面积； 如图，为的邻补角的平分线上的一点，且，交于点，求的长． 13.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，． 求证：； 求证：； 求四边形的面积． 14.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是            ； 问题解决：如图，求证； 问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 15.（23-24八年级·山东烟台·期中）建立模型：如图，已知，，，顶点在直线上． 操作：过点作于点，过点作于点求证：≌． 模型应用： 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，且、满足   ． 求点的坐标； 点为轴上一动点，过点作交轴正半轴于点，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 模型探究（一）对角互补模型 【基本模型】 基本模型:如图,在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,DE⊥BC于点E.下列结论:①BD平分∠ABC;②AD=CD;③AB+BC=2BE;④BC-AB=2EC.若已知其中一个结论,可推出其余三个结论成立,即“知一推三”. 【题型剖析】 1.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，，求证：平分． 【答案】证明：过点分别作于点，于点． ，， ， ， ， ， ，， ≌， ， 平分． 2.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在四边形中，已知平分，，求证：。 【答案】证明：如图，过点作交的延长线于，作于， 平分， ， 与互补， ， 在和中， ≌， ．  3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，在四边形中，，平分，于点求证：． 【答案】证明：方法一：在上截取，连接， 平分， ， ，， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 方法二：过点作交的延长线于点，则， 易证≌，≌， ，， ． 4.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，四边形中，，平分，于点，若，，求四边形的周长． 【答案】解：过作的延长线于点， 平分， ， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 四边形的周长为．  5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于，交的延长线于． 求证：≌； 若，，求的长． 【答案】解：证明：平分， 于点，交的延长线于点， ， 在与中，， ≌． ≌ ， ， ，， ≌ ， ．  6.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，四边形中，平分，，于． 求证：； 若：：，，求四边形的面积． 【答案】证明：如图，过点作，交的延长线于， 、 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ； ：：，， ， ， ≌，≌， ，， 四边形的面积．  7.（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分． 求证：； 求证：． 【答案】(1)方法一：过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E（或过点D作DE⊥BD交BA延长线于点E），可得等腰Rt△BDE，BD＝DE，△ADB≌△CDE（ASA或AAS）， ​​​​​​​∴AD＝CD； 方法二：在射线BC上取点E，使DE＝BD，得△ADB≌△CDE(AAS)； 方法三：过点D分别作AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，证△ADE≌CDF(AAS)； (2) ．  8.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，平分，，于点，于点． 若，求； 若，，，求四边形的面积． 【答案】解：平分，，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ； ≌， ，， ， 平分， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形的面积．  9.（23-24八年级·河北石家庄·期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明≌，通过判断的形状，可以得出结论． 在图中按要求完成作图，的形状为________，________； 如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：； 如图，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】解：如图， 如图，延长至，使得，连， ，， ， ， ≌， ，， ， ． 即， 为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； 为等腰直角三角形， ． 故答案为：； 证明：如图，延长至，使得，连， ，， ， ， ≌， ，， ， 为等边三角形， ． 理由如下： 证明：如图，延长至，使得，连，， 则， 又， ≌， ， ， 又，， ≌， ， ， ， ．  10.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． 求证：； ． 【答案】证明：四边形中，，且，点在边上，，垂足为，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 如图，连接， 由得：， ， 在和中， ， ≌， ， ≌， ， ．  11.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，且． 求证：； 求证：平分； 如图，设是的边上的高，求证：． 【答案】证明：，， ， 在与中， ， ≌， ． 证明：如图≌， ，， ， ，即平分； 证明：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 又， ．  12.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，，求证：； 求四边形的面积； 如图，为的邻补角的平分线上的一点，且，交于点，求的长． 【答案】解：在四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ； 过点作于点，作的延长线于点，作轴于点， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 同理，≌， ，， ， ，  ； 过点作于点，作轴于点， 点在的邻补角的平分线上， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，又， ， ．  13.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，． 求证：； 求证：； 求四边形的面积． 【答案】证明：如图，在四边形中，， ， ， ， ， ， 又， ； 证明：如图，过点作于点，作的延长线于点， ，，， ，， ， ， 又， ， 又，， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 解：如图，作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ≌． ， ． 四边形的面积．  14.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是            ； 问题解决：如图，求证； 问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】解：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 如图，作交延长线于，于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ≌， ； 如图，在时截取，连接， ，， ， 平分， ， ， ，即， 由的结论得， ， ， ， ， ．  15.（23-24八年级·山东烟台·期中）建立模型：如图，已知，，，顶点在直线上． 操作：过点作于点，过点作于点求证：≌． 模型应用： 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，且、满足   ． 求点的坐标； 点为轴上一动点，过点作交轴正半轴于点，求证：． 【答案】解：建立模型： 如图， ，， ， 在和中， ≌； 模型应用： ， ，， ，， ； 过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，， 则，， 又， ， 又， ≌， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$